高中数学一元二次函数方程和不等式知识点归纳超级精简版

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点归纳超级精简版
单选题
1、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A
分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立， 当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，
需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2
+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.
综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.
2、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C
分析：由a +b =ab ，可得1
a +1
b =1，则a +2b =(a +2b)(1
a +1
b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ，
所以1a
+1
b
=1，
所以a +2b =(a +2b)(1
a +1
b )
=3+
a b +2b a
≥3+2√a b ⋅
2b a
=3+2√2，
当且仅当a b
=2b a
，即a =√2+1,b =
2+√22
时取等号，
故选：C
3、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．3
2C ．2D ．2
3 答案：A
分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1
a 、x 1x 2=1，结合
(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.
由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=
a 2+1a
=a +1
a
，x 1x 2=1，
因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1
a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3.
故选：A
4、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，
y >0，则a 2x +
b 2y
≥
(a+b )2x+y
，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <1
2)的最
小值为（ ）
A ．16
B ．25
C ．36
D ．49 答案：B
分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
因a ，b ，x ，y >0，则a 2
x +
b 2y
≥
(a+b )2x+y
，当且仅当a
x =b
y 时等号成立，
又0<x <12
，即1−2x >0，
于是得f(x)=22
2x +32
1−2x ≥(2+3)2
2x+(1−2x)=25，当且仅当2
2x =3
1−2x ，即x =1
5时取“=”， 所以函数f(x)=2
x +
91−2x
(0<x <1
2
)的最小值为25.
故选：B
5、关于x 的不等式x 2−(a +1)x +a <0 的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1,0]∪[2,3) B ．[−2,−1)∪(3,4] C ．[−1，0)∪(2,3] D ．(−2，−1)∪(3，4) 答案：C
分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 由x 2−(a +1)x +a <0得(x −1)(x −a)<0 ， 若a =1，则不等式无解．
若a >1，则不等式的解为1<x <a ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =2，则2<a ≤3．
若a <1，则不等式的解为a <x <1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =0，则−1≤a <0．
综上，满足条件的a 的取值范围是[−1，0)∪(2,3] 故选：C ．
6、不等式
x−1x+2
<0的解集为（ ）
A ．{x|x >1}
B ．{x|x <−2}
C ．{x|−2<x <1}
D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C 解析：由
x−1x+2
<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集.
由题意，
x−1x+2
<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1，
所以不等式
x−1x+2
<0的解集为{x|−2<x <1}.
故选：C.
小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
7、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，12
7
)C ．(√3，+∞)D ．(12
7
，+∞)
答案：A
分析：分离参数，将问题转换为m <
6x
x 2+3
在(0，2]上有解，设函数g(x)=
6x
x 2+3
，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=
6x
x 2+3
的最大值，即可求得答案.
由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6x
x 2+3 ， 故问题转化为m <6x
x 2+3在(0，2]上有解， 设g(x)=
6x
x 2+3
，则g(x)=
6x x 2+3
=
6x+
3x
，x ∈(0，2]，
对于x +3
x ≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号， 则g(x)max =2√3
=√3，
故m <√3 ，
故选：A
8、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)
答案：B
分析：由不等式的性质求解即可.
2<a<3,−2<b<−1，
故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8
故选：B
9、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1
x +1
y
的最小值为（）
A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6
答案：A
分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，
所以(1
x +1
y
)(x+2y)=3+2y
x
+x
y
≥3+2√2，
当且仅当2y
x =x
y
，即x=√2−1,y=2−√2
2
时，等号成立.
故选：A.
10、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：C
分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．
充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，
∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，
必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，
∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，
∴（x−2）(x−3）≤0，
所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，
故选：C．
填空题
11、设函数f(x)=ax2−2x+c，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，若对任意x∈[−1,2],f(x)≤m2−4恒成立，则实数m的取值范围为__________.
答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)
分析：先根据不等式的解集求得a=1,c=−3，得到f(x)=x2−2x−3，再把对任意x∈[−1,2]，f(x)≤
m2−4恒成立，结合二次函数的性质，转化为m2−4≥0恒成立，即可求解.
由函数f(x)=ax2−2x+c，且不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，
即−1,3是方程ax2−2x+c=0两个实数根，
可得{−1+3=2
a
−1×3=c
a
，解得a=1,c=−3，所以f(x)=x2−2x−3，
又由f(x)=x2−2x−3=(x−1)2−4，且x∈[−1,2]，
当x=−1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)max=0，
因为对任意x∈[−1,2],f(x)≤m2−4恒成立，即m2−4≥0恒成立，
解得m≤−2或m≥2，所以实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞).
所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞).
12、设x∈R，使不等式3x2+x−2<0成立的x的取值范围为__________.
答案：(−1,2
3
)
分析：通过因式分解，解不等式．
3x2+x−2<0，
即(x+1)(3x−2)<0，
即−1<x<2
3
，
故x的取值范围是(−1,2
3
)．
小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
13、设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)
xy
的最小值为__________.
答案：9
2
.
分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)
xy =2xy+x+2y+1
xy
=2xy+5
xy
=2+5
xy
，再利用基本不等式求最值．
由x+2y=4，得x+2y=4≥2√2xy，得xy≤2
(x+1)(2y+1)
xy =2xy+x+2y+1
xy
=2xy+5
xy
=2+5
xy
≥2+5
2
=9
2
，
等号当且仅当x=2y，即x=2,y=1时成立．
故所求的最小值为9
2
．
小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
14、已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是_______．
答案：4
5
分析：根据题设条件可得x2=1−y4
5y2，可得x2+y2=1−y4
5y2
+y2=1
5y2
+4y2
5
，利用基本不等式即可求解.
∵5x2y2+y4=1
∴y≠0且x2=1−y4
5y2
∴x2+y2=1−y4
5y2+y2=1
5y2
+4y2
5
≥2√1
5y2
⋅4y2
5
=4
5
，当且仅当1
5y2
=4y2
5
，即x2=3
10
,y2=1
2
时取等号.
∴x2+y2的最小值为4
5
.
所以答案是：4
5
.
小提示：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，
二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
15、不等式x+3
x−1
>0的解集为______________．
答案：{x|x<−3或x>1}
分析：由题可得(x−1)(x+3)>0，进而即得.
由x+3
x−1
>0，得(x−1)(x+3)>0，
所以x<−3或x>1，
故不等式得解集为{x|x<−3或x>1}．
所以答案是：{x|x<−3或x>1}．
16、若0<x<2，则y=√2x(2−x)的最大值为_______
答案：√2
分析：由基本不等式求最大值．
∵0<x<2，∴2−x>0，∴y=√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x
2
=√2，
当且仅当x=2−x即x=1时取等号，∴当x=1时，有最大值√2.
所以答案是：√2．
17、不等式3x+4
x−2
≥4的解集是___________．
答案：(2,12]
分析：移项通分化简，等价转化为12−x
x−2
≥0，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.
原不等式等价于3x+4
x−2−4≥0，化简得12−x
x−2
≥0，又等价于{(12−x)(x−2)≥0
x−2≠0，
解得：2<x≤12，
所以答案是：(2,12].
18、命题p:∀x∈R，x2+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________. 答案：[0,4]
分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.
∀x∈R，要使得x2+ax+a≥0，则Δ=a2−4a≤0，解得0≤a≤4.
若命题p为真命题，则实数a的取值范围为[0,4].
所以答案是：[0,4].
19、已知x,y为正实数，则y
x +16x
2x+y
的最小值为__________．
答案：6
分析：将原式变形为y
x +16
2+y
x
，结合基本不等式即可求得最值.
由题得y
x +16x
2x+y
=y
x
+16
2+y
x
，
设y
x =t(t>0)，则f(t)=t+16
2+t
=t+2+16
2+t
−2≥2√(t+2)⋅16
2+t
−2=8−2=6.
当且仅当t=2时取等.
所以y
x +16x
2x+y
的最小值为6.
所以答案是：6
20、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2
分析：利用基本不等式即可求解.
∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，
∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)
即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)
≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α
2)
2
=(3x+y+2)2
4
，
所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，
当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，
所以3x+y的最小值为2.
所以答案是：2
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
解答题
21、销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=at
t+1
；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt．其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙
两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为9
4
万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元
（1）求利润总和y关于x的表达式：
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
答案：（1）y=3x
x+1+1
3
(3−x),0≤x≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所
得利润总和最大，最大值为7
3
万元．
分析：（1）由题意得y=ax
x+1
+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果. （1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3−x万元，
由题意知：y=P+Q=ax
x+1
+b(3−x)，
当x=3时，f(x)=9
4
，当x=0时，f(x)=1，
则{3a
4
=9
4
,
3b=1,解得a=3,b=1
3
，
则y=3x
x+1+1
3
(3−x),0≤x≤3．
（2）由（1）可得f(x)=3x
x+1+1
3
(3−x)=3(x+1)−3
x+1
+1−1
3
x
=13
3−[3
x+1
+1
3
(x+1)]≤13
3
−2√3
x+1
⋅x+1
3
=7
3
，当且仅当x=2时取等号，
故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为7
3
万元．22、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.
(1)求函数f(m)=m+3
m+2
的最小值；
(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.
答案：(1)2√3−2
(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)
分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.
(1)
因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，
所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，
所以1≤m+2≤4，
所以f(m)=m+3
m+2=m+2+3
m+2
−2≥2√(m+2)⋅3
m+2
−2=2√3−2，
当且仅当m+2=3
m+2
即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.
(2)
不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，
所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。