榕江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

榕江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若实数x ，y 满足，则（x ﹣3）2+y 2的最小值是（ ）
A ．
B ．8
C ．20
D ．2
2． “”是“圆关于直线成轴对称图形”的（ ）
3<-b a 05622
2
=++-+a y x y x b x y 2+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考
查，属于中等难度．
3． 已知集合，，则（ ）
{2,1,0,1,2,3}A =--{|||3,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,0}--{1,0,1,2}-{2,1,0}--{1,,0,1}
-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
4． 已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则
y x ,⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y mx y z -=)3,1(实数的取值范围是（ ）
m A ．
B ．
C ．
D ．1-<m 10<<m 1>m 1
≥m 【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
5． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）
A ．36种
B ．38种
C ．108种
D ．114种
6． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（
）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
7． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q
⌝∧8． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P
是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF C PQ =
PF A ． B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20x y ++=9． 集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
10．函数是指数函数，则的值是（
）
2
(44)x
y a a a =-+A ．4
B ．1或3
C ．3
D ．1
11．将函数（其中）的图象向右平移
个单位长度，所得的图象经过点
x x f ωsin )(=0>ω4
π
，则的最小值是（ ）)0,43(
π
ωA ． B ．
C ．
D ．
31
3
5
12．满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）
)(x f )(x f A.
B.
C.
D.()||x
f e x =2()x x
f e e =2
(ln )ln f x x =1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
二、填空题
13．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则
值等于 ．
14．已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．22
240C x y x y m +-++=：m 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.15．设函数
，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数
的值域为 ．
16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量
与i的夹角，则++…+= ．
三、解答题
17．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直
线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
18．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=
．
（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
19．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原
2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22
127x y +=1x y a b
+=O 点.
（1）求椭圆的方程；
C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=
MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方
MR RN λ=-
R 程；若不是，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2
()ln f x x a x =-,()g x x =-.
（1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2
()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
21．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕AD
旋转一周所成几何体的表面积．
22．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．　
23．（本小题满分12分）
已知圆与圆：关于直线对称，且点在圆上.
M N 2
2
2
35(35(r y x =++-x y =3
5,31(-D M
（1）判断圆与圆的位置关系；
M N （2）设为圆上任意一点，，，三点不共线，为的平分线，且交
P M 35,1(-A )3
5,1(B B A P 、、PG APB ∠于. 求证：与的面积之比为定值.
AB G PBG ∆APG ∆
榕江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由图象得P （3，0）到平面区域的最短距离d min =，
∴（x ﹣3）2+y 2的最小值是：．
故选：A ．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．　
2． 【答案】A
【解析】
3． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,0,1,2,3}x ∈--||3{3,2,1,0}y x =-∈---A B = {2,1,0}--4． 【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，，要使目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则需
)3,1(A mx y z -=)3,1(
直线过点时截距最大，即最大，此时即可.
l A z 1 l k
5． 【答案】A
【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A ．
【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．　
6． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）故选：D ．
7． 【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
8．【答案】B
【解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
9．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B ）．
A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B ．
【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．　
10．【答案】C 【解析】
考点：指数函数的概念．11．【答案】D
考
点：由的部分图象确定其解析式；函数的图象变换．()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin 12．【答案】D.【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2），
所以tan α=﹣2．
=
==﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．　
14．【答案】，.
(1,2)-(,5)-∞【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标，2
2
(1)(2)5x y m -++=-(1,2)-而，∴的范围是，故填：，.505m m ->⇒<m (,5)-∞(1,2)-(,5)-∞15．【答案】　{0，1}　．
【解析】解：
=[﹣]+[
+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜
＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜
+＜1，
故y=0；②当=时，﹣=0，
+=1，
故y=1；③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜
+＜，
故y=﹣1+1=0；故函数
的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
16．【答案】 ．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，
∴b2=c2
∴椭圆方程为+=1
又点A（1，）在椭圆上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1 …
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2
此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
18．【答案】
【解析】（1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
，，
∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值为．…
2016年5月3日
19．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22
143
x y +=R 1x =-【解析】
试
题解析：
（1）由，∴，∴，12e =2214e a =22
34a b ==
解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22
143
x y +=
设点的坐标为，则由，得，
R 00(,)x y MR RN λ=-⋅
0120()x x x x λ-=--解得112
1
22121201
1224424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，
221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，从而，21222
3224
()883434k x x k k -++=+=++12120
1224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.
R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.20．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点．【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()2
41x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=,解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a =
(4)
分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)2
2ln 6
m x x x x =--+所以(
)
221m x x x =--=
=′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0
>'x m 所以()()min 140m x m ==-<，
……………………………………14分
32
4
1-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
812(21))0e e e m
e e -++-=>（ 44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分
考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
21．【答案】
【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的
几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=
πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===
22．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
23．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.
【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
,然后根据圆心距与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP
DM r =MN 的距离相等，所以两个三角形的面积比值
,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求和PA
PB S S APG PBG
=
∆∆PB ,最后得到其比值.
PA 试题解析：（1） ∵圆的圆心关于直线的对称点为，N 3
5,35(-N x y =)3
5
,35(-M ∴，9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ∴圆的方程为.
M 9
16
)35()35(22=
-++y x ∵，∴圆与圆相离.3
8
23210)310()310(||22=>=
+=r MN M N
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1。