【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题18 矩阵变换 理

【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题18 矩阵变换 理
【2012高考真题精选】
（
2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－14
3412 －12，求矩阵A 的特征值．
（2012·福建卷）设曲线2x
2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭
⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2
＋y 2
＝1.
(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2
的逆矩阵．
（2012·上海卷）函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．
【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5
2，－32 【解析】 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数
的值域，易错点是三角函数的化简．
f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12
sin2x 的值域为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，－32. 【2011高考真题精选】
（2011·江苏卷） 选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12.求向量α，使得A 2
α＝β.
(2011年高考上海
卷理科)行列式
a b c d
（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。

（2011·福建卷）(1)选修4－2：矩阵与变换 设矩阵M ＝⎝⎛⎭
⎫a 0
0 b (其中a >0，b >0)．
①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1
；
(2011·上海)行列式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．
【2010高考真题精选】
1．（2010年高考上海市理科4
）行列式cos sin
36 sin
cos
36
ππ
ππ
的值是。

2．（2010年高考上海市理科10）在n行n列矩阵
12321
23411
34512
12321
n n n
n n
n
n n n n
⋅⋅⋅--
⎛⎫
⎪
⋅⋅⋅-
⎪
⎪
⋅⋅⋅
⎪
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎪
⎪
⋅⋅⋅---
⎝⎭
中，
记位于第i行第j列的数为(,1,2,)
ij
a i j n
=⋅⋅⋅。

当9
n=时，
11223399
a a a a
+++⋅⋅⋅+=。

【答案】45
3．（2010年上海市春季高考11)方程2
124
10
139
x x=
-
的解集为。

4．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
1
1
a
b
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
2
c
N
d
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，且
20
20
MN
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
，
（Ⅰ）求实数,,,
a b c d的值；（Ⅱ）求直线3
y x
=在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。

【解析】（Ⅰ）由题设得
02
20
02
20
c
ad
bc
b d
+=
⎧
⎪+=
⎪
⎨
+=-
⎪
⎪+=
⎩
，解得
1
1
2
2
a
b
c
d
=-
⎧
⎪=-
⎪
⎨
=
⎪
⎪=
⎩
；
5．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，
矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积
是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

【
2009高考真题精选】
（2009江苏卷）选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵.
（2009福建卷） （1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵M 2311-⎛⎫
⎪-⎝⎭
所对应的线性变换把点A(x,y )变成点A ‘(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标
【2008年高考真题精选】
（2008江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2
2
41x y +=在矩阵⎣⎡
⎦
⎤
2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
【最新模拟】
1.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 32 4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 1 0 4＝________. 解析 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 32
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 0 4＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1×－1＋3×0 1×1＋3×42×－1＋4×0 2×1＋4×4＝
5．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 10
b 把直线l ：x ＋y －1＝0变成为直线m ：x －y －2＝0，则a ＝________，b
＝________.
解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 10
b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝ax ＋y y ′＝by
代入x ′－y ′－2＝0得a ＝2，b ＝－1. 答案 2 －1
6．函数y ＝x 2
在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 00 14变换作用下的结果为________．
解析 ⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1 00
14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′
y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2.
答案 y ′＝14
x ′2
7．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 1，α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤31，则M
20α＝________.
8．已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .
9．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变
换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
22 0
22
.
可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.
10．直线l 1：x ＝－4先经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 m n －4作用，再经过矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 10 －1作用，变为直线l 2：2x －
y ＝4，求矩阵A .
11．已知二阶矩阵S 有特征值λ＝8，其对应的一个特征向量m ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩阵S 对应的变换将点A (－1,2)
变换成A ′(－2,4)．
(1)求矩阵S ；
(2)求矩阵S 的另一个特征值及对应的另一个特征向量n 的坐标之间的关系．
则Sn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
6x ＋2y ＝2x ，4x ＋4y ＝2y .
得2x ＋y ＝0，
所以矩阵S 的另一个特征值对应的另一个特征向量n 的坐标之间的关系是2x ＋y ＝0.
12．变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1101.
(1)求点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标；
(2)求函数y ＝x 2
的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．
13．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A =3101⎡⎤
⎢
⎥
-⎣⎦
，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．
14．（本小题为选做题，满分10分）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ． 【解析】
解：设
m n M p q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 221001m n p q ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦ （5分）
则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨
=⎪⎪-=⎩1235m n p q =⎧⎪=-⎪
⇒⎨=⎪⎪=-⎩，即
1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （10分） 15．本小题为选做题．．．
，满分10分） 已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，
(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．
（1）求出矩阵M ；
（2）确定点D 及点'C 的坐标．
已知矩阵M 2311-⎛⎫
⎪-⎝⎭
所对应的线性变换把点A(x,y )变成点'
(13,5)A ,试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。

17.已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩
阵A ．
18.（选修4—2：矩阵与变换）
求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的特征值及对应的特征向量. 【解析】解：特征多项式
222
1()(2)14312
f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分。