数学丨安徽省五校2021届高三上学期12月联考数学试卷及答案

怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中
2021届高三“五校”联考理科数学试题
考试时间： 2020年12月4日
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合{}24,A x x =≤≤{
}
2
430B x x x =-+<，则A
B =
A ．{}14x x <<
B ．{}23x x ≤<
C ．{}23x x <<
D ．{}
14x x <≤ 2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为
A ．1i -+
B ．1i --
C ．1i +
D ．1i -
3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.已知点A B ，是圆O 上两点，2
π3
AOB ∠=
，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =
A ．
1122OA OB +B 3OB +C ．2233
OA OB +D ．OA OB + 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为
1.5m ，筒车的半径r 为
2.5m ，筒车转动的角速度ω为
π
rad /s 12
，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为 A ．3.2m B ．3.4m C ．3.6m D ．3.8m
图1 图2
6.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 7.函数21()log ||
f x x =的部分图象可能是
AB C D
8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
9.已知ABC △是边长为3的等边三角形，点D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =， 则BD = A ．
12
B ．
3
2
C. 1D ．2 10.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为
A ．2(,1)(1,2)3
B ．2
(2,0)(0,)3-C ．2(,2)3D ．2
(,2)
(,)3
-∞-+∞
11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤
，π4x =-是()f x 的零点，直线π
4
x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ
()42
，上单调，则ω的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12.若关于x 的不等式2
e (ln )x
a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为
A ．2(,e ]-∞
B ．(,e]-∞
C ．(,1]-∞
D ．1(,]e
-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为
π
3
，则|2|+=a b . 14.函数2
()23ln f x x x x =--的极小值为.
15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为.
16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有
正确的序号是.
①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22
题每题满分为12分. 17.（10分
）
已知函数1
2
2
()(1)
f x x ax -=-+.
（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()1
2
f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 3
3
(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2
上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
19.（12分）
设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3
n
n a +的前n 项和n S .
20.（12分）
ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设
sin 2sin A C
a b
=
. （1）判断ABC △的形状；
（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.
第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且1
12++=
x x m （a a x -≤<2
0，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4
(11)m
+
万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；
（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）
22.（12分）
已知函数ln ()e x
x
f x a x
=+
，()()g x xf x x =+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21
e
a =-时，证明：()2g x <.
2021届高三“五校”联考理数答案
2020年12月4日
由对称轴和零点可知
()ππ212(),444k T k N T π
ω
+--=∈=
，得到N k k ∈+=,12ω ① 由()f x 在区间ππ
()42，上单调可知πππ242T ω
-≤=，得到4≤ω②
由①②可知ω可能取3.
当3ω=时，可得4
π
ϕ=-
，()⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
=43sin πx x f 满足在⎪⎭
⎫
⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故
ω的最大值为3.
12.【解析】
解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；
当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()e
x
x x x
g x -=，则max 1()g x a ≥. 而(1)(ln 1)
()e
x
x x x g x --+'=
，ln 10x x -+≤， 因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<； 所以，max 1()(1)e g x g ==
，11
e
a ≥，0e a <≤. 又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.
解法二：原不等式可化为ln e e (ln )x
x x a x x x
-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.
从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.
二、填空题：
13题 14题.1- 15题.6 16题.①③ 15.【解析】
由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应
的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为223416++=.
16.【解析】
43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-.
.0,11<∴>q a 又
2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>
.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即
三、解答题：共70分.
17.【解析】
（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分 可得
，解得22a -<< ………………………………4分
（2）由题意可得，1
2
2
1
(1)
2
x ax --+≤
，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立 可化为23
x a x -≤， ………………………………6分
设()23
x g x x -=，只要()min a g x ≤即可 ……………………8分
()2310g x x '=+
>，所以()min
11122g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，所以11.2a ≤-………………10分 18.【解析】
（1）4
4
()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++-
2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++
cos2sin 2x x =+
π224x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭………2分
周期2π
π2
T ==………3分 由222,Z 2
4
2
k x k k π
π
π
ππ-
+<+
<
+∈………4分
解得3ππ
ππ,Z 88
k x k k -
+<<+∈………5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
.………6分
（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的实数解
可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的实数解
即函数y m =与函数π
(),02
y f x x =≤≤的图象有两个交点………8分 令π24t x =+
，则π5π44
t ≤≤ 即函数y m =与函数()2g t t =
，
π5π
44t ≤≤
的图象有两个交点 函数()y g t =在ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下
且ππ5π
()2,()1,()1244
g g g =
==-………10分
故12m ≤< ………12分
19.【解析】
（1）.9,632==a a ……………………………2分 猜想：,3n a n = ……………………………3分 证明：由已知可得
),3(2)1(31n a n a n n -=+-+
[],)1(3231--=--n a n a n n
........
2132(3)a a -=-
.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.
（2）,.3
311n
n n n
a =+）得
由（……………………………7分 .331........333231132n n n n
n S +-++++=∴- ①
.3
31........333231311432++-++++=∴n n n n n S ② ………………………8分 ①-② 可得,3
31......31313212+-+++=n n n n
S ……………………………10分
n
n n n
S 3
2341431⋅-⋅-=
∴- ……………………………12分 20.【解析】 （1）解法一：
ABC △中，由
sin 2sin A C a b =及正弦定理得，
2sin cos sin sin sin A A C
A B
=. 2cos sin sin A B C ∴= ………………………………2分
又
sin sin()C A B =+，
2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=，
A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形. ………………………………5分
解法二：
ABC △中，由
sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A C a b =， 进而
2cos a A c
a b
=. 2cos c
A b
∴=
. ………………………………2分 由余弦定理，222 22b c a c
bc b
+-=，化简得22a b =，即a b =.
所以，ABC △为等腰三角形. ………………………………5分
（2）由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===，
2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++ ………………………………7分
由（1）知，A B =且πA B C ++=，
π
4sin 2sin 2, (0,)2
a b c A A A ∴++=+∈ ……………………………9分
令π()4sin 2sin 2, (0,)2
f A A A A =+∈，
则2
()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3
A ∈时，
()0f A '>，()f A 为递增的；
当ππ (,)32
A ∈时，
()0f A '<，()f A 为递减的. ………………………11分
所以，当π 3
A =
时()f A 有最大值ππ2π
()4sin 2sin
333f =+= 也即ABC △周长的最大值为
…………………………12分
21.【解析】
（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
=12411 …………………………2分 x m -+=39
x x x -+++⋅=31129 ………………………4分
x x -+-=1
9
21，
所以x x y -+-
=1
9
21（a a x -≤<20，a 为正实数）
． …………………………5分
（2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ， …………………………7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减． …………………………8分 又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ． …………………………9分 所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值； ……10分
当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值． ……11分
综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润. ……12分
22.【解析】
（1）解法一： 由题意，2
1ln ()e ,x x f x a x -'=+ ……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ……………………………………2分
从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为
e (e 1)(1)y a a x -=+-， ……………………………………3分
又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+， ………………………………4分
解得0a =. ………………………………5分
解法二： 由题意，2
1ln ()e ,x x f x a x -'=+ ………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ………………………………2分
由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)， 则有
(1)1e 112
f a -=+-， ………………………………4分 即1e e 1a a -=+，解得0a =. ………………………………5分
（2）解法一：
由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，
则2211()(1)e 1(1)(e )x x g x x x x x
--'=-++
+=+-. …………………………7分 易知10x +>，记21()e x h x x
-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减， 且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<， 0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =. ………………………………9分 从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<. ()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减. ………………………… 10分 由0()0h x =可得020e 1x x -=及00ln +2x x =，
02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.
(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e 1x x -=，
max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）
从而， ()2g x <. ………………………12分
解法二：
记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1 ()1,h x x
'=- ……………………6分 易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时
所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分 从而有
()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分 由题意及上述结果，
225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤
<. …………………12分 解法三：
由题意，
欲证 2()e
ln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x -+<+. …………6分 记ln (),0.x x m x x x +=> 则1ln (),x m x x
-'=
从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e +
. …………………8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x
-'=-+ 易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2
n n ''=-+<=-+>， 因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x . 而02
1200221()e e 12e
x n x x --=+>+=+
…………………11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <. …………………12分。