七年级平面图形的认识(一)单元测试与练习(word解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．
（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：
CE 平分，AE 平分，
；
（2），理由如下：
如图，延长AE交CD于点F，则
由三角形的外角性质得：
；
（3），理由如下：
，即
由三角形的外角性质得：
又，即
即．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．
2．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
（1）如果∠A=80∘，求∠BPC= ________.
（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
（3）将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（1）130°
（2）90°﹣∠A
（3）解：(i)∠MPB+∠NPC= − ∠A.
理由如下：
∵∠BPC= +∠A，
∴∠MPB+∠NPC= −∠BPC=180∘−( + ∠A)= −12 ∠A.
(ii)不成立,有∠MPB−∠NPC= − ∠A.
理由如下：
由题图④可知∠MPB+∠BPC−∠NPC= ，
由(1)知：∠BPC= + ∠A，∴∠MPB−∠NPC= −∠BPC= −( + ∠A)=
− ∠A.
【解析】【解答】(1)
故答案为：
( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= −∠BPC= 1−( + ∠A)= − ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= − ∠A
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。

（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。

（3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° −∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根
据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB−∠NPC= 180 ° −∠BPC，代入求出即可得出结论
3．如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且 OA+50=OB，点B对应数是90．
（1）求A点对应的数；
（2）如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t秒，问当t为何值时，点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；
（3）如图3，将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q为线段MN的中点，R为线段OP的中点，求22RQ﹣28RO﹣5PN的值．
【答案】（1）解：如图1，∵点B对应数是90，
∴OB=90．
又∵ OA+50=OB，即 OA+50=90，
∴OA=120．
∴点A所对应的数是﹣120
（2）解：依题意得，MN=|（﹣120+7t）﹣2t|=|﹣120+5t|，
PM=|2t﹣（90﹣8t）|=|10t﹣90|，
又∵MN=PM，
∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|，
∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣（10t﹣90）
解得t=﹣6或t=14，
∵t≥0，
∴t=14，点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离
（3）解：依题意得RQ=（ 45+4t）﹣（﹣60﹣4.5t）=105+8.5t，
RO=45+4t，
PN=（90+8t）﹣（﹣120﹣7t）=210+15t，
则22RQ﹣28RO﹣5PN=22（105+8.5t）﹣28（45+4t）﹣5（210+15t）=0
【解析】【分析】（1）根据点B对应的数求得OB的长度，结合已知条件和图形来求点A 所对应的数；（2）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t；（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO 及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．
4．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒
（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；
（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）
①当t=________秒时，OM平分∠AOC？
（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．
【答案】（1）2.25；45
（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，
∵∠AON=90°+10t，
∴∠NOC=90°+10t﹣45°
=45°+10t，
∵∠AOM=10t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°
（3）3
（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．
∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，
∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°．
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM= =22.5°，
∴t=2.25秒，
∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，
∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；
故答案为：2.25，45；
·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，
∴∠AOC=45°+5t，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM= AOC，
∴10t= （45°+5t），
∴t=3秒，
故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由
于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．
5．如图1，点是第二象限内一点, 轴于，且是轴正半轴上一点，是x轴负半轴上一点，且 .
（1）（________），（________）
（2）如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点 ,求的度数: (注: 三角形三个内角的和为 )
（3）如图3,当点在线段上运动时，作交于的平分线交于 ,当点在运动的过程中，的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.
【答案】（1）-2,0；0,3
（2）解：如图，作DM∥x轴
根据题意，设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAE+∠OAD=90°，
∴2y+∠OAD=90°，
∴∠OAD=90°-2y，
∵DM∥x轴，
∴∠OAD+∠ADM=180°，
∴90-2y+2x+90°=180°，
∴x=y，
∴∠APD=180°-(∠PAD+∠ADP)=180°-(y+90°-2y+x)=180°-90°=90°
（3）解：∠N的大小不变，∠N=45°
理由：如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC.
∵BC∥x轴，
∴DE∥BC∥x轴，NF∥BC∥x轴，
∴∠EDM=∠BMD，∠EDA=∠OAD，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠BMD+∠OAD=∠EDM+∠EDA=∠ADM=90°，
∵MN平分∠BMD，AN平分∠DAO，
∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠OAD，
∴∠ANM=∠BMN+∠OAN= ∠BMD+ ∠OAD
= ×90°=45°.
【解析】【解答】解：（1）由，可得和，
解得
∴A的坐标是（-2,0）、B的坐标是（0,3）；
故答案为：-2,0；0,3；
【分析】（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b的值；
（2）如图，作DM∥x轴，结合题意可设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，根据平角的定义可知∠OAD=90°-2y，由平行线的性质可得∠OAD+∠ADM=180°，即90-2y+2x+90°=180°，进而可得出x=y，再结合图形即可得出∠APD的度数；
（3）∠N的大小不变，∠N=45°，如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC，根据平行线的性质可知∠BMD+∠OAD=∠ADM=90°，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得
∠ANM= ∠BMD+ ∠OAD，据此即可得到结论.
6．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；
（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，
∴a=-2，
方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，∴，
解得，，
不等式组的最大整数解是5，
则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）
（2）解：作MH∥AD，
∵AD∥BC，
∴MH∥BC，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠OAD，
∴∠ADO+∠BCA=90°，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，
∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，
∴∠ADM+∠BCM=45°，
∵MH∥AD，MH∥BC，
∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，
∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；
（3）解：存在，
连AB交y轴于F，
设点D的纵坐标为y D，
∵S△ADE≤S△BCE，
∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，
∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），
∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），
S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，
由题意得，4-2y D≤14，
解得，y D≥-5，
∵D在y轴负半轴上，
∴y D＜0，
∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
7．在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．
（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；
①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与________全等，判定它们全等的依据是________；
②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=________°；
（2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．
【答案】（1）△BMF；SAS；60
（2）证明：由①知，∠BFE=60°，
∴∠CFD=∠BFE=60°
∵△BEF≌△BMF，
∴∠BFE=∠BFM=60°，
∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，
∴∠CFM=∠CFD=60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCM=∠FCD，
在△FCM和△FCD中，，
∴△FCM≌△FCD（ASA），
∴CM=CD，
∴BC=CM+BM=CD+BE，
∴BE+CD=BC．
【解析】【解答】解：（1）解：①在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示：
∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC，
在△BEF和△BMF中，，
∴△BEF≌△BMF（SAS），
故答案为：△BMF，SAS；
②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠FBC+FCB= （∠ABC+∠ACB），
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×120°=120°，
∴∠EFB=60°，
故答案为：60；
【分析】（1）①由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF；②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；（2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论．
8．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF
∴∠ECF= ∠ACD=70°
（2）解：不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．
∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP
∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC
（3）解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF
∴∠PCD=∠ACD=70°
∴∠APC=∠PCD=70°
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．
9．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，
（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=120°，
∴∠MBC+∠NDC=120°
（2）解：β﹣α=60°
理由：如图1，连接BD，
由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，
∴(α+β)+180°﹣β+30°=180°，
（3）解：平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB= (α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB= (β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF
【解析】【分析】（1）由四边形的内角和等于360°并结合已知条件可求得∠ABC+∠ADC 的度数；再根据邻补角的定义可得：∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC），代入计算即可求解；
（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得∠CBG=∠MBC，
∠CDG=∠NDC，所以∠CBG+∠CDG=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），分别在三角形BCD 和三角形BDG中，根据三角形内角和定理可得：∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，即∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，分别把(∠CBG+∠CDG)、(∠BDC+∠CDB)、∠BGD代入计算即可求解；
（3）延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得：
∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，两式相加整理可得∠CBE+∠CDH=(α+β)；由三角形的外角的性质可得
∠BCD=∠CDH+∠DHB，所以∠CDH=β﹣∠DHB，则∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，把α=β代入整理可得∠CBE=∠DHB，由内错角相等两直线平行可得BE∥DF。

10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．
（1）当时；
若，则的度数为________；
（2）若，求的度数；
（3）由（1）（2）猜想与的数量关系，并说明理由；
（4）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）150°
（2）∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=130°−90°=40°，
∴∠DCE=90°−40°=50°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
①当时，如图1，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
②当时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；
③当时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．
综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；
（4）存在，理由如下：
①若AD⊥CE时，如图4，则 =90°-∠A=90°-60°=30°，
②若AC⊥CE时，如图5，则 =∠ACE=90°，
③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，
∴ =90°-15°=75°，
④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，
∴ =∠E=45°．
综上所述：当 =30°时，AD⊥CE，当 =90°时，AC⊥CE，当 =75°时，AD⊥BE，当
=45°时，CD⊥BE．
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案是150°；
【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度
数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时，③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE 时，分别求出的值，即可．
11．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动.
（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=________，y=________；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB 交于点Q.
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数.
【答案】（1）3；1
（2）解：的度数不发生变化，其值求解如下：
由三角形的内角和定理得
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分
由三角形的内角和定理得
（3）解：①由三角形的外角性质得：
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分
又是的角平分线
；
② 是的角平分线，BC平分
由三角形的外角性质得：
则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是
.
【解析】【解答】（1）由题意得：
化简得
解得
故答案为：3，1；
【分析】（1）根据“路程速度时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可
得.
12．已知直线AB平行CD，直线EF分别截AB、CD于点E、F两点。

（1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合），试探究∠1、∠2、∠3的等量等关系？试说明理由。

（2）如图②、③，当动点P在线段CD之外运动（不与C，D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由。

【答案】（1）解：∠2=∠1+∠3理由如下：
如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∵∠2=∠APQ+∠CPQ
=∠1+∠3.
（2）解：解：②∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠3 ∠1.理由如下：
如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠CPQ ∠APQ
=∠3 ∠1.
③∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠1 ∠3.理由如下：
如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠APQ ∠CPQ
=∠1 ∠3.
综合②、③的结论，∠2= .
【解析】【分析】（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠APQ+∠CPQ即得结论；
（2）不成立，新的结论为∠2=∠3∠1.理由：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线
的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠CPQ∠APQ即可求出结论；
（3）不成立，新的结论为∠2=∠1∠3.理由如下：同（1）可证∠1=∠APQ，∠3=∠CPQ，利用∠2=∠APQ∠CPQ即可求出结论.。