天津第二十五中学2021高三数学上第二次月考

天津市第二十五中2021届高三第一学期第二次月考
数学
一､选择题
1. 设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则U
A B =（ ）
A. {|0}x x <
B. {|1}x x >
C. {|01}x x <
D. {|01}x x <
【答案】C
2. 已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
3. 命题“,10x R x ∀∈-≥”的否定是（ ） A. x R ∃∈,10x -≤ B. x R ∃∈,10x -＜ C. x R ∀∈,10x -＜ D. x R ∀∈,10x -≤
【答案】B
4. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）
A. 2788
n n +
B. 2744n n
+
C. 2324
n n
+
D. 2n n +
【答案】A
5. 已知定义在R 上的函数()2x
f x x =⋅，(3lo
g a f =，3
1log 2b f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. b c a >>
C. a b c >>
D. c a b >>
【答案】D
6. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法，其中说法正确的个数为（ ） ①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；
③若l α⊥，//αβ，则l β⊥；④若l α⊥，αβ⊥，则l β⊥． A. 3 B. 2
C. 1
D. 0
【答案】C
7. 已知函数()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭，则下列关于函数()f x 的说法，不正确．．．的是（ ） A. ()f x 的图象关于12
x π
=-
对称
B. ()f x 在[]0π，上有2个零点
C. ()f x 在区间536
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
，
上单调递减 D. 函数()f x 图象向右平移116
π
个单位，所得图像对应的函数为奇函数 【答案】C
8. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ）． A. 137,62⎛⎤
⎥⎝
⎦ B. 725,26⎛⎤
⎥⎝
⎦ C. 2511,62⎛⎤
⎥⎝
⎦ D. 1137,26⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【答案】B
9. 设21(0)
()4cos 1(0)
x x f x x x x π⎧+≥=⎨-<⎩，()1()g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[2,3]x ∈-内有4个零点，
则实数k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 113⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 113⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
二､填空题
10. 已知复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为___________. 【答案】5i -
11. 已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________.
【答案】48-
12. 已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且内接于球O ，若正三棱柱111ABC A B C -的体积是23，则球O 的表面积为_____． 【答案】
28π
3
13. 已知0x >，1y >-，且1x y +=，则22
31
x y x y +++最小值为__________． 【答案】23+
14. 已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意*N n ∈都有11n n a a n +=++，则121001
111
a a a ++⋅⋅⋅+=___________． 【答案】
1001
501
15. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为 . 【答案】.
三､解答题
16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+. （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积253
ABC S ∆=，且5a =，求sin sin B C +. 【答案】（Ⅰ）3
A π
=
；（Ⅱ3（Ⅰ）因为2222cos cos b c a ac C c A +-=+，所以由22cos cos cos bc A ac C c A =+， 即2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin sin A C B B π+=-=， ∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =
，∵0A π<<，∴3
A π
=.
（Ⅱ）∵1sin 2ABC S bc A ∆=
==
，∴25bc =， ∵22222251
cos 22252
b c a b c A bc +-+-===⨯，2250b c +=，
∴()2
50225100b c +=+⨯=，即10b c +=，
∴sin sin sin sin A A
B C b c
a a
+=⋅+⋅= ()sin 2105
A b c a +=⋅=17. 已知函数2
1
()sin sin cos ,2
f x x x x x R =+-
∈ （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合； （2）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；
（3）若()3,88
f
ππαα⎛⎫
=
∈- ⎪⎝⎭
，求sin 2α的值
【答案】（1）函数()f x ，x 的取值集合为3{|,}8x x k k Z ππ=+∈（2）()f x 的最小正周期为π，
单调递减区间为37[,]88k k ππππ+
+，k Z ∈，（3）46
+. （1）2
1()sin sin cos 2
f x x x x =+-
1cos 21
1sin 2222x x -=+-()1sin 2cos 22x x =-
sin(2)24
x π
=
-，
当224
2
x k π
π
π-
=+
，k Z ∈，即38x k ππ=+
，k Z ∈时，()f x 取得最大值2
， 此时x 的取值范围是：3{|,}8
x x k k Z π
π=+∈. （2）()f x 的最小正周期22
T π
π==， 由22322
4
2
x k k π
π
π
ππ≤-
≤++
，k Z ∈， 得3788
x k k ππππ≤≤+
+，k Z ∈，
所以()f x 的单调递减区间为37[,]88
k k ππ
ππ+
+，k Z ∈， （3）由22
()sin(2)246
f παα=-=
得1sin(2)43πα-=， 因为38
8π
πα-
<<
，所以2242
πππ
α-<-<， 所以2122
cos(2)1sin (2)1449π
παα-
=--=-=
， 所以sin 2sin(2)44
π
παα=-
+sin(2)cos cos(2)sin 4444ππππ
αα=-+-
122223232
=⨯+⨯
42
6+=. 18. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AD CD ==，
12A A AB ==，E 为1A A 的中点．
（1）证明：11B C CE ⊥；
（2）求二面角11B CE C --的正弦值；
（3）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值是
3
9
，求线段AM 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）217；（333
【解析】
（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得()0,0,0A ，()0,0,2B
，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E ．
则()111,0,1B C =-，()1,1,1CE =--， 而()()111,0,11,1,10B C CE ⋅=-⋅--=.
11B C CE ∴⊥；
（2）()11,2,1B C =--，
设平面1B CE 的法向量为(),,m x y z =， 则1·20·
0m B C x y z m CE x y z ⎧=--=⎨
=-+-=⎩，取1z =，得3x =-，2y =-．
∴(3,2,1)m =--．
由（1）知11B C CE ⊥，又111CC B C ⊥，11B C ∴⊥平面1CEC ， 故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量，
于是111111
·cos ,14·m B C m B C m B C
=
=
=．
从而11sin ,1(
m B C =--
=．
∴二面角11B CE C --；
（3）(0,1,0)AE =，1(1,1,1)EC =， 设1(,,)EM
EC λλλλ==，01λ，
有(,1,)AM AE EM λλλ=+=+．
取()0,0,2AB =为平面11ADD A 的一个法向量， 设
θ为直线AM 与平面11ADD A 所成的角， 则2·sin cos ,·A A A A M M M B B
AB A θλ==
=
=
+．
于是
2
3
9
321
λλ
=
++
．
解得
1
(01)
4
λλ
=．
222
15133
()()()
4444
AM AM
∴==++=．
∴线段AM的长为33
4
．
19. 已知数列{}n a的前n项和n S，满足()
1
1
3
n n n
n
S S a n N
n
*
+
+
=+⋅∈，且
1
1
a=. （1）证明：数列n
a
n
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是等比数列；
（2）求数列{}n a的前n项和n S
（3）若1
33
1
,
log3log1
n n
n n
n
b b
b c
n a n n
+
==
-++
求数列{}n c的前n项和n T
【答案】（1）证明见解析；（2）
9391
4243
n
n
S
n
⎛⎫⎛⎫
=-+
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
；（3）1
1
n
T
n
=-
+
（1）由题()
1
1
3
n n n
n
S S a n N
n
*
+
+
=+⋅∈，
所以()
1
1
3
n n
n
a a n N
n
*
+
+
=⋅∈
()
1
1
13
n n
a a
n N
n n
*
+=⨯∈
+
，
所以数列n
a
n
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是以1为首项，
1
3
为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：1
13n n a n -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，1
13n n a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
2
3
1
11111123433333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
2
3
4
1111111234333333n n
n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得：2341
211111113333333n n n
n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1121313313
n
n
n S n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪
⎝⎭-， 23313223n n
n S ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 93914243n
n S n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）
31333131
1
11log 3log log 3log 3lo 3g 131n n n n
n b n a n
n n n --=
=
=
=
-⎛⎛⎫ ⎫
⎛⎫
- ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪⎝⎪⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎭
⎪，
n c
=
=
=
= =
1n T =+
+⋅⋅⋅
所以1n T =-
20. 已知函数ln ()()x
x k
f x k R e +=
∈ （1）若函数()f x 在2x =处的切线方程为2
240e y x +-=，求k 的值；
（2）若函数()()x
g x xe f x '=在区间(1,2)上存在单调增区间，求k 的取值范围；
（3）当()01f '=时，证明：对任意221
0,()e x f x x x
-+><+'恒成立.
【答案】（1）1ln 2k =-；（2）1k <-；（3）证明见解析. （1）由()ln x x k f x e +=
得()()1ln ',0,x
kx x x
f x x xe
--=∈+∞， 因为函数()f x 在2x =处的切线方程为2
240e y x +-=，
∴曲线()y f x =在点()()
22f ,处的
切线斜率为()22
122ln 21
'222k f e e --=
=-，
解得1ln 2k =-；
（2）函数()()1ln x
g x xe f x kx x x '==--，
()'ln 1g x k x =---，
因为函数()()x
g x xe f x '=在区间1,2上存在单调增区间， 所以()'ln 10g x k x =--->在区间1,2上有解， 即1ln k x -->在区间1,2上有解， 因为ln y x =在区间1,2上递增， 所以ln 0y x =>， 可得10k --> 故1k <-；
（3）()
()222111
sin 2sin 2
e e x x x x x
--++=++
()()2211
sin sin 22y k x x x x x x x x x ==
+-+=-， ()11
'sin cos 2022
k x x x x x =+-<，函数递减，
因为0x >，所以()()()2
1sin 002
k x x x x x x k =+-+<=
即2
10sin 2
x x x x x <+<+，
只需对任意的()221
0,'e x f x x x
-+><+恒成立即可，
令()()
()2
G x x x f x '=+，
当01x =时，1k =，()()()1
1ln ,0,x x G x x x x x e
+∴=
--∈+∞， 因此，对任意()2
0,1x G x e -><+等价于()21ln 11
x
e x x x e x ---<++， 由()()1ln ,0,h x x x x x =--∈+∞，()()'ln 2,0,h x x x ∴=--∈+∞， 因此，当(
)2
0,x e
-∈时，()()'0,h x h x >单调递增，
()
2,x e -∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，
()h x ∴的最大值为()221h e e --=+，
故21ln 1x x x e ---≤+， 设()()1x
x e x ϕ=-+，
()'1x x e ϕ=-，
()0,x ∴∈+∞时，()()'0,x x ϕϕ>单调递增，()()00x ϕϕ>=，
故()0,x ∈+∞时，()()10x
x e x ϕ=-+>，即11
x e x >+，
∴故()2
21ln 111
x
e x x x e e x ----≤+<++，
因此对任意的
()
()
()
2
22
2
21
11
0,'
1sin2
sin
2
e
e e
x f x
x x x x
x x x
-
--+
++
><<=
++
+
恒成立.
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