人教A版数学必修四第二学期高一年级期中考试数学试卷.doc

杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学试卷
时间 90分钟 命题 李 鸽 校对 黄宗巧 审核 徐存旭
注意：本试卷不得使用计算器
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是
A.30
B.60
C. 1弧度
D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6
y x π
=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象
A. 向左平移6π个单位
B. 向右平移6π个单位
C. 向左平移3π个单位
D. 向右平移3
π
个单位
3.若非零平面向量 a b c ，，
满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系 4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22
x ππ
∈-的图象,正确的是
A. D.
C. B.
5.已知(0,)απ∈，17
cos(
)cos()225
π
απα---=
，则tan α的值为
A.247-
B.247-或724-
C. 724-
D. 247
6.lnsin(2)3
y x π
=-+
的单调递减区间为
A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈
B. 5(,],612k k k Z ππ
ππ++∈
C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈
D. [,),126
k k k Z ππ
ππ-+∈
7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与
a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)
b =，则t 的值为
A. 38-
B.511
-
C.58-
D.79-
8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()12
6
y x π
π
=+
B.2sin()66
y x π
π
=+ C.2sin()126
y x ππ
=+ D.2sin(
)66y x π
π=+或52sin()126
y x ππ
=+ 9.若关于x 的方程2sin223cos 310x x m -++-=在区间[0,]2
π
上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是
A.(1,13]--
B.(0,13]-
C.(1,23]-
D.(0,13]+
10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π
对称，且在区间[0,]2
π是单调函数，则ω的值为
A.
74 B. 78 C.7
4或712 D. 712
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α为第三象限角，化简
1sin 1sin 1sin 1sin αα
αα
+---+的结果为 .
13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 .
第8题
14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55(
)()88
f x f x ππ
-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3
y x π
=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的
解析式为sin()6
y x π
=+
.
②在区间[0,)2
π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，
则06
4
x π
π
<<
.
③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j +，2 3i j +，3 2i j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2
x x k k Z π
π=-
∈.
其中正确的命题的序号为 .
杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．
11． 12．
13． 14．
15.
16.
三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；
（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.
第15题
18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6
f x x m x x x R π
=+
+∈，.
（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3
π
内的最小值及相应的x 的值；
（2）若()f x 的最大值为1
2
，求m 的值.
19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>>≤，
最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3
y x π
=+图象所有
的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003(
)([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3
x π
-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2
x π
∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的
取值范围.
20.（本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9(
)13924
f π
=-. （1）求a 的值；
（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.
杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 答案
D
B
A
A
A
D
C
B
A C
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．
11． 0 12． αtan 2- 13．
2或 2- 14． 1
15. )3
7
,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为
60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.
（2）当||b t a +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为
θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，
7
2)(||2
2
2
=+⋅+=+=+b b a a b a b a ，
于
是
77272|
|||)(c o s ==⋅+⋅+=
a b a a b a θ.
（2）令43)41(4124||22++=++=
+t t t b t a ，当且仅当4
1
-=t 时，取得最小值，此
时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)6
2sin()(π
.
（1）当0=m 时，求)(x f 在]3
,0[π内的最小值及相应的x 的值；
（2）若)(x f 的最大值为
21
，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时3
0π
或=x .
（
2
）
令
)
2sin(4
1
)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2
321tan +=
m ϕ，于是41)23()(2max ++
=
m x f ，令2
141)23(2=++m ，得：2
3-
=m . 19．（本小题满分
12
分）已知定义在
R 上的函数
)2
||,0,0)(cos()(π
ϕωϕω≤
>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点
之间距离为π，函数)3
2sin(π
+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.
（1）求)(x f 的表达式；
（2）若])2,2[(23)2(
00ππ-∈=x x f ，求)3
cos(0π
-x 的值； （3）设)1),6((π
-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2
,0(π
∈x ，若03≥+⋅b a 恒成立，求实数m
的取值范围.
解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)3
2sin(π
+
=x y 与f(x)相差
Z k kT T
∈+,4
，即相差Z k k ∈+,4
ππ
，所以)3
2cos(]3
)4
(2sin[)(π
π
ππ
+
=+
++
=x A k x A x f 或
)342cos(]3
)4
(2sin[)(ππ
ππ
+
=+
+-
=x A k x A x f （舍）
，故)3
2cos(2)(π
+=x x f .
（2）因为])2,2[(23)2(
00ππ-∈=x x f ，即4
3
)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又43
23)6
cos(>=
-
π
，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2
,0[30ππ∈+x ，所以4
7
)43(1)3s i n (20=
-=+
π
x ，于是 83212
3
4721433
2sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3
cos(0000-=
⋅+⋅-=+++=-
+
=-
π
πππππ
π
x x x x
（3）因为)1),6((π
-
=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2
,0(π
∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6
(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π
，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2
,0(π
∈x 恒成立，
因为4)cos 1
cos 4(max -=--x
x ，故4-≥m .
20．（本小题满分14分）已知函数92s in 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若
2913)4
9(
-=π
f . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；
（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令4
9π
=
x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：
)
(92sin 4|)cos ||sin (|99
)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ
所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当
]
2
,0[π
∈x 时，
92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .
设
]2,1[)4
sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π
，则1cos sin 22sin 2
-==t x x x ，于是
59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得
4
5
1=
=t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中
8
2
5)4
s i n (0=+
π
x 当
)
,2
(ππ
∈x 时
，
92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .
设
]2,1()4
sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π
，则2
1cos sin 22sin t x x x -==，于是
1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1
=t 或413-
=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2
(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有2009个根，]503,0[π有2013个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有2011个根.。