2019学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】

2019学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷【含
答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________
、选择题
1. 与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为 A . x - y+8=0 或 x - y - 1=0 _____________ B . x+y+8=0 或 x+y - 1=0
C . x+y - 3=0 或 x+y+3=0 ________________
D . x+y - 3=0 或 x+y+9=0
3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上，这个球
2、柱卜托 C . 50 n ____________ D . 200 n
,卩是两个不同平面，则下列命题中正确的是
I II m ____________________ a _L 卩 II m ___________________ m 丄 a
4. 若直线y=x+m 与曲线.山厂=x 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为 ( )
A
. "“ 签 ______________ B
__________ C .旷吃.D| _____________
D
. >
3. 设1
m 是两条不同直线，a (
)
A . 若 l I I a , aQ® = m ,则
B . 若 l _L a , l II 卩，则
C . 若 l I I a , m II a,贝y l D
若 l II a , m 丄 l ，贝 y 的直线方程为 (
2.
长方体的一个顶点上三条棱长为
的表面积是 (
)
A
. 2；二衣 --------------- B .
5. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )
2个 C . 3个 D . 4个
7.点 P (- 3 , 1 )在椭圆一
( a > b > 0 )的左准线(.—一)
E h~
r.
上.过点P
且方向为；
=(2, - 5 )的光线，经直线y = - 2反射后通过椭圆的
左焦点，则这个椭圆的离心率为 (
)
C .
D
1
1 *
r
?
8.已知点 A ( - 2, 0 ) , B ( 2 ,0 ) , C ( 0 ,2 ) ，直线 y=ax+b (a > 0)将 △ ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 ( )
A B . 宀 C .-1
A . 4 _______________ B
20 26
③BD 丄平面ACD
④AD 丄平面BED 6. 如图，在矩形 ABCD 中, AB=8 BC=4, E 为DC 边的中点，沿 人已将厶AD 折起，在折起 过程中，有几个正确
(
)
①ED 丄平面 ACD ②CD 丄平面 BED
、填空题
9.
直观图(如图)中，四边形 O' A B ' C 为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标中四
10. 李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为 10cm 的钢管，为了便于携带，他将三
根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为
_________ cm .
11. 椭圆E : 二--一 '内有一点P ( 2 , 1 )，贝【J 经过P 并且以P 为中点的弦所在
直线方程为 _______________ .
12. 四面体的棱长中，有两条为 ，其余的全为1，它的体积
是
13. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为 4的球的两条弦AB CD 的长度分别为
-■'和 ,：，M N 分别是AB CD 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四 个命题： ① 弦AB CD 可能相交于点M ___________ ② 弦AB CD 可能相交于点N;
③ MN 的最大值是5; ______________________________________ ④ MN 的最小值是1;
其中所有正确命题的序号为 ______________ .
边形ABCD 为
，面积为
cm 2
14. 设圆C: x 2 +y 2 =3 ，直线I : x+3y - 6=0,点P (x 0 , y 0 ) € I，存在点Q
€ C，使/ OPQ=60 ( O为坐标原点)，则x 0的取值范围是_____________________ .
15. 在棱长为2的正方体ABC- A 1 B 1 C 1 D 1 中，点P是正方体棱上的一点(不
包括棱的端点)，满足|PB|+|PD 1 |= 2迟的点P的个数为__________________ ；若满足
|PB|+|PD 1 |= m 的点P的个数为6 ，贝V m的取值范围是_____________ .
三、解答题
16. 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2 )当x为何值时，圆柱的侧面积最大
17. 已知圆-I - : j —■■-，直线「.
(1 )求证：对._ ,直线与圆：总有两个不同的交点A、B ;
(2 )求弦AB的中点M的轨迹方程 .
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中, PA丄底面ABCD AB丄AD , AC丄CD上ABC=60 , PA=AB=BC E 是PC的中点.
(3)求二面角A- PD- C的正切值
19.
已知圆_"j ■, | : ! ；，点P 是直线二二 上的一动点，过点 P
作圆M 的切线PA , PB ，切点为 A , B .
(1 )当切线PA 的长度为、,时，求点P 的坐标； (2 )若 ；的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线 上运动时，圆N 是否过
定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由
(3 )求线段AB 长度的最小值.
参考答案及解析
第1题【答案】
【解析】
I L _ 7|
试题分析：设所求直线的方程为工十严几0 ,贝］两条平行线之间的距离为〃三―」解得
？或b = 9 ,所以直线的方程为x + v-3^0^x+y+9 = 0 ,故选D.
第2题【答案】
【解析】 试题分折：由題肓得，长方体的对角线长対"仔〒77邛应,所以球的半径対厂二芈,所
中，已知—是椭圆上的一点,
(3)
如图，在平面直角坐标系 xOy 20.
P,Q •
试问,■ ■是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由
以球的表面积为5 ~--- )2=50JT J故选f ■
第3题【答案】
【解析】试题分析：沖』若/ ao I # 5 ,则平行或导面』只有X尸,才有』W所以^报；B中 '若丿]八尸,则金」:所如正确j C中，若s a ?则由线面平行的性质走理可知匚朋平行、相交或异面』所加错询沖j 冲_U ,则啣与m平行、相交或在平面内，所如错误j故选B・
第4题【答案】
【解析】
试题分析；由题意得；曲线表示圆的右半圆，时口图所示，当直线yr“与圆
工：+ F = 1相切时』则切="，结合團象可得!若直绒y = 丁+旳与曲钱Ji _护=龙相切时』则懵=-恵，平移頁线厂X可得直线v = A十m与曲线71-^7二乂有■两个不同的交点』测丈數附的取值范围是(-A-1]-
第5题【答案】
【解析】
试题分折：由已知中的三视團可得该几何依表示一个四棱锥和一个三檢锥构成的组合体，四檯锥的底面面积柏,高为4丿所闵本积和十卜4+ ,三極縫的底面面枳高为2 ；所CU本积为K--x?x2^i , Hi決几何体的体枳为E + 只兰卫-
-3 3 ・* 3
第6题【答案】
A
【解析】
试题分析：由题意得，根抿几何体运动的观点可知，当D点运动到使得厶D号二狩,此时能使得Z?D丄平面丿CQ ?只有③是正确的，古攵选丄
第7题【答案】
【解析】试题分朴如團所示，过点RTD的方向：=(2.-力，所tX^ = -|』则如的方程为
5 g
lv-l = -|(x+；)』即直线如心齢"=打与)=-2联立'可解得0(--2) 7由光线的反射的只捋性知：叽宀、尬、
即$.-2v + 5 = Q ,令,得勺-L0),综上所述，r = lX = 3 ,则“證JI ,所以椭圆的禽心率它亠亘-
c ct 3
第8题【答案】
第9题【答案】
£f
【解析】
试题分析！由题亘得，三角形朋f 的面积5■二+ ■品OC=4 ,由于直袋「型*出与工轴
的焦点为^(--.0),由=
,将三角形ABC 割为面积相等的两咅吩可得点M
丁 =尔
4凸 在身书戋加 ±,设直线和於Q 的交点为』V 、则由亍 . :T + I 1 =-<
,0M 点M 和点.4重台』则点N 为a® BC 的中点』则」且卫±1",解得 a a +1
、②若点财在点。

和点川之间，则点川在点B 和点C 之间，由题意得可得三角形
NM 的面枳等于2 ,即[海―2 , W l.(2 + ^)-^21=2 ,解得“二工>0 .故bcl
2 2 c <r+1
1—4)
,③#点M 在点V 的左侧，则--<-2.b>^ ,设直线尸5"和丿C 的交点为P 丿则
j v + ? -b 2a -b
< 「求得点F 的坐标为(一)、此时，AT = ]x^y = 2 a -\
|b - 2|
C(0.2)到直线y = ax^b 的0巨离等于 =l r ,由题青得三角的面积为2 ,即 J1 + E .航，鹘=2,化简可得(2押=2 2-亦,整理得bX-血,综上所述可得占的取值范围是运①-
矩形S
」
2_ b 二相+ b
「可得点.V 的坐械为诂吕
T
,此时「点
上；r “ 1 ,由于此时0 u b w 占< 1 ,所以.
2 |®+1||«~1| (2 ▼疔■ 2*」-1|
【辉析】
试题分析：由斜二测画法的规则可抓AC分别在F轴和”轴上,故在工6坐标中刃c分别在工釉和」轴上，&O4-2.CX7-4、由平行性不娈找出对应的点月点』可以得到：在工6坐标中四边形磁D为矩形「且面积为「故答案为：矩形，面积为8 -
第10题【答案】
30+IO JT
【睥析】
试题分析；如團所示，铁丝捆扎一圈的长度为三条公切线的长度亠三条弧长'即
= q 的周长TD410疋.
第11题【答案】
r + 2,y-4 = 0
【解析】
试题分析；设所求直绒与椭圆交于出’代入椭圆的方程.两式相减得
©ny厂无打〔屮吋y厂耳）胡又+42 ,所师率
16 16 1- 1' 两2
,因此所求宜线的方程为》十-扣-2），即x + 2v-4 = 0 .
【解析】试题分折：由题意画出几何偽如團所示F PA^PB-PC-VAB^4i.AC-4i f所以虫佃匸为直角三角形，G为肚的中点，PO垂直于底面肿f，可知夠士― 三棱柱的体积为
厶
第12题【答案】
3 2 2
第13题【答案】
(D®@
【解析】
试题分析：由题育得'②中，WN到球心。

的距离分别为久2、若两弦交于M，则0M丄, Rt^OMN中，有OM < ON ,矛盾；分别取球O的两条弦肪,CD的中点,则Or=3.C?F=2 ,即可以看作弦肱少分别罡球半径为3和2的球的切线，且眩朋在半径対2的求冊卜訓弦腐与CD之可能相交于財点，且MV的最大值距爲为2 + 3 = 5 ；最小距高为
1-2 = 1 ,兰MOM共线时取得最犬值,和最小111 ,综上可知正誦的第题摩号为©®@.
第14题【答案】
[0--]
5
【解析】
试题分析：由题青亀PO- = -b.V；,又因为尸在直线丿,所厂-。

卄-6)』故：Orr-36r.十淞4・««- J ：| - 2.0 <■ \ <■-・用I ■的取菅范围岸巴£].
■/»■KF
第15题【答案】
14 (2辰后
【解析】
试题分析：因为正方体的樓长为2 ,所以唱=2炳、因为『团十[?耳卜2击」所U点尸是以2" 2曲为焦芯运为长半WL以JI为矩半?由的椭臥所以点尸在正方休的樓上，所次
点F是椭圆与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知一.椭圆与正方体的共计口个交点；因为|朋|+卩®卜榔>|阳| = 2血,所以也“語，因为正方体的楼长为2 ；所次正方体的面的对角结冏2在,因为点尸的个数为& ,所以此血，因为短半釉长X 唇宁近,解得斑C所以实数曲的取值范81(2^)275 •
第16题【答案】
⑴5=4Tr-^.r_xe(0.6) ; <2)囲柱的高为？M时，它的侧面积最大対仙*
【解析】
—).\ =斗惑一—.v1,^ e (0.6)
(刀由⑴ 知当丫二一.2疋、=3H寸』这个二次函斷有最大值再3JT, 2(-y)
・'■当圆柱的高为乱砧寸j它的侧面积最大为6兀曲
第17题【答案】
(1)证明见解析；(2)宀八y-2y+l = 0 •
【解析】
试题分析；⑴方法仁根据圆心到直线的距副汙圆的半径，从而判走直线与圆相交』方法厶将直线擢出加,竝直^恒过点PCU),再根再圆内，得到直线与囲狡.⑵将直线方程与圆的方程联N利用韦达定理得到两个交点坐标的削利用中点坐标公式求出肿的中点』消去脚得到弦加的中点M的轨迹方程.
试题解析：⑴ W4-：@C：T a+(y-l)? =5的园心为02),半f诙血-
二圆到直线7：吨-$十；-BJM。

的距离
#= |丹I '|"：［==£兰岳…;直线/与园c相交，艮卩直线』5圆C总有两个不同交点序
叫M臟出齡潴
序匚；匚直线“師■尸1・瞬・0过定点陀1),而点陀1)在圆内仁直編与圆併目交，即直线I与圆C总有两个不同交点j
⑵ 邹与P不重合时，连结g CP,则CM丄MP ,又因为|CM|2+|M|制CPp ,
i§M(x, vXv 1),贝Jx:+(v-l)2+(r-l): +01-l)2 =1 ,
化简得：x? + y' -x —2y1-1 = 0(.r * 1)
当H与P重合时,y=i,y = l也满足上式.
故弓SAB中点的軌迹方^fix2 + r-r-2j*l=0 .
第18题【答案】
<1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）历・
【解析】
试题分析：（1〉运用线面垂直的刘定和性质定理即可证匪CD丄AE j （2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD丄平面ABE ?（3〉过£点作EM丄PD于M点，连接AM ,由
<2）知恋丄平面FCD ,则/LW丄PD ,则乙4ME是二面角A-PD-C的平面角，通过解三角形肚M ,即可得到所求值.
试题解析；⑴ 证明；TPA丄底面ABCD： CD平面皿CD「・PA丄CD,
G
又AC丄CD, ACQPA二A,
「•CD丄平面FAC,又AE平面PAC,
c
「•CD 丄AE,
<2）证明:TPA丄底面ABCD, AB 平面ABCD/.PA丄AB,
c
又拉丄AB, ADCPA二A
二朋丄平面PAD,又FD 平面PAD/.AB丄PD,
c
宙PA=AB=BC, ZABC=60° ,则AABC是正三角形.
.\AC=AB.\PA=PC
• E是PC中点「.AE丄PC
由（1〉知AE丄CD,又CD「]PC=C.・.AE丄平面PCD
/.AE I PD,又AB丄PD，AB A AE=A
「•PD丄平面ABE;
（3）解：过E点作E]LLPD于M点，连结血
由（2）知AE丄平面PCD,则AE丄PD,
第19 题【答案】
试题分析:
(1)因为刃
是圆M的一条切线，所叹为直角，所次MP |= J(O_2b)U(4_0)2
“UP =4，即可得到点尸的坐标；(2)设Z、b),因为乙述妒= 90° ,所臥经过4只M三点的圆.V以为直径，
其方程为(兀-疔+()—出于=也土二1L ,即
2 4
(2.v+v-4)5-(.r2^v2-4y)=0 ,即可求得结论；(3)求出点M到直线「48的距离，利用勾股定理，即可求线段加的长度的最小值.
试题解析：⑴ 由题意知，圆M的半径"2 ,设P(26Q ,
TPA是U M的一条切线，二90° ,
______________ ____________ Q | MP |= 7(0 -2d)2 + (4 -&)2 = V-LW2 + .1P- = 4 ,解得
b = 0.b = < ,
・・・P(0、0)或P(寮|)・
⑵设尸(20上),•.•ZM4P = 903，•:经过A, P, M三点的圆瞅MP为直徑，
•••圆过走点(Q4> ,(|.i).
(3 )因为圜昉程为(x-6)2 + (J -牛少=紡Y_—
*T
即Z+尸一2加一@+4” + 4b= 0 ,
【解析】
x=0
“4 或
'、
IP (2x
+ y -
4)i —
2x+v-
4 = 0
第20 题【答案】
⑴（勺±2运）'+（片士2的> ; （2）证明见解析；⑶是，OP + O/MG ・
【解析】
试题分析；⑴ 通过直线OPQQ 互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程求出圆的圆心，然后求处圆 的方程即可,（2）因为直线OFQQ 与圆相切，推出勺虫是方程
（圧-8卅-2心片"拧一8 = 0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出耳佗,结合点在椭圆 上，可证明2耐怎十1=0 ; （3）直线OPOQ 落在坐标轴上时，^OP- +GC?2 =36 :当直线 OP.OQ 不落在坐标轴上时，设尸g.” ）, Q （厂也），0^2^+1 = 0 ,可推出 y/vf =2・丫]*丿/利用因为F （”]•”），Q （厂小）在椭圆上丿所以）+山-=1 ,
4
24 12
Y 2 V 2
^-+2^ = 1 ,可推出00+00、= 36 .
24 12
试题解析：⑴ 由圆R 的方程知圆R 的半径r=2-j2 , |0R|=Q ・=4,即讦 =16①，又点R 在椭 圆上，
所叹汇+卫1=1②，联立①②，解得
24 12
（旳±2应〉2+仇±2迈）—8
化简得（彳一®斥一2勺）詁十j 叮一2 0 ,（彳_8用_2勺.卩2+对-20、所以4,尢是方 程（曲-8卅一2“升2打—8 = 0的两个不相等的实数根，由韦达定理得，讥=迟三・因为
1 o «
4 _ ] 丫 】 点R 在椭圆上，所以 比+出=1 ?即.打=12-吕J ,所以k2 亍。

__1 ,
24 12 2 48 一 2
即2片屮1=0 .
<3）当直线OP 、0Q 落在坐标轴上时，有OP 2
^OO- =36j 当直线OP 、0Q 不落在坐标轴上时，设P （T]J[ ）, Q （A *2.,V 2 ）,因为2片冬十1二0 >所以 f +1 = 0
X }X 2
> 故 J ；v/=|v.v/
Xq=±2^ ,
所以
圆R 的（2）因为直线OP: y=k ：xjDOQ:尸畑都与圆R
相切,
⑴（勺±2运）'+（片士2的> ; （2）证明见解析；⑶是，OP + O/MG・因为F（m ）, Q（心，”）在椭圆上，所以工十巴_二1,亠+匕一二1 ,即.讦=12-二打，。