精品课件1.2应用举例测距离第1课时1
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点D在南偏东200，方位角1600.
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
水平距离
垂直距离
坡面距离
坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离
坡角α: tanα=垂直距离/水平距离
α
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ，BDA=
水平线
视线
视线
仰角
俯角
2.方向角、方位角。
（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。
东
西
北
南
600
300
450
200
A
B
C
D
点A在北偏东600，方位角600.
点B在北偏西300，方位角3300.
点C在南偏西450，方位角2250.
（1）什么是最大仰角？
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？
在△ABC中已知什么，要求什么？
C
A
B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
A
C
B
51o
55m
75o
解三角形公式、定理
正弦定理：
余弦定理：
三角形边与角的关系：
2、 大角对大边，小角对小边 。
2.余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
推论:
三角形的面积公式
斜三角形的解法
已知条件
定理选用
一般解法
用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。
正弦定理
余弦定理
正弦定理
余弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。
用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。
用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。
求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
解：根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米。
A
B
C
D
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠ADB=δ
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
一边和两角 (ASA或AAS)
两边和夹角(SAS)
三边(SSS)
两边和其中一 边的对角(SSA)
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
总结
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
练习： P19 习题1.2 A组 1、4、5 作业： P19 习题1.
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
水平距离
垂直距离
坡面距离
坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离
坡角α: tanα=垂直距离/水平距离
α
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ，BDA=
水平线
视线
视线
仰角
俯角
2.方向角、方位角。
（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。
东
西
北
南
600
300
450
200
A
B
C
D
点A在北偏东600，方位角600.
点B在北偏西300，方位角3300.
点C在南偏西450，方位角2250.
（1）什么是最大仰角？
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？
在△ABC中已知什么，要求什么？
C
A
B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
A
C
B
51o
55m
75o
解三角形公式、定理
正弦定理：
余弦定理：
三角形边与角的关系：
2、 大角对大边，小角对小边 。
2.余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
推论:
三角形的面积公式
斜三角形的解法
已知条件
定理选用
一般解法
用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。
正弦定理
余弦定理
正弦定理
余弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。
用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。
用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。
求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
解：根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米。
A
B
C
D
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠ADB=δ
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
一边和两角 (ASA或AAS)
两边和夹角(SAS)
三边(SSS)
两边和其中一 边的对角(SSA)
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
总结
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
练习： P19 习题1.2 A组 1、4、5 作业： P19 习题1.