高考数学一轮复习第7章热点探究训练4中的高考热点问题文北师大版06

热点探究训练(四) 立体几何中的高考热点问题
1．如图7，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，平面MADN ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为MA ，DC 的中点，求证：
图7
(1)EF ∥平面MNCB ； (2)平面MAC ⊥平面BDN .
[证明] (1)取NC 的中点G ，连接FG ，MG . 因为ME ∥ND 且ME ＝1
2
ND ，
又因为F ，G 分别为DC ，NC 的中点，FG ∥ND 且FG ＝1
2
ND ，
所以FG 綊ME ，所以四边形MEFG 是平行四边形，所以EF ∥MG . 4分 又MG 平面MNCB ，EF 平面MNCB ，
所以EF ∥平面MNCB .
6分
(2)连接BD，MC，因为平面MADN⊥平面ABCD，四边形MADN是矩形，
所以ND⊥AD，又因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，
ND平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，
所以ND⊥AC. 8分
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 10分
因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.
又因为AC平面MAC，
所以平面MAC⊥平面BDN. 12分
2．(2017·合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
图8
(1)求证：BD ⊥PE ；
(2)过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 的中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC
的值.
【导学号：66482347】
[解] (1)证明：∵BD ⊥PD ，BD ⊥CD 且PD ∩DC ＝D ， ∴BD ⊥平面PCD ，而PE 平面PCD ，∴BD ⊥PE . 5分 (2)由题意得BM ＝1
4
BC ，
取BC 的中点F ，则PF ∥MN ，∴PF ∥平面DMN ，7分
由条件PE ∥平面DMN ，PE ∩PF ＝P ， ∴平面PEF ∥平面DMN ，∴EF ∥DM . 10分
∴DE DC ＝MF MC ＝1
3
. 12分 3．(2017·西安调研)如图9①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝
1
2
AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，
得到四棱锥A 1­BCDE .
① ②
图9
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值.
【导学号：66482348】
[解] (1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π
2
，所以
BE ⊥AC . 2分
则在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O ， 从而BE ⊥平面A 1OC .
又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . 5分 (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)可得A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE . 8分 即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高． 由图①知，A 1O ＝
22AB ＝2
2
a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积为
V ＝1
3S ·A 1O ＝13·a 2·
22a ＝26
a 3. 由
26
a 3
＝362，得a ＝6. 12分 4．(2017·贵阳模拟)已知如图10，△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，且AB ＝BC ＝
BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.
图10
(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；
(2)求三棱锥A­BCD的体积．
[解 (1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，则BC⊥平面AOD. 1分证明如下：
∵AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，
∴△AOB≌△DOB，3分
则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD. 5分
(2)∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，
∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥A­BCD底面BCD上的高，7分
在Rt △AOB 中，AB ＝1，∠ABO ＝60°， ∴AO ＝AB sin60°＝
3
2
. 10分 又∵S △BCD ＝12BC ·BD ·sin∠CBD ＝3
4，
∴V 三棱锥A ­
BCD
＝13·S △BCD ·AO ＝13×34×32＝1
8
. 12分 5. 如图11，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.
图11
(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；
(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PM
MC
的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin60°＝3
2
. 2分
由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝3
6
. 5分
(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥
PA 交PC 于点M ，连接BM . 7分
由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 10分 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝1
2
，
从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝1
3
. 12分
6. (2015·湖南高考)如图12，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，
F 分别是BC ，CC 1的中点．
图12
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC的体积．
[解](1)证明：如图，因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC. 3分
因此AE⊥平面B1BCC1.
而AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1. 5分
(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角. 8分
由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝
3
2
AB＝ 3.
在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2
＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.
故三棱锥F ­AEC 的体积
V ＝1
3S △AEC ·FC ＝13×
32×22＝6
12
. 12分。