陈湘平(n个小球放进r个盒子的不同方案的计数问题)

n个小球放进r个盒子的不同方案的计数问题
（519015）广东省珠海市第四中学陈湘平
摘要：本文主要对n个小球放进r个盒子这一问题，按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同以及是否允许出现空盒共分成八种不同的情形作了较为全面的探讨，并给出了每一种情形方案数的计算公式.
关键词：小球，盒子，空盒，相同，相异.
从n个不同的元素中，取r个按次序排列的典型模型是把n个相异的小球，取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个.也就是说，把n个相异的小球取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个，其不同的放法数为排列数P .
如果把上面模型中的“相异”换成“相同”，把“每盒一个”换成“允许出现空盒”或“不允许出现空盒”，那么它们不同的方案数又怎么样来计算呢？笔者对这个问题产生了浓厚的兴趣，并按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同和是否允许出现空盒共分成八种情形作了粗浅的探讨，现逐一介绍如下：
一把n个相异的小球放进r个相异的盒子里，允许出现空盒.
我们不妨设这n个小球为a1，a2，…，a n.首先把a1放进盒子里，因为r个盒子是相异的，所以有r种放法.同理，a2，…，a n 放进盒子里都有r种放法，依乘法原则知不同的方案数
N 1 = r·r·…·r = r n
例1将4封不同的信投入4个不同的信箱，不同投法有多少？
分析：这个问题等价于求把4个相异的小球放进4个相异的盒子，允许出现空盒的方案数.由上面的讨论可知这一方案数为44 =256.
二把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.
为了讨论这种情形，我们很有必要先来了解一下第二类Stirling 数.
定义1把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒，其不同的方案数用S2（n ，r）表示，称为第二类Stirling数.
所以这种情形的不同方案数N2 = S2（n ，r）
下面再来讨论一下具体怎么样求Stirling数.
引理1(1) S2（n ，r）= 0 （r >n ）
(2)S2（n ，r）= 0
(3)S2（n ，1）=1
(4)S2（n ，n）=1
(5)S2（n ，2）=2n-1-1
(6)S2（n ，n-1）= C
证明：依定义1，结论（1），（2），（3），（4）显然成立，下面只证（5）和（6）.
（5）证：从n个相异的小球中取出一个设为a1，剩下的n-1个相异的小球，每个都有与a1同盒或不同盒两种选择，共有2n-1种方案，但必须排除全体都与a1同盒这种情形，这时另一盒是空盒！故实际上只有2n-1-1种方案.所以S2（n ，2）=2n-1-1.
（6）证：n个相异的小球放进r-1个相同的盒子里，不允许有一空盒，故必有一盒有两个小球，从n个相异的小球中取出2个，共有
C 种方案，故S2（n ，n-1）= C .
引理2S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）
证明：从n个相异的小球中取出一个设为a1，把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，使得无一空盒的方案的全体可分为两类：（1）a1独占一盒，其方案数为S2（n-1 ，r-1）；
（2）a1不独占一盒，这相当于先将剩下的n-1个小球放进r个盒子里，不允许出现空盒，共有S2（n-1 ，r）种方案，然后将a1放进其
中一盒，有r种方案，由乘法原则得a1不独占一盒的方案数r·S2（n-1 ，r）.
依加法原则有S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）.
有了引理1和引理2，我们总是可以计算出S2（n ，r）的值来.下面给出一张S2（n ，r）数值表，以便大家查阅
（注：表中空格值为0）
r
k=1
三 把n 个相异的小球放进r 个相异的盒子里，不允许出现空盒. 这种情形相当于先把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，要求无一空盒，然后将r 个盒子进行全排列，故这种情形的方案数
N 3 = r! • S 2 (n ，r)
例2 现从某校5名学生干部中选出4人分别参加北京市“资源”，“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营至少有一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案数是多少？
分析：我们把参加活动过程分成以下两个步骤：第一，从5名学生干部中选出4名，共有C =5种不同方案；第二，再把选出的4名学生干部安排到3个夏令营活动中去，每个夏令营至少一人，这相当于把4个相异小球放进3个相异小球的盒子，不允许空盒，所以共有3！•S 2(4,3)=3!×6=36种不同方案.依乘法原则得不同的参加方案数为5×36=180.
四 把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 易知，这n 个相异的小球可能只放在r 个相同盒子中的某k(k=1,2,…，r)个中，其余r-k 个盒子都是空的，依定义1以及加法 原则可得该情形的方案数
N 4 =∑ S 2(n,k)
五 把n 个相同的小球放进r 个相异的盒子里，允许出现空盒. 易证这种情形的方案数N 5等于不定方程x 1+x 2+…x r =n 的非负整数解的个数.
引理3，不定方程x 1+x 2+…+x r =n 的非负整数解的个数为
C .
证明：设元集A=｛a1，a2，…，a r｝则A的任一个n-可重复组合可表示成｛x1•a1，x2•a2，…，x r•a r｝,其中x i（i=1,2,…,r）是非负整数且x1+x2+…+x r=n，所以r 元集A的n-可重复组合的个数等于方程x1+x2+…+x r=n的非负整数解的个数，而r元集A的n-可重复组合的个数为C ，故引理3成立.
所以 N5 = C .
例3将10个相同的小球装入3个编号为1，2，3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里的球的个数不少于盒子的编号数，这样的方案有多少种？
分析：符合题目条件的方法可分为以下两个步骤来完成：首先我们从10个相同的小球中取出6个，在i号盒放入i个（i=1,2,3），因为小球是相同的，所以不同的方案数只有1种；然后把余下的4个相同的小球放进1，2，3号盒中，允许空盒，共有C =15种不同方案，由乘法原则，方案有1×15=15种.
六把n个相同的小球放进r个相异的盒子里，不允许出现空盒.
我们先从这n个小球中取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个（从而保证了不会出现空盒）.然后将余下的n-r个相同小球放进r个相异的盒子里，从第五种情形的讨论中可知有
C =C =C
种不同方案.
所以该情形的不同方案数N6=C .
例4某校准备参加2001年全国高中数学联赛，把10个选手名额分配到高三年级的8个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有多少种？
分析：我们知道，这10个选手名额是没有区别的，而高三年级的8个班是有区别的.所以这个问题等价于求把10个相同小球放进8个相异的盒子，不允许空盒的不同方案数.从第六种情形讨论中知不同的方案数共有C =C =C =36种.
七把n个相同的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.
在讨论这种情形之前，我们有必要先来了解一下关于正整数的分拆问题，
定义2，设n1，n2，…，n r是r个正整数，n1≥n2≥…≥n r，如果n=n1+n2+…+n r，则分解式n=n1+n2+…+n r称为一个部分数为r的n-分拆，n i（i=1，2，…，r）称为该分拆的一个部分，以P r（n）表示部分数为r的n-分拆的个数.
把n个相同的小球放进r个相同的盒子，不允许出现空盒，求不同方案数，这一问题等价于如下的整数分拆问题：
选取r个下整数n1，n2，…，n r，（n1≥n2≥…≥n r），使得n=n1+n2+…+n r,求不同的选取方案数，即P r（n）.
所以第七种情形的方案数
N7 = P r（n）.
下面将给出具体的公式来求上面的P r（n）.
引理4P1（n）=1 ，P n（n）=1
r
k=1 r
k=1 5
k=1 3
k=1
k=1
4
r
证明：由定义2即知. 引理5 P 2（n ）=[n/2]
证明：设n= n 1+n 2是一个部分数为2的n-分拆，因为n 1≥n 2≥1，
所以1≤n 2≤[n/2].又对任一个不大于[n/2]正整数n 2，令n 1=n -n 2，则n= n 1+ n 2是一个部分数为2的n -分拆，所以P 2（n ）=[n/2].
引理6 P r （n ）=∑ P k (n-r)
证明：以A 表示由全体部分数为r 的n -分拆所成之集，则∣A ∣= P r （n ）.设a ∈A,若在分拆a 中，大于1的部分有k(1≤k ≤r ，下同)个，则称a 是A 的第k 类元，去掉a 中等于1的部分，其余各部分均减小1，就得到一个部分数为k 的(n-r)-分拆，因此A 的第k 类元共有P k （n -r ）个，由加法原则有
P r （n ）=∑ P k (n-r)
有了引理4，5，6，我们就可以算出P r （n ）的值来，如： P 5(10) =∑ P k (10-5)
=P 1（5）+P 2（5）+P 3（5）+P 4（5）+P 5（5） =1+1+[ 5/2 ] +∑P k (5-3)+∑ P k (5-4)
=4+P 1(2) +P 2 (2)+P 1 (1) =4+1+1+1 =7
这表明把10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有7种不同的方案.有兴趣的读者不妨自行验证一下.
r
k=1
八 把n 个相同的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 允许出现空盒，也就是说这n 个小球可能只放在r 个相同盒子当中的k(1≤k ≤r)个盒子里，其余的r-k 个盒子都是空的，由定义2及加法原则可得此情形的方案数
N 8 = ∑ P k (n)
再由引理6，不难得到 N 8= P r （n+r ）. 其具体的计算方法请参照第七种情形.
参考文献：
[1]曹汝成，组合数学，广州：华南理工大学出版社，2000
[2]R.A.Brualdi.李盘林，王天明译.组合学导引，武汉：华中工学院出版,1982 [3]徐治利，蒋茂森，朱自强，计算组合数学.上海科学出版社，1987 [4]李宇寰，组合数学.北京：北京师范学院出版社，1988
[5]卢开澄，组合数学算法与分析.北京：清华大学出版社，1983 [6]Tomesu.栾汝书等译.组合学引论.北京：高等教育出版社，1985
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