湖北省黄冈中学必修二第二章《解析几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．已知圆224x y +=与圆22260x y y +--=，则两圆的公共弦长为（ ） A ．3 B ．23 C ．2 D ．1 2．如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴,,Ox Oy Oz 上，则定点D 的坐标为（ ）
A ．()1,1,1
B ．()2,2,2
C ．()3,3,3
D ．()2,2,2 3．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．32
4．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于22a a b ++，则该双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
5．已知直线:20()l kx y k R +-=∈是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，若点(2,)A k ，B 为圆C 上任意的一点，则线段AB 长度的最小值为（ ）
A ．52+
B ．2
C ．5
D ．52- 6．若直线l 过点(1,1)--和(2,5)，且点(1009,)b 在直线l 上，则b 的值为（ ） A ．2019 B ．2018 C ．2017 D ．2016 7．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
8．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 9．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）
A ．5673
B ．5273
C ．4973
D ．1473
10．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
11．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若
52PA PB PC ===，则点B 到平面PAC 的距离为（ ）
A ．32
B ．304141
C ．153417
D ．6
12．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）
A ．//MN 平面ABE
B ．//MN 平面ADE
C ．//MN 平面BDH
D ．//MN 平面CDE
二、填空题
13．在空间直角坐标系O xyz -中，若点(1,2,3)A ，(1,1,4)B -，点C 是点A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为_________.
14．已知圆2260x y x +-=，过点1,2的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______. 15．已知点()2,2A --，()4,2，点P 在圆224x y +=上运动，则22PA PB +的最小值是______.
16．圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是________.
17．已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.
18．已知m R ∈，动直线1:20l x my +-=过定点A ，动直线2230l mx y m --+=:
过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A B ，），则PA PB +的最大值为_________. 19．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.
20．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.
21．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是__________．
①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形；
②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33
③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；
④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．
22．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且
12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =
，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________. 23．表面积为16π的球与一个正三棱柱各个面都相切，则这个正三棱柱的体积为___________.
24．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
三、解答题
25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA AC ===.
（1）证明：平面11ABB A ⊥平面1BB C ；
（2）求四棱锥11C ABB A -的体积.
26．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．
27．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．
（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）；
（2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ，
①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值；
②求点1A 到平面ABD 的距离
28．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.
（1）证明：1//BD 平面1A DE ；
（2）证明：11D E A D ⊥；
（3）求二面角1D EC D --的正切值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长.
【详解】
圆224x y +=与圆22
260x y y +--=的方程相减可得公共弦所在的直线方程为1y =-，
由于圆224x y +=的圆心到直线1y =-的距离为1，且圆224x y +=的半径为2，
故公共弦的长为=
故选：B .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，弦长，重点考查计算能力，属于基础题型.
2．A
解析：A
【解析】
的正四面体ABCD 可以放到正方体中，已知D 点、O 点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为()1,1,1，选A.
3．C
解析：C
【分析】
两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
【详解】
因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0，
两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程.
圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为
d =
所以公共弦长为：l ==.
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．A
解析：A
【分析】
依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐
标，根据D 到直线BC 的距离等于a .
【详解】
依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，
()()22,AC BD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c a b y x c a b
--=-①，直线CD ：()()2
2a c a b y x c a b
-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直
线BC 的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以
()
4
2D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．D
解析：D
【分析】
由直线l 是圆C 的一条对称轴，求得1k =，得到点(2,1)A ，再结合圆的性质，即可求解.
【详解】
由题意，圆22:6260C x y x y +-++=，可得圆心(3,1)C -，半径为2r
因为直线:20l kx y +-=是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，
则(3,1)C -在直线l 上，即3120k --=，解得1k =，
所以(2,1)A ，则AC ==
所以线段AB 长度的最小值为min ||||2AB AC r =-=.
2.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得k 的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.
6．A
解析：A
【分析】
根据直线l 过点(1,1)--和(2,5)，由直线的两点式方程化简得21y x =+，然后将点(1009,)b 代入方程21y x =+，求解得出b 的值.
【详解】
解：因为直线l 过点(1,1)--和(2,5)，
由直线的两点式方程，得直线l 的方程为(1)(1)5(1)2(1)
y x ----=----， 化简得：21y x =+， 由于点(1009,)b 在直线l 上，将点(1009,)b 代入方程21y x =+，
得210091b =⨯+，
解得：2019b =.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.
7．C
解析：C
【分析】
由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.
【详解】
由题意：底面ABCD 为正方形，
侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，
面PAD 面ABCD AD =，
PA ⊥平面ABCD ，
分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，
连接CM ，AM ，
∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，
PM ＝AD ，AD ＝BC ．
∴ PBCM 是平行四边形，
∴ PB ∥CM ，
所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．
设PA ＝AB ＝a ，
在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a =
==， ∴三角形ACM 是等边三角形．
所以∠ACM 等于60°，
即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．
故选：C.
【点睛】
思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．
8．B
解析：B
【分析】
由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小．
【详解】
如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，
又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ，
所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4
π． 故选：B ．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
9．A
解析：A
【分析】
求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值．
【详解】
如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大， 由214AB AC ==，27BC =
，得72cos 4214
ACB ∠==，则14sin 4
ACB ∠=， 21428sin 14
4
AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，
又1114sin 2142777224
ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的15677783P ABC V -=
⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．
10．C
解析：C
【分析】
在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.
【详解】
根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1(64)4323
V =
⨯⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；
(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 11．C
解析：C 【分析】
取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果.
【详解】
取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，
因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则
152
AO BC ==；
又PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，
152
PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥；
因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，
又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332
P ABC ABC V S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △
中，PA PC ==，8AC =，所以PAC △
的面积为
182PAC S =⨯=， 设点B 到平面PAC 的距离为d ，
由P ABC B PAC V V --=可得1403PAC S d =⋅，
所以17d =
=. 故选：C.
【点睛】
方法点睛：
求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；
（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m
d m ⋅=.
12．C
解析：C
【分析】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN 与平面BDE 的平行关系，进而判定C ；利用M ,N 在平面CDEF 的两侧，可以判定MN 与平面CDE 的关系，进而对D 作出判定.
【详解】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，
易知ON 与BM 平行且相等，∴四边形ONMB 为平行四边形，∴MN ‖BO ,
∵BO 与平面ABE （即平面ABFE )相交，故MN 与平面ABE 相交，故A 错误；
∵平面ADE ‖平面BCF ,MN ∩平面BCF =M ,∴MN 与平面ADE 相交，故B 错误；
∵BO ⊂平面BDHF ,即BO ‖平面BDH ,MN ‖BO ,MN ⊄平面BDHF ,∴MN ‖平面BDH ,故C 正确； 显然M ,N 在平面CDEF 的两侧，所以MN 与平面CDEF 相交，故D 错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN 的平行线BO .
二、填空题
13．【分析】求出的坐标由空间中两点间的距离公式即可计算与的距离【详解】由题意知则故答案为：【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算解题的关键点是正确求出的坐标 14
【分析】
求出C 的坐标，由空间中两点间的距离公式即可计算B 与C 的距离.
【详解】
由题意知，()1,2,3C -，则()()()22211124314BC =
++--+-= 14【点睛】
关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算，解题的关键点是正确求出C 的坐标. 14．2【分析】由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系求出弦长的最小值即圆心到直线的距离的最大时而当直线与垂直时最大求出的最大值进而求出弦长的最小值【详解】由圆的方程可得圆心坐标半径；设
解析：2
【分析】
由相交弦长||AB 和圆的半径r 及圆心C 到过(1,2)D 的直线的距离d 之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD 垂直时d 最大，求出d 的最大值，进而求出弦长的最小值．
【详解】
由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =；
设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时弦长||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，
这时||d CD ==
所以最小的弦长||2AB =，
故答案为：2
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，弦长||AB 最小. 与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答.
15．28【分析】设则由表示圆上的点与点间的距离的平方可得答案【详解】设则表示圆上的点与点间的距离的平方所以所以所以故的最小值是28故答案为：28【点睛】关键点睛：本题考查圆中的相关距离的最值问题解答本题 解析：28
【分析】
设(),P x y ,则22PA PB +()222113x y ⎡⎤=-++⎣⎦，由()2
21x y -+表示圆224x y +=上的点(),P x y 与点()10
B ,间的距离的平方，可得答案. 【详解】
设(),P x y ，则()()()()22
22222242x y x y PA PB =++++--++ 2222428x y x =+-+()
222214x y x =+-+
()222113x y ⎡⎤=-++⎣⎦ ()221x y -+表示圆224x y +=上的点(),P x y 与点()10
B ,间的距离的平方. 所以211PB R OB ≥-=-=，所以()2211x y -+≥
所以()()2
2211321+1328x y ⎡⎤-++≥⨯=⎣⎦ 故22
PA PB +的最小值是28
故答案为：28
【点睛】
关键点睛：本题考查圆中的相关距离的最值问题，解答本题的关键是
22
PA PB +()222113x y ⎡⎤=-++⎣⎦，又()221x y -+表示圆224x y +=上的点(),P x y 与点()10
B ,间的距离的平方，根据211PB R OB ≥-=-=，可求解，属于中档题. 16．-4【分析】将圆的方程化为标准方程求出圆心坐标与半径利用点到直线的距离公式算出圆心到直线的距离再根据截得弦的长度为得到关于的方程解出即可【详解】由圆可得圆心为半径直线方程为圆心到直线的距离截得弦的长 解析：-4
【分析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线l 的距离，再根据截得弦的长度为4，得到关于a 的方程，解出即可
【详解】
由圆22220x y x y a ++-+=可得()()22
112x y a ++-=-
∴圆心为()11-，，半径)2r a =<
直线方程为20x y ++=
∴圆心到直线的距离d =
=截得弦的长度为4 2
222a ∴+=-，解得4a =-
故答案为4-
【点睛】
结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可
17．【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存在∴或即 解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】
由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．
【详解】
解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，
又()1,1A -，()2,2B ，如图
∵()11201PA K --==---，123022
PB K --==-， ∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在， ∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =， 即203m -≤<或102
m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦． 【点睛】 本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．
18．【分析】根据观察两条直线的位置关系结合不等式可得结果【详解】由题可知：动直线过定点动直线过定点且可知所以且所以即当且仅当时取=所以的最大值为故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题还考查了基本不等式 解析：32【分析】
根据观察两条直线的位置关系，结合不等式，可得结果.
【详解】
由题可知：
动直线1:20l x my +-=过定点()2,0A
动直线2230l mx y m --+=:
过定点()2,3B 且()110m m ⨯+⨯-=，可知12l l ⊥，所以
PA PB ⊥，且2229PA PB AB +==
所以
2229222PA PB PA PB ⎛+⎫≤+= ⎪⎝⎭
即32PA PB +≤
当且仅当PA PB =时取“=”
所以PA PB +的最大值为32 故答案为：32
【点睛】
本题考查直线过定点问题，还考查了基本不等式应用，属中档题. 19．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于 解析：36π
【分析】
作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解.
【详解】
如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，
设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，
由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ，
由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=， 所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形，
同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，
E 为AC 的中点，1222
PE AC a ==，2ABCD S a =正方形，
2311
183326
P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形，解得a =， 232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==， 即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心， 球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=.
故答案为：36π.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 20．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π
【分析】
证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积．
【详解】
∵3PE EA =，3BF FA =，∴
AE AF AP AB =，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，
取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，
∴,PD AC BD AC ⊥⊥，
而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵AC CE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ， 而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．
设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3R PA PB PC =++=⨯，3R =，
球的体积为343363
V ππ=
⨯=． 故答案为：36π．
【点睛】
结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．
21．①②④【分析】让从开始逐渐向运动变化观察所得的截面从而可得正确的选项【详解】由题设可得为所在棱的中点当时如图（1）直线分别交与连接并延长于连接交于则与正方体的截面为五边形故①正确当如图（2）此时与正 解析：①②④
【分析】
让P 从A 开始逐渐向1A 运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．
【详解】
由题设可得,M N 为所在棱的中点. 当203
AP <<时，如图（1），
直线MN 分别交,AD DC 与,T S ，连接TP 并延长1DD 于G ，
连接GS 交1CC 于H ，则α与正方体的截面为五边形，故①正确.
当11A P =，如图（2），此时α与正方体的截面为正六边形，其边长为2， 其面积为()2362=33⨯⨯，故B 正确. 当,A P 重合或1,A P 重合时，如图（3），α与正方体的截面均为四边形，故③错误.
如图（4），
在平面α内，设PM HN S ⋂=，则S PM ∈，而PM ⊂平面11A B BA ， 故S ∈平面11A B BA ，同理S ∈平面11C B BC ，
故S ∈平面11A B BA ⋂平面111C B BC BB =即PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点. 故答案为：①②④. 【点睛】
思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.
22．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 310
【分析】
取11A C 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】
取11A C 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =
，所以11//EO AC 且111
=2
EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =， 所以2211115
=
1222EO AC =+=
，112BE =+= 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以2
1113122B O ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，
所以2
221111319
42BO BB B O ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 在1BEO 中，2
221
1
1
1519
231044cos 2205
222
BE EO BO BEO BE EO +-
+-∠===-⨯⨯⨯
， 因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线1AC 与BE 310
， 故答案为：310
20
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
23．【分析】求出正三棱柱的高底面三角形的边长和高即可求出正三棱柱的体积【详解】设球的半径为r 由得则球的半径为2正三棱柱的高为正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是2所以正三角形的边长是高是6正三棱柱的体积 解析：483
【分析】
求出正三棱柱的高、底面三角形的边长和高，即可求出正三棱柱的体积. 【详解】
设球的半径为r ，由2416r π=π，得2r
，则球的半径为2，正三棱柱的高为24r =，
正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是2，所以正三角形的边长是43，高是6， 正三棱柱的体积为1
43644832
⨯⨯⨯=. 故答案为：483 【点睛】
本题考查正三棱柱的内切球、正三棱柱的体积，考查空间想象能力与计算能力.
24．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π
【分析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，
4r =，解得h r =；
所以()2
2242S rh r r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
圆柱侧；
当2r
时，S 圆柱侧取得最大值为
故答案为：. 【点睛】
本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.
三、解答题
25．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AB ⊥平面1BB C ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先由（1）得到AB BC ⊥，求出BC 和1B C ，过点C 作1CD BB ⊥于点D ，求出
CD ，再由棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】
（1）∵1B C ⊥平面ABC ，AB
平面ABC ，∴1B C AB ⊥，
又四边形11ABB A 为矩形，∴1AB B B ⊥.
又∵111B B B C B ⋂=，1B B ⊂平面1BB C ，1B C ⊂平面1BB C ，∴AB ⊥平面1BB C ， 又AB
平面11ABB A ，∴平面11ABB A ⊥平面1BB C .
（2）由（1）知AB ⊥平面1BB C ，∴AB BC ⊥，
则BC =
11B C =
=，
在1BB C △中，过点C 作1CD BB ⊥于点D ， 由于平面11ABB A ⊥平面1BB C ，平面11ABB A 平面11BB C BB =，
∴CD ⊥平面11ABB A ，
由1111122BC
B S
B C BC BB CD =
⋅=⋅可得2
CD =，
∴四棱锥11C ABB A -的体积为11
1
11233ABB A V S CD =
⋅=⨯⨯=.
【点睛】 方法点睛：
证明空间中位置关系时，通常根据空间中线面、面面平行或垂直的判定定理及性质，直接证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量等，根据空间位置的向量表示进行判断. 26．723S =侧. 【分析】
过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案. 【详解】
如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ， 过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ， 所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥， 过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C E EF E =，
所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥， 则1C F 为正四棱台的斜高， 由题意知145C CO ∠=，
()112
93322
CE CO EO CO C O =-=-=
-= 又2
sin 453232
EF CE =⋅==， ∴高()
2
2231132333C F C E EF =+=+=
∴()1
393347232
S =
⨯+⨯=侧。