四川省乐山市井研县2018届九年级中考数学调考试题(解析版)

井研县2018年高中阶段教育学校招生统一适应性考试
数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（）
A. 零上3℃
B. 零下3℃
C. 零上7℃
D. 零下7℃
【答案】B
【解析】试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.
故选：B.
考点：负数的意义
2. 下列各式计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
详解：A. ，故A选项错误；
B. a8÷a2=a8-2= a6，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D.，故D选项错误.
故选C.
点睛：本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3. 如图是按1:10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
详解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh=2×π=2π，
∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积=100×2π=200π，
故选D．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
4. 一组数据4，5，6，4，4，7，，5的平均数是
5.5，则该组数据的中位数和众数分别是（）
A. 4，4
B. 5，4
C. 5，6
D. 6，7
【答案】B
【解析】分析：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．
详解：∵数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，
∴（4+5+6+4+4+7+x+5）÷8=5.5，
解得x=9，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，9排在正中间的是5，故中位数是5，
∵在这组数据中4出现了三次，次数最多，
∴众数是4．
故选B．
点睛：此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么
sinα的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据
求出sinα的值即可．
详解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=，
由锐角三角函数的定义可知，．
故选A．
点睛：此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
6. 已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的不等式，最后求出a的取值范围．
【解答】
解：原方程可整理为：（2-1）x=a-1，
解得：x=a-1，
∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非负数，
∴a-1≥0，
解得：a≥1．
故选A．
点睛：本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于x的不等式是本题的一个难点．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°,则∠OCD的度数为（）
A. 30°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
【答案】B
【解析】分析：由四边形ABCD内接于⊙O，且∠A=100°，得∠DCB=80°,再由CE是直径得∠EBC=90°，因为∠E=60°，故可得∠BCE=30°，故可求解.
详解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠A=100°
∴∠DCB=80°,
∵CE是直径
∴∠EBC=90°
∵∠E=60°,
∴∠BCE=30°，
∴∠OCD=50°
故选B．
点睛：圆内接四边形的性质：圆内接四边形内对角互补．
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
【答案】A
【解析】试题分析：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE 的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=，
故选：A．
考点：三角形中位线定理；三角形的面积．
9. 若关于x的一元二次方程有实数根，且，有下列结论：
①；②；③二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（2，0）和（3，0）.其中正确的个数有（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式≥0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与
系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
详解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．
故选C．
点睛：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用．
10. 如图，M是双曲线上一点，过点M作轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C，若直线
与轴交于点A，与轴交于点B，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=-x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，
并且CE=b，DF=a，则AD=DF=a，BC=CE=b，于是得到AD•BC=a•b=2ab=2．
详解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y=-x+m，
令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，
∴A（0，m），B（m，0），
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为（a，b），则ab=，
CE=b，DF=a，
∴AD=DF=a，BC=CE=b，
∴AD•BC=a•b=2ab=2．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. -7的倒数是___________.
【答案】；
【解析】考点：倒数．
分析：此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以-7的倒数为1÷（-7）．
解：-7的倒数为：1÷（-7）=．
故答案为：．
12. 小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是____________．
【答案】；
【解析】分析：根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
详解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），
∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：.
故答案为：．
点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
13. 分解因式：=_______________．
【答案】.
【解析】分析：根据平方差公式，可得答案．
详解：原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）-（x+2y）]
=3（x+y）（x-y）．
故答案为：3（x+y）（x-y）．
点睛：本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．
14. 如图，扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90º,OA=6，取OA的中点C，过点C作DC⊥OA交于点D，点
F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剩下的纸片（阴影部分）面积是______________.
【答案】；
【解析】分析：先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．
详解：如图，
∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，
∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=×6×3=3π-9，
则剪下的纸片面积之和为3×（3π-9）=9π-27.
故答案为：9π-27．
点睛：本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．
15. 圆锥的底面直径为40cm，母线长90cm则它的侧面展开图的圆心角度数为_____________.
【答案】80º；
【解析】分析：根据S=LR求出扇形面积，根据S=计算即可．
详解：设它的侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面直径为40cm，母线长90cm，
∴侧面展开图的面积=×40π×90=1800π，
则=1800π，
解得，n=80，
故答案为：80°．
点睛：本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式是解题的关键．
16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程，正确的是___________（写出所有正确说法的序号）.
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
④若一元二次方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.
【答案】②③
学,
科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...
对于①，，因此本选项错误；
对于②，，而，∴，因此本选项正确；对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有
，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．
故答案为：②③．
考点：1．新定义；2．根与系数的关系．
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三、解答题.
17. 计算：
【答案】3+
【解析】分析：先进行绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并．
详解：原式=2-++1=3+
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了绝对值的化简、二次根式的化简、二次根式的乘法、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】不等式组的解集为-7<≤1，在数轴上表示见解析.
【解析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．
试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
.
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
19. 如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，且∠1=∠2.
（1）若CE=1，求BC的长度；
（2）求证：AM=DF+ME.
【答案】（1）BC =2；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB 交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
20. 当m、n为何值时，方程组与方程组同解？【答案】
【解析】分析：根据方程组的解相同，可得两个新方程组，根据解方程组，可得x、y的值，根据方程组的解满足方程，可得关于m、n的方程组，根据解方程组，可得答案．
详解：方程组的解与方程组的解相同得①②，
解①得，
把代入②得，
解得，
当m=1，n=2时，方程组与方程组同解．
∴m=1，n=2.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用了方程组的解满足方程组．
21. 某校初三年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了如图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有名；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数为度；
（4）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法，求出选取的两名同学恰好是“一男一女”的概率.
【答案】（1）50；（2）补全统计图见解析；（3）“；（4）选取的两名同学都是女生的概率= .
【解析】试题分析：（1）根据扇形统计图和条形统计图给出的共同数据A类的部分和百分比，利用除法求出全部即可；（2）利用全部的人数减去已知的其他各类人即可，求出C类人所占的百分比，再求出圆心角即可；（3）本题根据不放会的方法画出树状图，得出概率即可.
试题解析：
（1）由题意可得总人数为10÷20%=50名；
（2）12，108
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率P = = ．
22. 如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离.
【答案】岛屿两端A．B的距离为(600-)米．
【解析】试题分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分别在Rt△AEC 与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．
试题解析：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．
∴CE=（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100米．
∴DF==100（米）．
∴AB=EF=CD+DF-CE=500+100-≈600-×1．73≈600-57．67≈542．3（米）．
答：岛屿两端A、B的距离为542．3米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
23. 已知一次函数的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数的图象相交于点C，OA=3.
（1）求一次函数的解析式和点B的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，若=1:3，求反比例函数的解析式.
【答案】（1）一次函数的解析式为，点B的坐标为（0，2）；（2）反比例函数的解析式为
【解析】分析：（1）由OA=3得A（-3，0），代入得b=2，从而求出一次函数解析式，令x=0，则y=2，故点B的坐标为（0，2）；
（2）分别求出和，设出点C坐标，根据梯形面积求解即可.
详解：（1）∵OA=3
∴A（-3，0）
将A（-3，0）代入中得b=2
∴一次函数的解析式为
令x=0得y=2
∴点B的坐标为（0，2）
(2)由题知
∵=1:3
∴=9
设C（m，），则有
解得m1=3，m2=-9(舍去)
∴C（3，4）
∵C（3，4）在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为.
点睛：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性.
24. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数k的整数值.
【答案】（1）不存在满足条件的k值，理由见解析；（2）
【解析】分析：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把
x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，进而可求k的值；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值；
详解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×=2-，
若2-=-成立，
解上述方程得，k=，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k=，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值；
（2）原式=，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5；
点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．
25. 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90º，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性.
（1）图①中矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 .
（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 .（用含的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.
（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50，BC=108，CD=60，
且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积.
【答案】（1）；（2）；（3）矩形最大面积为720；（4矩形PQMN的最大面积为1944cm2
【解析】试题解分析：【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知
EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
试题解析：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为.
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵tanB==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
26. 如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值是多少？
【答案】（1）二次函数解析式为；（2）点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或
（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）OE的最大值为
【解析】分析：（1）首先确定A、B、C的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到，设OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y
轴于H，同理求得P1（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图中，连接AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大，
详解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于轴对称
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，﹣4）
设二次函数解析式为
将A（-3，0）代入得
∴二次函数解析式为
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形.
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图，连接BC.
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5
∵CP2⊥BP2，CP2=
∴BP2=2过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F
则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形
∴，
设OF=P2E=2x，CP2=OE=x
∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4
∴=2
∴x=，2x=，即FP2=，EP2=
∴P2（，﹣）
过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H.同理求得P1（﹣1，﹣2）
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形
过P4作P4H⊥y轴于H
则△BOC∽△CHP4
∴
∴CH=，P4H=
∴P4（，﹣﹣4）
同理P3（﹣，﹣4）
综上所述：点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）. （3）如图，连接AP
∵OB=OA，BE=EP
∴OE为△ABP的中位线
∴
∴当AP最大时，OE最大
∵当P在AC的延长线上时，AP最大，最大值为
∴OE的最大值为
点睛：本题考查了函数的解析式的求法，圆与直线是位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．。