高一数学下学期第二次阶段考试试题含解析试题

南海区桂城中学2021-2021学年高一数学下学期第二次阶段考试试题
〔含解析〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 2{|log 2}M x x =<，{1,0,1,2}N =-，那么M
N =〔 〕
A. {1,0,1,2}-
B. {1,1,2}-
C. {0,1,2}
D. {1,2}
【答案】D 【解析】 【分析】
由集合{}2|log 2M x x =<可得{}|04M x x =<<，在计算M N ⋂的值可得答案. 【详解】解:由题知{}|04M x x =<<，故{}1,2M N ⋂=. 应选D .
【点睛】此题主要考察集合的交集运算，属于根底题型.
2.以下表达正确的选项是〔 〕 A. 1,3,5,7与7,5,3,1是一样的数列 B. 0,1,0,1,⋅⋅⋅是常数列 C. 数列0,1,2,3,⋅⋅⋅的通项n a n = D. 数列{}21n +是递增数列
【答案】D 【解析】 【分析】
根据数列的定义可排除,A B ；根据通项公式的定义可排除C ；根据数列各项的变化规律可知
D 正确.
【详解】数列1,3,5,7与7,5,3,1各项顺序不同，不是一样的数列，故A 错误； 数列0,1,0,1,⋅⋅⋅是摆动数列，故B 错误； 数列0,1,2,3,⋅⋅⋅，通项1n a n =-，故C 错误；
21n 单调递增，那么数列{}21n +是递增数列，故D 正确.
此题正确选项：D
【点睛】此题考察数列的概念、通项、增减性的断定，属于根底题.
3.在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如下图，那么以下四个选项里面判断不正确的选项是〔 〕
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】D 【解析】 【分析】
根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中位数、极差，从而判断出,,A B D 的正误；根据成绩的分散程度可判断C 的正误. 【详解】甲的成绩的平均数为：()1
562728292107.510
x =+⨯+⨯+⨯+⨯+=甲 乙的成绩的平均数为：()1
6738293101810
x =
+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 ∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A 正确；
甲的成绩的中位数为：
787.52
+=；乙的成绩的中位数为：88
82+= ∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B 正确；
由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，
∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C 正确；
甲的成绩的极差为：1055-=；乙的成绩的极差为：1064-=
∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D 不正确．
此题正确选项：D
【点睛】此题考察根据条形统计图判断平均数、中位数、极差和方差的问题，属于根底题.
{}n a 的前n 项和为n S ，且181212a a a ++=，那么13S =〔 〕
A. 104
B. 78
C. 52
D. 39
【答案】C 【解析】 【分析】
将1812a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()1812111171131812a a a a a d a d a d ++=++++=+=
164a d ∴+=，即74a = ()
1131371313134522
a a S a +∴=
==⨯=
此题正确选项：C
【点睛】此题考察等差数列根本项的计算、性质的应用，属于根底题.
0a >，0b >，26a b +=，那么12
a b +的最小值为〔 〕
A. 23
B. 43
C. 5
3
D. 8
3
【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，得出1211214()(2)(4)66b a
a b a b a b a b
+=+⋅+=++，利用根本不等式，即可求解，得到答案。

【详解】由题意，因为0,0,26a b a b >>+=，
那么
1211214114
()(2)(4)(4(44)66663
b a a b a b a b a b +=+⋅+=++≥+=+=
当且仅当
4b a a b =且26a b +=即3
,32
a b ==时获得最小值43.
应选：B ．
【点睛】此题主要考察了利用根本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，纯熟应用根本不等式求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。

6.a ，b ，c ，d 均为实数，以下不等式关系推导成立的是〔 〕 A. 假设,a b c d a c b d ><⇔+>+ B. 假设,a b c d ac bd >>⇔> C. 假设0bc ad ->，00c d
ab a b
->⇒< D. 假设0a b >>，
0c d >>【答案】D 【解析】 【分析】
利用特殊值可判断选项,,A B C ，利用不等式相除的性质判断选项D .
【详解】对于A ，当2,3a b =-=-，1,2c d ==时， a c b d +=+，故A 错误， 对于B ，当2,3a b =-=-，2,1c d ==时，ac bd <，故B 错误， 对于C , 当2,3a b =-=-，1,2c d ==时，0ab >故C 错误，
对于D ，假设0a b >>，那么0c d >>>
D 正确． 应选D ．
【点睛】此题主要考察不等式的根本性质，特值法的应用，意在考察对根底知识的掌握情况，属于根底题.
x 的不等式20x ax b --<的解集是()2,3-，那么+a b 的值是〔 〕
A. 11-
B. 11
C. 7
D. 7
【答案】D 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的求解方法可确定方程20x ax b --=的根为2-和3，利用根与系数关系求得a 和b ，从而得到结果. 【详解】
关于x 的不等式20x ax b --<的解集是()2,3-
∴方程20x ax b --=的解为：2-和3
由根与系数的关系得：231a =-+=，236b -=-⨯=-，即6b =
7a b ∴+=
此题正确选项：D
【点睛】此题考察根据一元二次不等式的解集求解参数值的问题，属于根底题.
34位同学，座位号记为01,02,,34⋅⋅⋅．用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活
动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开场．由左到右依次选取两个数字，那么选出来的第4个志愿者的座号是〔 〕 495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206
A. 23
B. 09
C. 02
D. 16
【答案】D 【解析】 【分析】
根据随机数表，按要求选取小于34且不重复的编号即可得到结果.
【详解】按要求由左到右依次选取两个数字中小于34且不重复的编号依次为：21，32，09，16
那么第4个志愿者的座号为：16 此题正确选项：D
【点睛】此题考察简单随机抽样中的随机数表法，属于根底题.
ABC ∆中，AB c =，AC b =．假设点D 满足2BD DC =，那么AD =〔 〕
A. 2133
b c +
B. 5
233
c b -
C. 2133
b c -
D.
1233
b c + 【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角形法那么表示AD AB BD =+，然后利用向量的线性运算和三角形法那么把BD 用
,AB AC 表示.
【详解】解：AD AB BD =+
=2
3AB BC +
=()
2
3AB AC AB +- =12
33AB AC + =1233
c b + 应选：A ．
【点睛】此题考察向量的三角形法那么，平面向量根本定理，向量的加减运算，属于根底题.
{}n a 满足12n n a a +=,且31116a a ⋅=,那么5
a
=( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】A 【解析】
依题意{}n a 是等比数列，公比2q ，所以，7
52414
a a q =
===，应选A.
ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos a A b B =，那么ABC ∆的
形状一定是〔 〕 A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或者直角三角形
D. 等腰直角
三角形 【答案】C
【解析】
试题分析：由正弦定理
sin sin a b A B
=可得sin cos sin cos A A B B =,sin 2sin 2A B ∴=. [],0,A B π∈,22A B ∴=,或者22A B π+=.A B ∴=或者2
A B π
+=
.即A B =或者
2
C π
=
.应选C.
考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.
的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形〞，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两
端的数均为
1(2)n n
≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，
111
3412
=+，…，那么第10行第4个数〔从左往右数〕为〔 〕
A.
11260
B.
1840
C.
1504
D.
1360
【答案】B 【解析】
三角形数阵可改写为
11
0112C 11
12C 1112C 0213C 02
13C
1213C 1213C 2213C 22
13C 0314C 0314C 1314C 1
314C 2
314C …
因此第n 行的第k 个数(从左往右数)为11
1k n nC --(k≤n,n≥2,n∈N,k∈N *
),那么第10行第4个数
为1
1
1k n nC --=1
840.
第二卷
二、填空题：〔本大题4小题，每一小题5分，满分是20分〕
(1,)a k =，(9,6)b k =-，假设//a b ，那么k =_________．
【答案】
【解析】
试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得3
4
k =-． 考点：向量一共线坐标表示的应用．
14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，假设乙的中位数恰好等于甲的平均数，那么·的值是_________．
【答案】6 【解析】 【分析】
乙的中位数为90，设•的值是x ，那么8089889196
905
x +++++=
，可得x 的值．
【详解】解：乙的中位数为90，设•的值是x ， 所以8089889196
905
x +++++=
，
解得6x =， 故填：6．
【点睛】通过茎叶图考察学生对中位数和平均数的理解，简单的计算问题，属于简单题．
402
x
x -≥+的解集是_________． 【答案】(2,4]- 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法即可求得结果. 【详解】由
402x
x -≥+得：()()42020x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩
，解得：(]2,4x ∈- 此题正确结果：(]2,4-
【点睛】此题考察分式不等式的求解问题，易错点是忽略分母不为零，造成增根.
{}n a 且21
,2πsin ,4n n n n
a n n 为奇数为偶数⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩
，假设n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么2018S =_________．
【答案】
30282019
【解析】 【分析】
根据通项公式为分段函数的特点，将前2021项的和分组，分别计算奇数项的和与偶数项的和，其中奇数项可采用裂项相消法求和，偶数项利用周期求和即可.
【详解】数列{}n a 且21
,2,4n n n n
a n sin n 为奇数为偶数π⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩
，
①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++⎝⎭
，
②当n 为偶数时，sin
4
n n a π=， 所以：()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+，
()11111111010233520172019⎛⎫=
-+-+⋯+-++-+⋯+ ⎪⎝⎭
， 10093028
120192019
=
+=． 故答案为：3028
2019．
【点睛】此题主要考察了数列求和中的裂项相消法，分组法，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于中档题．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
{}n a 中，71994,2a a a ==.
(1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔I 〕12n n a +=〔II 〕2222
222()()()122311
n n
S n n n =-+-++-=++ 【解析】
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，那么a n ＝a 1＋(n －1)d.
因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d ＋＝，＋＝（＋）
.
解得a 1＝1，d ＝12
.所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2n ＋. (2)b n ＝
1n na ＝222
11
n n n n ＝－（＋）＋，
所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫
⋯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
－＋－＋＋－＝＋＋
(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，0πβα<<<，设(0,1)c =，假设a b c +=，求α，β的值． 【答案】5,66
ππ 【解析】
【分析】
根据向量坐标和a b c +=可得cos cos 0αβ+=，sin sin 1αβ+=，结合角的范围可求得απββ=->，从而可得02πβ<<
；利用sin sin 1αβ+=可求得sin β，结合β的范围求得β，在根据απβ=-求得α.
【详解】()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，()0,1c =，a b c +=
cos cos 0αβ∴+=，sin sin 1αβ+= ()cos cos cos αβπβ∴=-=-
0βαπ<<< 0πβπ∴<-<
απββ∴=-> 02πβ∴<<
()sin sin sin απββ∴=-= 2sin 1β∴=，即：1
sin 2β= 6πβ∴= 566
π
παπ∴=-= 【点睛】此题考察根据三角函数值求解角的问题，涉及到向量的坐标运算、向量相等、诱导公式应用、特殊角三角函数值的问题，易错点是忽略角的范围，造成求解错误.
ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--. 〔I 〕求cos A 的值；
〔II 〕求sin(2)B A -的值.
【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边〞得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：〔Ⅰ〕解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B =，得2a b =. 由()2225ac a b c =--，及余弦定理，得222555cos 25
ac b c a A bc ac -+-===-. 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得25sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 45a A B b ==. 由〔Ⅰ〕知，A 为钝角，所以225cos 1sin 5
B B =-=.于是4sin22sin cos 5B B B ==， 23cos212sin 5
B B =-=，故 ()4532525sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进展“边转角〞寻求角的关系，利用“角转边〞寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，
[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
〔1〕求直方图中的值；
〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；
〔3〕在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，那么月平均用电量在[
)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】〔1〕0.0075；〔2〕230，224；〔3〕5．
【解析】
试题分析：〔1〕由直方图的性质可得〔0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025〕×20=1，解方程可得；〔2〕由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240〕内，设中位数为a ，解方程〔0.002+0.0095++0.011〕×20+0.0125×〔a-220〕=0.5可得；〔3〕可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是2202402
+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，
得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
21.HY 指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力
施行一项将重塑全球汽车行业的方案．2018年某企业方案引进新能源汽车消费设备，通过场分析，全年需投入固定本钱2500万元，每消费x 〔百辆〕，需另投入本钱()C x 万元，且
210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
由场调研知，每辆车售价5万元，且全年内消费的车辆当年能全部销售完．
〔1〕求出2018年的利润()L x 〔万元〕关于年产量x 〔百辆〕的函数关系式；
〔=-利润销售额成本〕
〔2〕2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】〔1〕2104002500,040
(){100002000(),40x x x L x x x x
-+-<<=-+≥；〔2〕当100x =时，即2018年消费100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.
【解析】
【分析】
(1)结合题意写出利润函数即可；
(2)结合(1)中的利润函数分段讨论函数的最值即可求得最终结果.
【详解】()1当040x <<时，()22
600102002500104002500L x x x x x x =---=-+-， 当40x ≥时，()1000010000600601450025002000.L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝
⎭ ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
． ()2当040x <<时，()210(20)1500L x x =--+，
∴当20x =时，()L x 获得最大值1500；
当40x ≥时，(
)10000200020001800L x x x ⎛⎫=-+
≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x
=即100x =时取等号．
∴当100x =时，()L x 获得最大值1800．
即2021年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用根本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比拟得最大值、最小值．
{}n a 中，11a =，*1()3
n n n a a n a +=∈+N ． 〔1〕求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ： 〔2〕数列{}n b 满足(31)2
n
n n n n b a =-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】〔1〕证明见解析；231n n a =-；〔2〕1242n n n T -+=- 【解析】
试题分析：〔1〕此题给出条件式子较复杂，要把握好证明中式子的构造，从等比数列的定义出发，
合理对式子变形进展证明．知公比和首项，可求出通项公式．
〔2〕给出新数列{}n b 结合〔1〕，对(31)2n n n n
n b a =-⋅⋅化简，易发现为等差与等比商式， 联络错位相减法〔注意第二个式子所乘的因数为公比〕进展求和，可得．
试题解析： 〔1〕证明：由1(*)3n n n a a n N a +=∈+，得11331n n n n
a a a a ++==+， 111113()22n n a a +∴+=+所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以1113()22a += 为首项的等比数列，从而
1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； 〔2〕12n n n b -=
01221
11111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 121111112(1)22222
n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减 得：012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-
1
242n n n T -+∴=- 考点：〔1〕等比数列的定义及代数变形才能．〔2〕错位相减法．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。