人教版高中数学必修二4、1、1 圆的标准方程教案

4、1、1 圆的标准方程
一、教学目标：
1）.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2）.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
3）.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.
二、教学重点难点：
教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.
教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
三、课时安排：
1课时
四、教学设备：
圆规、直尺。

五、教学过程：
一）新课引入：
师：上章我们在直角坐标系中研究了直线的方程，这节课我们将在直角坐标系中进一步来研究圆的标准方程。

说道圆，大家并不陌生，在初中的时候接触过圆，而在生活中也经常接触圆的。

8月15日过中秋节，中秋节花好月圆，圆给人的感觉是完整美好的。

这节课，我们将学习这个美好的图形。

回忆一下，圆在初中的时候是怎样定义的。

圆是什么图形啊？
生：平面图形，
师：那是怎样定义的。

生：平面内，到定点的距离等于到定长的
点的轨迹，定点是圆心，定长是半径。

（板书并
且分析圆的定义，圆上任意一点和圆心的距离
等于半径）{画图分析}
二）新课讲解。

师：好，我们很熟悉圆的定义了，我的问
题是结合前面的知识
已知圆上任意一点M（x,y），圆心坐标A
（a,b），半径是r，求圆的方程。

（板书）。

这里是求圆的方程，也就是求方程问题，那求方程的一般步骤是什么？
生：建系、设点、列式、化简。

师：首先建系，这里建立了。

然后设点，设点有什么要求。

生：设圆上任意一点。

师：设圆上任意一点，要强调任意性。

接着就是列式怎么做呢？就是找出圆上点的性质或点满足什么条件的过程。

定义中是怎么说的。

生：平面内，到定点的距离等于到定点的点的轨迹。

师：也就是│MA │=r 。

好，我们来看一下。

解：设圆上任意一点M （x,y ）。

（开始板书） 根据圆的定义知.)()(22r b y a x =-+-化简：.)()(222r b y a x =-+-
我们来看一下：圆上任意一点M 的坐标（x,y ），由上面的证明知道，满足这个方程;并且222)()(r b y a x =-+-的解为坐标的点（x,y ）满足│MA │=r ，即方程解为坐标的点在圆上。

所以我们把.)()(222r b y a x =-+-称作为以圆心为（a,b ），半径为r 的圆的标准方程。

（板书）。

由证明知道圆上任意一点的坐标满足圆的标准方程，所以判断一点是否在这个圆上，怎么办？
生：把点的坐标带入方程中看方程左右是否相等，相等就在圆上。

师：好，也就是看点的坐标是否满足圆的方程。

好，我们看到方程，看到这个结果后我们是否发现方程的确具有对称性？左边平方，平方；右边也是平方。

很漂亮的一种形式吧。

通过这个方程，我们一目了然知道圆的半径是r ，圆心横坐标是a,纵坐标是b 。

以后一旦看到这种形式，就要一下子反应出圆心和半径是多少。

例一：①：122=+y x
②.5)1()2(22=++-y x
解：①圆心（0,0），半径：1.。

【像这种圆心是圆点（0,0），半径是1的圆叫做单位圆，（板书）。

所以以后提到单位圆就要快速反应出标准方程，以及圆心坐标为（0,0），半径是1.】。

②圆心（2，-1），半径为5。

师：好，标准方程记住没有。

怎样求圆的标准
方程呢？只要给出圆心的坐标和半径。

那么就是x
减去圆心横坐标的平方加上y 减去圆心纵坐标的平
方等于等于半径的平方。

很好记忆的吧！下面我们
迅速来练几个题
例二：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的方程。

并判断)1,5(),7,5(21---M M 是在这个圆上。

（板书）
解：25)3()2(22=++-y x 。

)7,5(1-M 带入方程25)3()2(22=++-y x 中，方程左边等于右边，而)1,5(2--M 带入方程25)3()2(22=++-y x 中，发现方程左边
不等于右边。

所1M 在圆上，而2M 不在圆上。

师：好，这是这一题。

我们看下一题。

例三：△ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),求三角形的外接圆的方程。

这里知道圆的圆心，半径是什么吗？
生：不知道。

师：不知道，就不能直接做了。

那怎么办呢？我们知道：三角形的外接圆，知道三角形的三个点在圆上，也就是三个点的坐标满足圆的标准方程。

三个点坐
生：能。

师：解：设方程.)()(222r b y a x =-+-
因为A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),∴⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-2222222
22)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a
∴a=2,b=-3,r 2=25
∴外接圆方程为.25)3()2(22=++-y x
师：这种先设需要方程，后把点的坐标带入方程中，列方程组，求解的方法叫做待定系数法。

师：刚才学了判断点在圆上是怎样判断的？
生：把点的坐标带入方程中看方程左右是否相等，相等就在圆上。

师：好那点在圆外（圆的外部）和圆内（圆的内部）又是怎样的情况呢？我们来看一下。

师：直角坐标系中，已知点M （ y x ,），和圆.)()(222r b y a x =-+-的位
置关系：
d<r
d=r d>r .)()(222r b y a x <-+- .)()(222r b y a x =-+- .
)()(222r b y a x >-+-
① 222)()(r b y a x <-+- 点M 在圆内。

②222)()(r b y a x =-+- 点M 在圆上。

③222)()(r b y a x >-+- 点M 在圆外。

（板书）
师：判断点与圆的位置关系，只需把点代入方程中，看看方程左右大于、小于还是等于就行了
三）课堂总结
①圆的标准方程.
②点与圆的位置关系的判断方法.
③根据已知条件求圆的标准方程的方法.
④利用圆的平面几何的知识构建方程（推导圆的标准方程的方法）。

四)课后作业
P120： 1和4
P124：1题的1、3小题。

2题的2、4小题。

3题。

七、课后分析
八，板书设计。