2025届广东省云浮市郁南县连滩中学高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2025届广东省云浮市郁南县连滩中学高三数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63
ππ
上
单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．
74
B ．3
2
C ．2
D ．54
2．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-
B ．()21,-
C ．()1,2
D ．()2,1
3．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
4．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．32
-
B ．0
C ．0或32
-
D ．32
-
5．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
6．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A 5 B ．
53
C 25
D ．
35
7．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24
D ．38．设集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
2530B x x x =-++>，则A
B =（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
9．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．
7
3
B ．14
C ．
203
D ．7
10．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为(
)
A
B
C
D 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23
B ．25
C ．28
D ．29
12．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．
c c a b
> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜
D ．11()()2
2
a
b
<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若将函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对
称，则ϕ的最小值为________________.
14．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2
n
n S m >，则实数m 的取值范围为________.
15．设函数()21722,04,0
k x x f x x x ⎧+⎛⎫
-+≤⎪ ⎪
=⎝⎭
⎨⎪>⎩
，()43g x k x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．
16．若复数z 满足
2i i
z
=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数(
)
()(1)1x
f x x e =+-. （Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.
（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111
eb
x x b e -≤++-. 18．（12分）已知函数()222()e
1e ()x
x f x ax ax a R =+--∈.
（1）证明：当2e x ≥时，2e x x >；
（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围. 19．（12分）已知函数()2
ln f x x ax a x =+-，a R ∈
（1）若1a =，求()f x 的单调区间和极值；
（2）设()()()()2ln 22g x f x a x a b x =++-+-，且()g x 有两个极值点1x ，2x 1
2x x ，若4313
b ≥+，求
()()12g x g x -的最小值.
20．（12分）已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，E ， F 分别是棱AB ， PC 的中点.求证：
（1） EF //平面PAD ；
（2）平面PCE ⊥平面PCD ．
22．（10分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为e =B 与两焦点A ，C 组成
. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆O ：2
2
2
x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12π个单位得到[]1212
g x sin x sin x πωπ
ωω=-=-（）（）（），函数()g x 在
区间,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，可得3
x π
=时，()g x 取得最大值，即
23
12
2
k π
ωπ
π
ωπ⨯-
=
+（），k Z ∈，0ω>，
当0k =时，解得2ω=，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得3x π=时，()g x 取
得最大值，求解可得实数ω的值. 2、C 【解析】
利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】
由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．
z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．
故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 3、C 【解析】 根据5
51
[(21)1]32
x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551
[(21)1]32
x x =
-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有
3
2255111545323232216
C C a ⨯=
⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 4、B 【解析】
由数量积的定义表示出向量a 与a b +的夹角为60︒，再由2
2
a a =，2
2
b b =代入表达式中即可求出a b ⋅. 【详解】
由向量a 与a b +的夹角为60︒，
得()
2
cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒，
所以(
)
2
2
2211
22
2a a b a
a b
a a a
b b +⋅=+=
+⋅+， 又1a =，3b =，2
2
a a =，2
2
b b =， 所以1
111232
a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+，解得0a b ⋅=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 5、C
【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6、A 【解析】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD 即可. 【详解】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，
连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，
11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，
1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，
在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+= 在111Rt A B C △中，22
1111111115,cos 5
A B AC B C B AC =+=∠=
， 在11AC D 中，
22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，
在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =
+=∴==，
在1BC D 中，22211115
cos 265
BC BD C D C BD BC BD +-∠=
==⋅故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 7、A 【解析】
推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出
AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13
P ABC A PBC PBC
V V S
AE --==⋅⋅，由此能求出结果.
【详解】 解：
在四面体P ABC -中，ABC 为等边三角形，边长为6，
6PA =，8PB =，10PC =，
222PB BC PC ∴+=，
PB BC ∴⊥，
分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ， 则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，
且=36-9=33AD 4362511DE AE ==-=，，
222AE DE AD ∴+=，
AE DE ∴⊥，
PC DE E PC =⊂，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，
∴⊥平面AE PBC ，
∴四面体P ABC -的体积为：
1
3
P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅
1111
=86118113232
PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. 故答案为：811【点睛】
本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 8、A 【解析】
解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .
【详解】
因为{
}{
}
2
2
1
2530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-
<<⎨⎬⎩⎭
，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=. 故选：A. 【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【解析】
由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算． 【详解】
由(2)(4)a b a b -⊥+
可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影
为2(2)218220
||||33
a b a a a b a a -⋅-⋅+===．
故选：C ． 【点睛】
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 10、D 【解析】
设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，1
22
r ⨯=，解得r =
所以圆锥的体积2
13
V r π==. 故选：D
【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 11、D 【解析】
由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】 解：
{}n a 是等差数列
95981S a ∴==
59a ∴=，又45a =， ∴公差为4d =，
410629a a d ∴=+=，
故选：D 【点睛】
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 12、C 【解析】
A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于,A 实数0a b <<， 11,c c
a b a b
∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．
对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2
x
y =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
2
π 【解析】
由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】
解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的图象.
根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛
⎫
-+
= ⎪⎝
⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为
2
π
. 故答案为：2
π. 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题. 14、(2,)+∞ 【解析】
根据递推公式，以及,n n a S 之间的关系，即可容易求得,n n a S ，再根据数列2n
n
S 的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求. 【详解】
当2n =时，()2222121S a a -+=+，解得28S =.所以13a =. 因为()211n n n S a n a -+=+， 则()11121(1)1n n n S a n a +++-+=++，
两式相减，可得112(2)(1)1n n n a n a n a ++=+-++， 即1(1)10n n na n a +-++=，
则21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减， 可得2120n n n a a a ++-+=.
所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以21n a n =+，则2222n n n S n n
+=
. 令2n n n S b =，则2
1132
n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，1
0n n
b b ，数列{}n b 单调递减，
而13
2b =
，22b =，3158
b =， 故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞. 【点睛】
本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题. 15、17[
3
,6] 【解析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】
解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：
因为()43g x k x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,
174k k +∴≥
,得17
3
k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时4
3
x >
,所以2x ≥ ()()585339
39
g k f ≥≥=＝,
∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <
所以()()2
2243
g k f =
≤=6k ⇒≤ ()()8
44163
g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.
综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时17
63
k ≤≤ 故答案为：17[
3
,6]
【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.
16【解析】
先求得复数z ，再由复数模的计算公式即得. 【详解】
2i i
z
=+，
22i i 12i z ∴=+=-+，则z =
【点睛】
本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）()11e
y x e
-=+；
（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11e
b x e
-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可. 【详解】
（Ⅰ）由题()'()11x x
f x e e x =-++,故1
'(1)11
1e
f e -=
=---.且(1)0f -=. 故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11e
y x e
-=
+. （Ⅱ）设()()()()
110x
h x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21x
h x x e a =+--.
设函数()()2x
x x e ϕ=+则()()'3x
x x e ϕ=+,故()()2x
x x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在
()3,-+∞上单调递增.
又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值, 当1a =时，此时()()'22x
h x x e =+-,且在(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减.
在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；
当1a >时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾； 当1a <时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
故1a =
（Ⅲ）()()'()2111x x x e x f x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1x
x f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,
又
'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.
又因为()1
1
1'(1110)2f e e ---+=-=--<,()0
02'(010)1f e =-+=>, 故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-. 所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.
因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > . 结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11e
f x x e
-≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11e
b x e
-=
+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311eb
x e
=
--,4x b =. 故214311
eb
x x x x b e -≤-≤++-,得证. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
18、（1）见解析；（2）2
e (,)4
+∞
（1）要证明2
2
(e )e x
x x ≥>，只需证明2ln x x >即可；
（2）2
e 0x ax -=有3个根，可转化为2e x a x =有3个根，即y a =与2e
()x
h x x
=有3个不同交点，利用导数作出()
h x 的图象即可. 【详解】
（1）令()2ln g x x x =-，则'
2()1g x x
=-
，当2x e ≥时，'
()0g x >， 故()g x 在2
[e ,)+∞上单调递增，所以2
2
()(e )e 40g x g ≥=->，
即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e
1e e 1x x x x
f x ax a ax x ==---++，
依题意，()f x 有3个零点，即2
e 0x
ax -=有3个根，显然0不是其根，所以2e
x a x
=
有3个根，令2e ()x h x x =，则'
3
e (2)()x x h x x
-=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'
()0h x <，当0x <时，'
()0h x >，故()h x 在(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上
单调递增，作出()h x 的图象，易得2
e 4
a >. 故实数a 的取值范围为2e
(,)4
+∞.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 19、（1）()f x 增区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
; 极小值3ln24+，无极大值；（2）82ln33-
（1）求出f （x ）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；
（2）由题意可得121x x b +=-，121x x =，求出()()12g x g x -的表达式，()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭
，求出h （t ）的最小值即可． 【详解】
（1）将1a =代入()f x 中，得到()2
ln f x x x x =+-，求导，
得到()()()212112121x x x x f x x x x x
+-+-='=+-=，结合0x >， 当()0f x '>得到： ()f x 增区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，当()0f x '<，得()f x 减区间为1 0,2⎛⎫
⎪
⎝⎭
且()f x 在12x =时有极小值13
ln224
f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值. （2）将()f x 解析式代入，得()()2
222ln g x x b x x =--+，求导
得到()()()2
2222211g x x b x b x x x
⎡⎤=--+
=--+⎣'⎦， 令()0g x '=,得到()2
110x b x --+=,
121x x b ∴+=-，121x x =，()2
16414433
b ∆=--≥
-= ()()()()22
12111222222ln 222ln g x g x x b x x x b x x ⎡⎤⎡⎤-=--+---+⎣⎦⎣⎦，
()()()()22121212222ln ln x x b x x x x =----+-， (
)
()()221
1212122
22ln
x x x x x x x x =--+-+， (
)22
121
12
2
2ln x x x
x x x --=
+，
1212122ln x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
，
因为120x x <<，所以设()1201x t t x =
<<,令()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫
=--+<< ⎪⎝⎭
，
则()
()2
22
11210t h t t t
t -⎛
⎫=-++=-
< ⎪⎝
⎭
'所以()h t 在()0,1单调递减,
又因为1b ≥ 所以()()
()2
2
2
12121212
21116
1223
x x x x b x x t x x x x t +-=+=
=
++=++≥,所以 13t ≤或3t ≥
又因为01t <<，所以103t <≤
所以()111832ln 2ln33333h t h ⎛⎫⎛⎫
≥=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以()()12g x g x -的最小值为8
2ln33
-. 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．
20、 (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，
推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19
MA MB k k ⋅=-，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122122
2,9
8.9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 21、（1）见解析；（2）见解析 【解析】
（1）取PD 的中点G 构造平行四边形AEFG ，得到//EF AG ，从而证出//EF 平面PAD ； （2）先证EF ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD ⊥平面PCE ． 【详解】
证明：（1）如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ，
E 是棱AB 的中点，底面ABCD 是矩形， //AE CD ∴，且1
2
AE CD =，
又
F ，
G 分别是棱PC ，PD 的中点，
//FG CD ∴，且1
2
FG AC =
， //AE FG ∴，且AE FG =，
∴四边形AEFG 为平行四边形，
//EF AG ∴，
又
EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，
//EF ∴平面PAD ；
（2）
PA AD =，点G 是棱PD 的中点，
AG PD ∴⊥，
又
//EF AG ，EF PD ∴⊥，
PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
PA CD ∴⊥，
底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，
PA ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，且PA
AD A =，
CD
平面PAD ，
又
AG ⊂平面PAD ，CD AG ∴⊥，
//FE AG ，CD EF ∴⊥，
又
CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，且CD PD D =，
EF ∴⊥平面PCD ，
又
EF ⊂平面PCE ，
∴平面PCD ⊥平面PCE ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．
22、（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）4. 【解析】
（Ⅰ）
结合已知可得
c a =
bc =a ，b 的值，即可得椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得2241m k =+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO S S ∆∆+，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出
MON S ∆，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，整理后利用基本不等式求最值.
【详解】 解：
（Ⅰ）可得
c a =
bc =222a b c =+， 解得2a =
，c =1b =，得椭圆方程2
214
x y +=；
（Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+， 由22
44
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得()()222
418410k x kmx m +++-=， 由(
)(
)
2
2
2
2
64164110k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+， ∵ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，
设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，
d =
MN ==
12MON
S ∆=⨯==，
由22
4
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，21224
1
m x x k -⋅=+，
∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++
2222211km m k m k k ⎛⎫
=-+=
⎪
++⎝⎭
∴
)12121|)2MCO NAO S S y y y y ∆∆+=
+=+=
∴()223311ACMN MON NAO MCO S S S S k m m k ∆∆∆==+++++ 而2241m k =+，22
14m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥， 四边形ACMN 的面积222383838343132314
m m S m m m m ===≤=-+++ 当且仅当3m m
=，即3m =±时取“=”. ∴四边形ACMN 面积的最大值为4.
【点睛】
本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.。