3、第三章 向量和线性方程组(简化版)

β = k1α1 + k2α 2 + + kmα m
则称向量 β 是向量组 α1 , α 2 , , α m 的线性组合，或称向量 β 能由向量组 α1 , α 2 , , α m 线性表示 (或线性表出)．
例如：判断下列向量 β 能否由向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示？ （1） β = ( 3, 4,5 ) ， α1 = (1,1, 0 ) ， α 2 = (1, 0,1) ， α 3 = ( 0,1,1) ． 解：设 β = k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ，
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《线性代数讲稿》 （四）向量与线性方程组的关系——向量方程 对于含有 m 个方程和 n 个未知量的线性方程组：
第三章
向量和线性方程组
b1 , a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a x + a x + + a x = b2 , 21 1 22 2 2n n bm . am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn =
性质 1： n 维零向量可以由任何一组 n 维向量线性表示． 性质 2：任何一个 n 维向量都可以由 n 维标准单位向量组线性表示． 性质 3：任何一个向量组中的任一向量都可以由该向量组线性表示．
定理：设有向量
b1 b2 ，α j β = = bm
a1 j a2 j ( j 1, 2, , n) ， = amj
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《线性代数讲稿》 向量与矩阵之间的关系：
第三章
向量和线性方程组
（1） n 维行向量 α = ( a1 , a2 , , an ) 可以看成是一个 1 行 n 列的矩阵；
a1 a n 维列向量 α = 2 可以看成是一个 n 行 1 列的矩阵． an
则有： A = ( β1 , β 2 , , β n ) ．
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《线性代数讲稿》 （二）几种特殊的向量 1．零向量 定义：分量全为零的向量，称为零向量． 记为： 0 = ( 0, 0, , 0 ) ．
第三章
向量和线性方程组
2． （标准）单位向量 定义：只有一个分量为 1 ，其余分量全为零的向量，称为（标准）单位向量． 例如， n 维（标准）单位向量组： (1, 0, , 0 ) ， ( 0,1, , 0 ) ， ， ( 0, 0, ,1) ．
． 则有： x1α1 + x2α 2 + + xnα n = β （向量方程）
注：线性方程组 (*) 是否有解，就相当于是否存在一组数 k1 , k2 , , kn ，使得下列线性关系式成立：
β = k1α1 + k2α 2 + + knα n ．
设
1, x1 + 2 x2 + 3 x3 = x2 − x3 = 2.
x1 1 2 3 1 （1）若记： A = ， X = x2 ， B = ， 0 1 −1 2 x 3
（矩阵方程） 则有： A ⋅ X = B． （2）若记： α1 = ， α 2 = ， α 3 =
1 0
α1 α2 ； 则有： A = αm a1n a11 a12 a2 n a22 a21 ， β2 = ， ， βn = ， 若记： β1 = amn am 2 am1
（2）矩阵的每一行的元素都可以做成一组行向量，每一列的元素也都可以做成一组列向量．
a11 a21 例如：设 A = am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n ， amn
若记： α1 = ( a11 , a12 , , a1n ) ， α 2 = ( a21 , a22 , , a2 n ) ， ， α m = ( am1 , am 2 , , amn ) ，
3, k + k = ⇔ 1 2 4. k1 + k3 =
( *)
解得： k2 = 3 − k1 ， k3= 4 − k1 ，即方程组 (*) 有无穷多个解， 所以向量 β 可以由向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式不唯一， 如取 k1 = 1 ，则 k2 = 2 ， k3 = 3 ，此时有： β = 1 ⋅ α1 + 2 ⋅ α 2 + 3 ⋅ α 3 ， 如取 k1 = 2 ，则 k2 = 1 ， k3 = 2 ，此时有： β = 2 ⋅ α1 + 1 ⋅ α 2 + 2 ⋅ α 3 ，等等． 第 7 页 共 28 页
( *)
因为方程一加上方程二得： 2k1 + k2 + k3 = 7， 与方程三互相矛盾，故方程组 (*) 无解， 所以向量 β 不可以由向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示．
注：①向量 β 可以由向量组 α1 , α 2 , , α m 唯一线性表示的充分必要条件是： 与向量方程 α1 x1 + α 2 x2 + + α m xm = β 等价的线性方程组有唯一解； ②向量 β 可以由向量组 α1 , α 2 , , α m 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是： 与向量方程 α1 x1 + α 2 x2 + + α m xm = β 等价的线性方程组有无穷多个解； ③向量 β 不可以由向量组 α1 , α 2 , , α m 线性表示的充分必要条件是： 与向量方程 α1 x1 + α 2 x2 + + α m xm = β 等价的线性方程组无解．
注： 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算．

向量的线性运算的性质:
（1） α + β = β + α ； （2） (α + β ) + γ =α + ( β + γ ) ； （3） α + 0 = α； （4） α + ( −α ) = 0； （5） 1 ⋅ α = α； （6） k (lα ) = (kl )α ； （7） k (α + β ) = kα + k β ； （8） ( k + l )α = kα + lα ．
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《线性代数讲稿》
第三章向量和Βιβλιοθήκη 性方程组一、向量的概念和运算
（一） n 维向量的概念 定义：由 n 个实数 a1 , a2 , , an 所组成的一个有序数组，称为一个 n 维向量．其中，这 n 个数称为该向量的
n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．记为： ( a1 , a2 , , an ) ，通常用 α , β , γ 等小写希腊字母表示．
3．负向量 定义：设有向量 α = ( a1 , a2 , , an ) ，则称向量 ( − a1 , − a2 , , − an ) 为向量 α 的负向量．记为： −α ．
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《线性代数讲稿》 （三）向量的线性运算及其性质 1．向量的加法 定义：设 α = ( a1 , a2 , , an ) ， β = ( b1 , b2 , , bn ) ， 则： α + β = 注： α − β =
2 1
3 1 ，β = ， −1 2
则有： β = x1 ⋅ α1 + x2 ⋅ α 2 + x3 ⋅ α 3 （向量方程） ．
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《线性代数讲稿》
第三章
向量和线性方程组
二、向量（组）的线性关系
（一）线性组合（或线性表示）——向量与向量组之间的线性关系 定义：给定向量组 α1 , α 2 , , α m 和向量 β , 如果存在一组数 k1 , k2 , , km ，使得
3, k1 + k2 = 则有： k1 + k3 = 4, k + k = 2 3 5.
( *)
解得： k1 = 1 ， k2 = 2 ， k3 = 3 ，即方程组 (*) 有唯一解， 所以向量 β 可以由向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式唯一，即为： β = 1 ⋅ α1 + 2 ⋅ α 2 + 3 ⋅ α 3 ．
第三章
向量和线性方程组
( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) ．
α + ( −β ) =
( a1 − b1 , a2 − b2 , , an − bn ) ．
2．向量的数乘 定义：设 α = ( a1 , a2 , , an ) ， k ∈ R ， 则： k ⋅ α = ( ka1 , ka2 , , kan ) ．
（2） β = ( 3, 4, 7 ) ， α1 = (1,1, 2 ) ， α 2 = (1, 0,1) ， α 3 = ( 0,1,1) ． 解：设 β = k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ，
3, k1 + k2 = 则有： k1 + k3 = 4, 2k + k + k = 1 2 3 7.
《线性代数讲稿》 （3） β = ( 3, 4,5 ) ， α1 = (1,1, 2 ) ， α 2 = (1, 0,1) ， α 3 = ( 0,1,1) ． 解：设 β = k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ，
第三章
向量和线性方程组
k1 + k2 = 3, 则有： k1 + k3 = 4, 2k + k + k = 1 2 3 5.
《线性代数讲稿》
第三章
向量和线性方程组
第三章
向量和线性方程组
内容提要
一、向量的概念和运算
（一） n 维向量的概念 （二）几种特殊的向量 （三）向量的线性运算及其性质 （四）向量与线性方程组的关系——向量方程
二、向量（组）的线性关系
（一）线性组合（或线性表示）——向量与向量组之间的线性关系 （二）等价向量组——向量组与向量组之间的线性关系 （三）线性相关和线性无关——向量组自身的线性关系
三、极（最）大线性无关组和向量组的秩
（一）极（最）大线性无关组 （二）向量组的秩
四、齐次线性方程组
（一）齐次线性方程组的基本概念 （二）齐次线性方程组的解的性质 （三）齐次线性方程组的判断和求解
五、非齐次线性方程组
（一）非齐次线性方程组的基本概念 （二）非齐次线性方程组的解向量与其导出方程组的解向量之间的性质 （三）非齐次线性方程组的判断和求解
注：①向量 α = ( a1 , a2 , , an ) 称为 n 维行向量，
a1 a2 向量 α = 称为 n 维列向量； an
注意，行向量与列向量的区别仅仅在于形式上而已．
a1 a T ②设 α = ( a1 , a2 , ,= （转置向量） an ) ，则记 α T (= a1 , a2 , , an ) 2 ． an
则向量 β 可以由向量组 α1 , α 2 , , α n 线性表示的充分必要条件是： 矩阵 A = (α1 , α 2 , , α n ) 与矩阵 A = (α1 , α 2 , , α n , β ) 的秩相等． 第 8 页 共 28 页
《线性代数讲稿》 （二）等价向量组——向量组与向量组之间的线性关系 定义：设有两组向量： （I） α1 , α 2 , , α s ； （II） β1 , β 2 , , β t
维向量的概念二几种特殊的向量三向量的线性运算及其性质四向量与线性方程组的关系向量方程二向量组的线性关系一线性组合或线性表示向量与向量组之间的线性关系二等价向量组向量组与向量组之间的线性关系三线性相关和线性无关向量组自身的线性关系三极最大线性无关组和向量组的秩一极最大线性无关组二向量组的秩四齐次线性方程组一齐次线性方程组的基本概念二齐次线性方程组的解的性质三齐次线性方程组的判断和求解五非齐次线性方程组一非齐次线性方程组的基本概念二非齐次线性方程组的解向量与其导出方程组的解向量之间的性质三非齐次线性方程组的判断和求解维向量的概念定义
若记：
( *)
a11 a12 a1n b1 b2 a21 a22 a2 n ，α2 = ， ， α n = ，β = ， α1 = bm am1 am 2 amn