2021年北京首都师范大学附属房山中学高三数学文期末试卷含解析

2021年北京首都师范大学附属房山中学高三数学文期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以下有关命题的说法错误的是
A．命题“若”的逆否命题为“若”B．“”是“”的必要不充分条件
C．对于命题
D．若为假命题，则p、q均为假命题
参考答案：
D
2. 复数（为虚数单位）的虚部是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】B ===所以虚部为故选B
【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。

3. 若方程有两个解，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
4. 已知函数若成立，则的最小值为（）A． B． C. D．
参考答案：
B
5. 已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于M，N点，若与直线的斜率的乘积为－1，则的最小值为（）
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
参考答案：
B
【分析】
设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有
，有，，故
，同理可求得.故
，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公
式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.
6. 设，满足约束条件若的最大值为2，则的值为（）A． B．
C． D．
参考答案：
C
7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体
的体积是( )
A 2
B 4
C 5
D 7
参考答案：
A
略
8. 若复数z满足，则z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
B
略
9. 设点是的重心，若，，则的最小值
是
(A)(B)(C)(D)
参考答案：
B
10. 已知{a n}各项为正的等比数列，其前n项和为Sn，若a3=4，S3=7，则公比q等于( )
A．B．C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，由已知可得：q≠1．
∵a3=4，S3=7，
∴，简单a1=1，q=2．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，向量，若，则实数的值
为
参考答案：
2
12. 设且，若恒成立，则实数的取值范围是
_________．
参考答案：
13. 若cosα＝－，且α∈，则tanα＝________.
参考答案：
14. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
____________．
参考答案：
抛物线的准线方程为．
∵抛物线的准线方程与圆相切，
∴，．
15. 已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_________ ．
参考答案：
16. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,M是BC的中点,BM=2, AM=c-b,则
△ABC面积的最大值为________.
参考答案：
17. 若向量和向量垂直，则__________．
参考答案：
5
【分析】
由向量垂直，解得，进而得到，由此能求出的值．
【详解】向量和向量垂直
，解得：
本题正确结果：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+1，若x∈时，求f（x）的最小值．
参考答案：
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由条件利用二次函数的性质，分对称轴在区间的左侧、中间、由侧三种情况，分别求得函数的最小值．
解答：解：函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象的对称轴方程为x=a，
当＜﹣2时，f（x）在上单调递增，函数f（x）的最小值为f（﹣2）=5+4a；
当＞2时，f（x）在上单调递减，函数f（x）的最小值为f（2）=5﹣4a；
当∈时，函数的最小值为f（a）=1﹣a2．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．
19. （14分）
设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛a n｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛a n｝的通项公式.
参考答案：
解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,
故解得d=－2,a1=20.
因此，{a n}的通项公式是a n=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由得即
由①+②得－7d＜11。

即d＞－。

由①+③得13d≤－1
即d≤－
于是－＜d≤－
又d∈Z,故
d=－1
将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{a n}的通项公式是
a n=12-n和a n=13-n,n=1,2,3,…
20. 已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.
（1）若为线段的中点，求直线的方程；
（2）记，求的取值范围.
参考答案：
解：（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.
∴.
判别式.
设，，则
.
∵中点为，
∴，则.
∴直线的方程为，即.
（2）由（1）知
.
设直线的方程为.
同理可得.
∴.
∴.
令，
则，.
在，分别单调递减，
∴或.
故或.
即.
21. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点。

（I）若A，B两点的纵会标分别为的值；
（II）已知点C是单位圆上的一点，且的夹角θ。

参考答案：
略
22. 如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′ 的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）若二面角A′-MN-C为直二面角，求λ 的值．
参考答案：
略。