高中数学 每日一题(4月24日4月30日)新人教A版必修4

4月24日 “五点法”作函数sin()(0)y A x ωϕω=+≠的图象
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
作出函数y =sin （x-）在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【参考答案】见试题解析
【试题解析】函数y =sin （x-）的周期T ==6π,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个
关键点列表如下:
x - 0 π 2π x
π 4π 7π
sin （x -）
0 - 0
描点作图,如图所示.
【解题必备】用五点法画函数sin()(0)()y A x x ωϕω=+≠∈R 的简图，先作变量代换，令X x ωϕ=+，再用方程思想由X 取 0，2π，π，2
3π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线，画出函数的图象.
1．已知函数y =2sin （+）.
（1）试用“五点法”画出它的图象; （2）求它的振幅、周期和初相.
2．已知函数.
f x在长度为一个周期的闭区间上的简图;
（1）列表并画出函数()
f x的单调递减区间.
（2）求()
1．【解析】（1）令t=+,列表如下:
x-
t0 π2π
y0 2 0 -2 0 描点连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象:
（2）振幅A=2,周期T=4π,初相为.
【名师点睛】利用“五点法”作出函数在一个周期内的图象之后,只需把函数的图象向左右两方伸展出一部分即可.如果要作出函数在指定区间内的图象,则要注意对函数图象端点的处理.
f x的周期,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个2．【解析】（1）函数()
关键点列表如下:
0 3 0 -3 0
描点作图，得到一个周期的简图,图象如下:
（2）由得,
f x的单调递减区间为.
所以,函数()
4月25日 三角函数图象之间的变换
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
要得到函数y =
cos x 的图象,只需将函数y =
sin （2x +）图象上的所有点的
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度 【参考答案】C 【试题解析】∵y =cos x =
sin （x +）,
∴y =
sin （2x +）的图象
y =sin （x +）的图象
y =sin （x +）的图象.故选C.
【解题必备】变换作图法作sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象是指由函数y =sin x 的图象通过变换得到
sin()y A x ωϕ=+的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如图所示
由上可知函数y =sin x 到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换途径为：相位变换→周期变化→振幅变换，或周期变换→相位变化→振幅变换.
1．函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，
则只需将f （x ）的图象
A ．向右平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位
D ．向左平移
个长度单位
2．函数()()sin (0,)2
f x x ωϕωϕπ
=+><的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象
A ．向右平移
6π
个单位 B ．向右平移
12π
个单位 C ．向左平移6
π
个单位
D ．向左平移12
π
个单位
3．有下列四种变换方式: ①向左平移
,再将横坐标变为原来的
;
②横坐标变为原来的,再向左平移; ③横坐标变为原来的,再向左平移
;
④向左平移
,再将横坐标变为原来的
;
其中能将正弦曲线的图象变为
的图象的是
A ．①和②
B ．①和③
C ．②和③
D ．②和④
1．A 【解析】由图象，得：，则，即，因为图象过
点
，所以7π3π22()122k k ϕ⨯+=+π∈Z ，解得2()3k k ϕπ=+π∈Z ，又||2ϕπ<，所以3
ϕπ=.则g （x ）=sin2x 的图象由的图象向右平移个长度单位得到.故选
A.
2．D 【解析】由题结合图象可得sin(2)sin[2()],36
y f x x x ==++π
π（）=
cos 2sin(2)sin(2()),24
g x x x x ππ
==+=+（）故选D.
3．A 【解析】对于①，将正弦曲线向左平移，可得到曲线，再将横坐标变为原
来的，可得到曲线
，所以正确； 对于②，将横坐标变为原来的
，得到曲线
，再向左平移
，得到曲线
，所以正确；
对于③，将横坐标变为原来的
，得到曲线
，再向左平移
，得到曲线
，所以错误；
对于④，向左平移
，得到曲线，再将横坐标变为原来的
，得到曲线
，所以错误.故选A.
4月26日 由图象求函数sin()(0)y A x ωϕω=+≠的解析式
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
函数sin()(0,||,)2
y A x x ωϕωϕπ
=+><
∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为
A ．)48sin(4π
-π-=x y B ．)48sin(
4π
-π=x y C ．)4
8sin(4π
+π=x y
D ．)4
8sin(4π
+π-=x y
【参考答案】D
【试题解析】由图知，当0A <时，4A =-，()2[62]16T =⨯--=，所以28
T ωππ
=
=，所以4sin()8y x ϕπ=-+．当2-=x 时，()22()8k k ϕπ⨯-+=π∈Z ，解得24k ϕπ=+π，当0=k 时，4
ϕπ
=，
所以函数表达式为)4
8sin(4+π-=x y ，故选D ．
【解题技巧】根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．
1．如图所示为函数的部分图象，其中A 、B 两点之间的距
离为5，那么f （−1）=
A ．
B ．
C ．2
D ．−2
2．函数ππ
()2sin()(0,)22
f x x ωϕωϕ=+>-
<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 A ．2，π3-
B ．2，π
6-
C ．4，π
6
-
D ．4，
π
3
1．C 【解析】由题中图象可得2,2sin 1A ϕ==，即1sin 2
ϕ=
，由2ϕπ≤≤π，结合图象可得56ϕ=π，
由,A B 两点之间的距离为5，解得2
2516()ω
π
=+，解得3
ωπ
=
，故函数5()2sin()36f x x ππ=+
，故(1)2sin
22
f π
-==.故选C. 2． A 【解析】由题意得：11π5ππ2π,π, 2.212122T T T ω=-====又5ππ
22π(),122
k k ϕ⨯+=+∈Z 所以
π2π(),3k k ϕ=-+∈Z 而ππ22ϕ-<<，所以π.3
ϕ=-
4月27日 由图象变换求函数sin()(0)y A x ωϕω=+≠的解析式
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10
π
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A ．sin(2)10y x π
=-
B ．sin(2)5y x π
=-
C ．1sin()210
y x π
=-
D ．1sin()220
y x π
=-
【参考答案】C
【试题解析】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，得sin()10
y x π
=-，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin()210
y x π
=-．故选C ．
【解题必备】1.确定函数sin y x =的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移
的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出,,A ωϕ的值.
2.由sin()(0)y A x ωϕω=+≠的图象得到sin y x =的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
1．将函数f （x ）＝－cos2x 的图象向右平移4
π
个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质 A ．最大值为1，图象关于直线x ＝2
π
对称 B ．在（0，
4
π
）上单调递减，为奇函数 C ．在（38π－，8
π
）上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点（8
π，0）对称
2．若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变）,得到函数y =sin x 的图象,则()y f x =的解析式为
A ．y =sin （2x -）+1
B ．y =sin （2x -）+1
C ．y =sin （x +）-1
D ．y =sin （x +）-1
1．B 【解析】由题意得，()cos[2()]cos(2)=sin 242
g x x x x π
π=--=---， 对于选项A ，最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=
对称，故A 错误；对于选项B ，当(0,)4
x π∈时，2(0,)2
x π∈，g （x ）在(0,)2
上单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；对于选项C ，当
3(,)88x ππ∈-时，32(,)44
x π
∈-π，不满足单调递增，也不是偶函数，故C 错误；对于选项D ，周期
22T π=
=π，32()82g π=-
，故不关于点3(,0)8
π
对称，故选B ． 2．B 【解析】将y =sin x 的图象上每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变）,得到y =sin 2x 的图象,再将所得图象向上平移1个单位,得到y =sin 2x +1的图象,再把函数y =sin 2x +1的图象向右平移个单位,得到y =sin2（x -）+1的图象,即函数()f x 的图象,所以f （x ）=sin 2（x -）+1=sin （2x -）+1,故选B.
4月28日 三角函数模型的简单应用
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆
如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
（1）求出你与地面的距离y （米）与时间t （分钟）的函数关系式； （2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
【参考答案】见试题解析
【试题解析】（1）由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由周期为12分钟，可知，当6t =时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω=π.即ω＝π6.
所以y ＝40.5－40cos π
6
t (t ≥0)．
（2）设转第1圈时，第0t 分钟时距地面60.5米，由060.540.540cos
6t π=-，得01
cos 62
t π=-，所以063t π2π=
或063
t π4π
=，解得04t =或08t =，所以8t =（分钟）时，第2次距地面60.5米.故第4次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．
【解题必备】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.
1．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁,黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘.礁盘外形呈等腰直角三角形,其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10~20米的湖.湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连,中型渔船和小型舰艇可由此进入维修或者避风,受热带季风的影响,四月份通道一天中整点(偶数)时的水深的近似值如下表:
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
水深(米) 7.5 5.7 5 5.7 7.5 10 12.6 14.3 15 14.4 12.5 10.1 7.5 此通道的水深y(米)与时间x(时)可以用形如y=A sin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<π)的函数来刻画.
（1）根据以上数据画出其近似图象,并求出水深y(米)与时间x(时)的具体函数关系式;
（2）若某渔船吃水深度为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,该船需进湖休息,一天中什么时刻可以进入湖内?
2．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示．
（1）求这条曲线对应的函数解析式；
（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
1．【解析】（1）图象如图所示
由图可知该函数的最大值为15,最小值为5,最小正周期为24,
即A +h =15,h -A =5, 224T ω
π
==，
解得A =5,h =10,ω=.又函数的图象过点(16,15),即y =5sin(
×16+φ)+10=15,
所以φ=-
+2k π(k ∈Z ),又|φ|<π,所以φ=-
.
所以水深y （米）与时间t （时）的函数关系式为y =5sin(x -)+10.
（2）因为该渔船吃水线为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,所以要使该渔船进湖休息,需水深不小于7.5米时进出, 即一天中需y =5sin(x -)+10≥7.5时进出,
解得x =0或8≤x ≤24 ,
所以一天中0时或8时到24时可以进入湖内休息.
2．【解析】（1）设这条曲线对应的函数解析式为s ＝A sin(ωt ＋φ)．
由图象可知：A ＝4，周期T ＝2×⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，
此时所求函数的解析式为s ＝4sin(2t ＋φ)．
以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，4为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π12＋φ＝π2，所以φ＝π3.
得函数解析式为s ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2t ＋π3.
（2）当t ＝0时，s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0＋π3＝4sin π3＝4×32＝23(cm)，
所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.
4月29日 周六培优特训
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．要得到函数y =sin(2x +)的图象,只要将函数y =sin 2x 的图象 A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移
个单位长度
D ．向右平移
个单位长度
2．已知y =A sin(ωx +φ)在同一周期内,x =时有最大值, x = 时有最小值－ ,则函数的解析式为 A ．y =2sin()
B ．y =sin(3x +
)
C ．y =
sin (3x — )
D ．y = sin(3x －
)
3．函数()()(|sin ,2
|0,)f x x x ωϕωϕπ
=+∈><
R 的部分图象如图所示,则函数()f x 的解析式为
A ．()(sin 24)f x x π
=+
B ．()(sin 2)4f x x =-π
C ．()sin 4(+)4
f x x 3π
=
D ．()(sin 4)4
f x x =-π
4．把函数y =sin(5x-)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,所得到的图象对应的函数解析式为 A ．y =sin(10x-) B ．y =sin(10x-) C ．y =sin(10x-)
D ．y =sin(10x-)
5．如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
A．5 B．6
C．8 D．10
6．函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则
φ=.
7．已知函数f(x)=cos(-2x),x∈R.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）若函数f(x)的图象向右平移φ(0≤φ≤)个单位长度后得到的图象所对应的函数为偶函数,求φ的值.
8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ-)+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求f()的值;
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
1．C 【解析】因为y=sin(2x+)=sin 2(x+),所以将函数y=sin 2x的图象上所有点向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin 2(x+)=sin(2x+)的图象.
2．B 【解析】由最值得A=T=(=，则ω=3；当x=时，有y=,解得φ=.故选B.
3．A 【解析】由图可知,函数()y f x =的最小正周期为23(
)488
T ω
π
ππ
=
=-⨯=π,所以ω=2,又函数()f x 的图象经过点(,1),所以sin(+φ)=1,则+φ=2k π+(k ∈Z ),解得φ=2k π+,又|φ|<,所以φ=,即
函数
()(sin 24
)f x x π
=+,故选A. 4．D 【解析】将原函数图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y =sin[5(x-)-]=sin(5x-),再压缩横坐标得y =sin(10x-)的图象,故选D.
5．C 【解析】由题图可知32k -+=，解得k ＝5，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8.故选C.
6． 【解析】将函数y =cos(2x+φ)的图象向右平移个单位后,得到y =cos[2(x-)+φ]的图象,化简得
y =-cos(2x+φ),又可变形为y =sin(2x+φ-).由题意可知φ-+2k π(k ∈Z ),所以φ=+2k π(k ∈Z ),
结合-π≤φ<π知φ=. 7．【解析】（1）f (x )=cos(-2x )=
cos(2x-),由-π+2k π≤2x-≤2k π,k ∈Z ,得-+k π≤x ≤+k π,k
∈Z ,
所以函数f (x )的单调递增区间为[-+k π,+k π](k ∈Z ).
（2）函数f (x )=
cos(2x-)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g (x )=cos[2(x-φ)-
]=
cos(2x-2φ-)=
cos[2x-(2φ+
)]的图象,
又g (x )为偶函数,所以2φ+=k π,k ∈Z . 又0≤φ≤
,所以φ=
.
8．【解析】（1）∵f (x )为偶函数,∴φ-=k π+(k ∈Z ),∴φ=k π+(k ∈Z ). 又0<φ<π,∴φ=
,∴f (x )=2sin(ωx +
)+1=2cos ωx +1.
又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为,∴T =
=2×
,
∴ω=2,∴f (x )=2cos 2x +1, ∴f (
)=2cos(2×
)+1=
+1.
（2）将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f(x-)的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f()的图象,
所以g(x)=f()=2cos 2()+1=2cos()+1.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
∴函数g(x)的单调递减区间是[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
4月30日 周日培优特训
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．设α是第三象限角，且|cos
|cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
的终边所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2．tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－353π的值是 A ．－
33
B ． 3
C ．－ 3
D ．
33
3．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是
A ．3
B ．6
C ．18
D ．36
4．若tan α＝2，则13
sin 2α＋cos 2
α的值是
A ．－59
B ．59
C ．5
D ．－5
5．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π
3
上的最大值为2，则ω＝________．
6．函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 恒成立，设g (x )＝3cos(ωx ＋φ)＋
1，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝________.
7．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． （1）写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； （2）求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2
，－π12上的最大值和最小值．
1．B 【解析】∵α是第三象限角，∴3222k k k αππ+π<<+π,∈Z .∴3
,224
k k k απ+π<<π+π∈Z .∴
2α在第二或第四象限．又∵|cos |cos 22αα=-，∴cos 02α<.∴2α
是第二象限角．
2．B 【解析】tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－353π＝－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫12π－π3＝tan π3＝ 3. 3．C 【解析】∵l ＝αr ，∴6＝1×r .∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝1
2×6×6＝18.
4．B 【解析】13sin 2α＋cos 2
α＝13sin 2α＋cos 2
αsin 2α＋cos 2α＝13tan 2α＋1tan 2
α＋1＝13×2＋12＋1＝59
. 5．34 【解析】∵0＜ω＜1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴ωx ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，ωπ3，∴f (x )max
＝2sin ωπ3＝2，
∴sin
ωπ
3
＝
22，∴ωπ3＝π4，即ω＝3
4
. 6．1 【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ，∴函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝π3对称，
即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±3.∴h (x )＝3cos(ωx ＋φ)关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，即h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0.∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋1＝1.
7．【解析】（1）f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π
6
，y 0＝3.
（2）因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π6，0，
于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12
时，
f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，
f (x )取得最小值－3.。