四川省遂宁市2020年新高考高二数学下学期期末检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线210
x y
-+=的一个方向向量是（）．
A．()
1,2-B．()
1,2C．()
2,1-D．()
2,1
2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
3．设
2
1,[0,1]
()
1,[1,0)
x x
f x
x x
⎧⎪-∈
=⎨
+∈-
⎪⎩
，则
1
1
()
f x dx
-
⎰等于（）
A．1
2
π
+B．
1
22
π
+C．
1
24
π
+D．1
4
π
+
4．已知函数23
()x
f x e-
=，
1
()ln
42
x
g x=+，若()()
f m
g n
=成立，则n m
-的最小值为（）
A．
1
ln2
2
+B．ln2C．
1
2ln2
2
+D ．2ln2
5．若()()
20
n
ax a
+≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（）
A．()[]
,02,3
-∞B．()11
,0,
32
⎡⎤
-∞⎢⎥
⎣⎦
C．[]
2,3D．
11
,
32
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
6．给出下列四个说法：
①命题“0
x
∀>，都有
1
2
x
x
+≥”的否定是“
x∃≤，使得
1
2
x
x
+<”；
②已知a、0
b>a b
>a b
>”的逆否命题是真命题；
③1
x>是21
x>的必要不充分条件；
④若0
x x
=为函数()22ln x
f x x x x e-
=++-的零点，则
00
2ln0
x x
+=.
其中正确的个数为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，
23
π) B ．(－4，
23
π) C ．(－4，
3
π) D ．(4，
3
π) 8．计算52
752C 3A +的值是（ ）
A ．72
B ．102
C ．5070
D ．5100
9．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）
A ．
1e
B ．0
C ．
4
4e D ．
2
2e 10．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布(
)2
85,N σ
，已知()1220.96P X ≤=，现随机
从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（） A ．6
B ．4
C ．94
D ．96
11．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y （万元） 6.2
7.5 8.0 8.5 9.8
根据表中数据可得回归直线方程0.76y x a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( ) A ．15.2
B ．15.4
C ．15.6
D ．15.8
12．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题
13．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．
14．如果不等式24x x -()1a x >－
的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<<，那么实数a 的取值范围是 ____ 15．在二项式4
2n
x x ⎛
+ ⎪⎝
⎭的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______． 16．设
，则
___________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为{|24}x x <<. （I ）求实数m 的值；
（II ）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
18．如图所示,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,//,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒.
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；
(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论． 19．（6分）已知函数2
1()(1)ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （1）若0a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间.
20．（6分）某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度d (单位: mm )服从正态分布(195,16)N ,公司规定:轮胎宽度不在(191,203)()mm 内将被退回生产部重新生产. (1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到0.1)；
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取3件作检验,这3件产品中至少有2件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格. (¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;
(¡¡)若质检部连续质检了10批轮胎,记X 为这10批轮胎中初步质检合格的批数,求X 的数学期望. 附:若2(,)Z
N μσ,则()P Z μσμσ-<<+=0.6826P (22)Z μσμσ-<<+0.9544=.
21．（6分）在平面四边形ABCD 中，E 、F 分AB 、DC 所成的比为λ，即
AE DF
EB FC
λ==，则有：111EF AD BC λ
λλ
=
+++.
（1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD 类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB a ，BC b =，1AA c =，E 、F 分别为AB 、1A C 的中点，
利用上述（1）的结论求线段EF 的长度；
（3）在所有棱长均为a 平行六面体1111ABCD A B C D -中，11A AB A AD DAB θ∠=∠=∠=（θ为锐角定值），E 、F 分1D B 、1C C 所成的比为λ，求EF 的长度.（用a ，λ，θ表示） 22．（8分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数），曲线21:1C y x =-.
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42sin 4πρα⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）若点()00,P x y 在曲线1C 上，求00x y -+的取值范围；
（2）设直线l 与曲线2C 交于M 、N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||QM QN -的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量. 【详解】 直线的斜率为1
2
，故其方向向量为()2,1. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题. 2．B 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为
.
考点：三视图. 3．C
【解析】 【分析】
利用
()1
01
1
1()f x dx dx x x --+=+⎰
⎰⎰
计算出定积分的值.
【详解】
依题意得
()1
01
1
1()f x dx dx x x --+=+⎰
⎰⎰
202
111π|π12424x x -⎛⎫=++⨯⨯=+ ⎪⎝
⎭，故选C.
【点睛】
本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
根据()()f m g n k ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论． 【详解】 设23
1ln (0)42m n e
k k -=
+=>，则3ln 22
k
m =+，142k n e -=， 令1
4
ln 3()222k k h k n m e
-=-=--，所以141()22k h k e k
-'
=-
， 又1
4
1()22k h k e
k
-
'=-
在()0,∞+增函数，且104h '⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
当10,
4k ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<，当1,4k ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h k '>，
所以1
4
ln 3()222k k h k e
-=--在10,4⎛⎫
⎪
⎝⎭
上递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增． 所以min 11
()ln 242h k h ⎛⎫==+ ⎪
⎝⎭
，即n m -的最小值为1ln 22+． 故选A. 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度． 5．C 【解析】 【分析】
计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()6
63
79C 2T ax =，根据系数的大小关系得到
5
45454995456369
9C 2C 2C 2C 2a a a a ⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【详解】
2512n =，9n =，()5
5469C 2T ax =，()4
4559C 2T ax =，()6
63
79C 2T ax =，
第6项的系数最大，5
45454
995456369
9C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 故选：C . 【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6．C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式
21x >，
利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数()x
g x x e =+，得出()()()2ln f x g x g x =--，根据零点的定义和函数()y g x =的单调性来判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；
对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；
对于命题③，解不等式21x >，得1x <-或1x >，所以，1x >是21x >的充分不必要条件，命题③为假命题；
对于命题④，函数()y f x =的定义域为()0,∞+， 构造函数()x
g x x e =+，则函数()y g x =为增函数，
又()()()()()2ln 2ln 2ln 2ln 2ln x
x x x f x e
x x e e x x e g x g x --=++-=+--+=--，
0x x =为函数()y f x =的零点，则()()()0002ln 0f x g x g x =--=，
()()002ln g x g x ∴=-，002ln x x ∴=-，则002ln 0x x +=，命题④为真命题.
故选：C. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.
7．A 【解析】 【分析】
由条件求得ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵点的直角坐标(2-
∴4ρ===，21
cos 42x
θρ
-=
=
=-，sin y θρ=== ∴可取23
π
θ=
∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
故选A. 【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=
cos x
θρ
=
、
sin y
θρ
=
(θ由(),x y 所在象限确定).
8．B
【解析】 【分析】
根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】
依题意，原式2
2
7576
232354426010221
C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】
本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】
先算出1()x x
f x e
-'=，然后求出()f x 的单调性即可
【详解】
由()x
f x xe
-=可得1()x x
f x e
-'=
当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增 当(]
1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减 所以函数()x
f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e
=
故选：A 【点睛】
本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单. 10．B 【解析】 【分析】
由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04P X >=，根据对称性，则()480.04P X <=，乘以样本个数得答案． 【详解】
由题意，知()1220.96P X ≤=，可得()1220.04P X >=， 又由对称轴为85x =，所以()480.04P X <=， 所以成绩小于48分的样本个数为1000.044⨯=个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量μ和σ的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】
由于回归直线方程过中心点(,)x y ，所以先求出,x y 的值，代入回归方程中，求出a ，可得回归直线方程，然后令20x 可得结果
【详解】 解：因为1
(8.28.610.011.311.9)105x =
⨯++++=， 1
(6.27.58.08.59.8)85
y =⨯++++=
所以80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+
所以当20x 时，0.76200.415.6y =⨯+=
故选： C 【点睛】
此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题 12．A 【解析】
分析：移项，化简整理即可. 详解：，
的虚部为4. 故选：A.
点睛：复数四则运算的解答策略
复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 二、填空题：本题共4小题 13．
25
216
； 【解析】 【分析】
利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率. 【详解】
每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，
由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况， 则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即： (1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)， (2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)， (3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)， (4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)， (5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，
(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以25216
P =. 【点睛】
本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定. 14．[2,)+∞
【解析】
【分析】
将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.
【详解】
不等式2
4x x
-()1
a x
>－的解集为A，且{}
02
|
A x x
⊆<<
222
4(2)4(0)
y x x x y y
=-⇒-+=≥
1
()
y a x
=－
画出图像知：
112
a a
-≥⇒≥
故答案为：[2,)
+∞
【点睛】
本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.
15．
35
8
x
【解析】
【分析】
求出二项式
4
2
n
x
x
+展开式的通项，得出展开式前三项的系数，由前三项的系数依次成等差数列求出n的值，然后利用x的指数为1，求出参数的值，并代入通项可得出所求项.
【详解】
二项式
4
2
n
x
x
展开式的通项为
3
24
4
1
2
2
k n k
n k
k k
n n k
C x C x
x
--
⋅⋅=⋅⋅，
由题意知，0
n
C、
1
2
n
C
、
2
4
n
C
成等差数列，即
()1
1
8
n n
n
-
=+，整理得2980
n n
-+=，2
n≥，解得8
n=，令
3
41
4
k
-=，解得4
k=.
因此，展开式中含x的项为48
4
135
28
C x x
⋅⋅=.
故答案为：
35
8
x.
【点睛】
本题考查二项式中指定项的求解，同时也考查了利用项的系数关系求指数的值，解题的关键就是利用展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 16． 【解析】 【分析】
首先解绝对值不等式求得集合A ，根据偶次根式的条件求得集合B ，之后求得两集合的交集，得到结果. 【详解】 解不等式得， 根据
，解得
，所以
，
故答案是：. 【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义域，两集合的交集的求解，属于简单题目.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）3（2）0a ≤或6a ≥ 【解析】 【分析】
（I ）问题转化为5﹣m ＜x ＜m+1，从而得到5﹣m=2且m +1=4，基础即可；（II ）问题转化为|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a 的范围即可． 【详解】
解：（I ）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m = （II ）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立
()333x x a x x a a -+-≥---=-（当且仅当()()30x x a --≤时取到等号）
33a ∴-≥解得6a ≥或0a ≤ ，故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥
【点睛】
恒成立问题的解决方法:(1)f(x)<m 恒成立，须有[f(x)]max <m ；(2)f(x)>m 恒成立，须有[f(x)]min >m ；(3)不等式的解集为R ，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解． 18． (Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 1
3
BM BD =. 【解析】
试题分析: (1)由线面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标系D xyz -, 写出各点坐标, 由于点M 在线
段BD上,所以设(,,0)(032)
M t t t
≤≤,求出平面BEF的法向量n,由0
AM n⋅=,求出点M的坐标.
试题解析: (Ⅰ)证明：∵DE⊥平面ABCD,∴DE AC
⊥,
∵ABCD是正方形,∴AC BD
⊥,
又DE BD D
⋂＝,
∴AC⊥平面BDE.
(Ⅱ)解：因为,,
DA DC DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D xyz
-如图所示,
因为BE与平面ABCD所成角为60︒,即60
DBE
∠=︒,
所以3
ED
DB
=
由3
AD=,可知36,6
DE AF
==
则()
((()
300,3,06,0,036,3,30
A F E B
，，，，，,
所以()(
03,6,30,26
BF EF
=-=-
，，,
设平面BEF的法向量()
,,
n x y z
=,
则
{
n BF
n EF
⋅=
⋅=
,即
360
{
3260
y z
x z
-+=
-=
.
令6
z=,(4,2,6
n=,
又点M是线段BD上一动点,
设()
(
,,0032
M t t t≤≤,则()
3,,0
AB t t
=-
因为//
AM平面BEF,
所以0
AM n⋅=,即()
4320
t t
-+=
解得2
t=.
此时,点M的坐标为(2,2,0)
即当
1
3
BM BD
=时,//
AM平面BEF.
19．（1）10
y+=（2）当0
a≤时，函数()
f x的增区间是（0,1），减区间是(1,)
+∞；当1
a>时，函数()
f x 的增区间是
1
(0,)
a
和(1,)
+∞，减区间是
1
,1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；当1
a=时，函数()
f x增区间是(0,)
+∞，没有减区间；
当01a <<时，函数()f x 的增区间是（0,1）和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，减区间是11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【解析】 【分析】
（1）求导，根据导数的几何意义，写出切线方程的点斜式方程，整理化简即可；
（2）求导，根据参数a 对导数正负的影响对参数进行分类讨论，求得对应的单调性和单调区间. 【详解】
（1）若0a =，()ln f x x x =-+，导函数为1
'()1f x x
=-+. 依题意，有(1)1,'(1)0f f =-=， 则切线方程为10(1)y x +=-， 即10y +=.
（2）21(1)1
'()(1)ax a x f x ax a x x -++=-++=，
(1)(1)
'()(0)ax x f x x x
--=
>
①当0a ≤时，(1)0ax -<，由'()0f x >，得01x <<， 则函数()f x 的增区间是（0,1），减区间是(1,)+∞； ②当0a >时，由(1)(1)'()0ax x f x x --==，得121
1,x x a
==，
再讨论两根的大小关系； ⒈当1a >时，
1
1a <，由'()0f x >，得10x a
<<或者1x >， 则函数()f x 的增区间是1
(0,)a
和(1,)+∞，减区间是1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ⒉当1a =时，
1
1a
=， 则函数()f x 的增区间是(0,)+∞，没有减区间；
⒊当01a <<时，
11a >，由'()0f x >，得01x <<或者1x a
>， 则函数()f x 的增区间是（0,1）和1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，减区间是11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭；
综上，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是（0,1），减区间是(1,)+∞；
当1a >时，函数()f x 的增区间是1(0,)a 和(1,)+∞，减区间是1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 当1a =时，函数()f x 增区间是(0,)+∞，没有减区间；
当01a <<时，函数()f x 的增区间是（0,1）和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，减区间是11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调性，属导数基础题. 20．（1）0.8（2）见解析 【解析】
分析：(1)根据轮胎的尺寸服从正态分布，根据正态曲线的对称性，结合题中所给的相应概率，利用公式求得结果；
(2) (¡)根据题意可知抽检属于独立重复试，合格包括三件都不需要被退回和有一件需要退回，利用相应的公式求得结果；
(¡¡)根据题意，可知X 服从二项分布，利用公式求得结果. 详解：(1)
()195,16d N ~，195,4μσ∴==.
(191203)P d P <<= 1
(2)2
d μσμσ-<<+=
()P d μσμσ-<<+ 1
(22)2
P d μσμσ+-<<+ 0.81850.8=≈， 即此轮胎不被退回的概率为0.8
(2)(i)这批轮胎初步质检合格的概率为322
30.80.80.2C +⨯= 0.5120.3840.896+=.
(i i)由题可得X 服从二项分布()10,0.896B ，
()100.8968.96E X ∴=⨯=.
点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，在解题的过程中，需要明确正态分布的性质，利用正态曲线的对称性，利用相关的公式，结合题的条件求得结果；二是要明确抽检相当于独立重复试验，再者就是要明确该事件包括两种情况；三就是明确变量服从二项分布，利用公式求得结果.
21．（1）命题同题干，证明见解析；（2；（3
【解析】 【分析】
（1）由条件可得111EF AD BC λ
λλ
=
+++，利用向量的线性运算证明即可； （2）由（1）的结论可得111
22
EF CB A A =+，两边同时平方计算可得结果；
（3）由（1）的结论可得11111EF D C BC λλλ
=+++，两边同时平方计算可得结果. 【详解】
（1）在空间四边形ABCD 中，E 、F 分AB 、DC 所成的比为λ，即
AE DF
EB FC
λ==，则有：111EF AD BC λλλ
=
+++. 证明：111
()111EF EB BF AB BC CF AD DB BC CD λλλ
=+=
++=++++++ 111()111AD DB BC CB BD λλλ=+++++++ 11111111AD DB BC BC DB λλλλ=++--++++ 111AD BC λλλ
=+++； （2）由（1）的结论可得111111
111122
EF CB A A CB A A =+=+++，
()
()222221111
244
EF CB CB A A A A b c ∴=+⋅+=+，
()2
2b
c EF +∴=
；
（3）如图：
11//,//D C AB BC AD
11D C ∴与BC 所成的角为θ，
又由（1）的结论可得11111EF D C BC λ
λλ
=
+++， 2
2
2
11111121111EF D C D C BC BC λλλλλλ⎛⎫⎛⎫
∴=+⋅+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
()
2
2
22
22
12cos 111a a a λλθλλλ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+ ()
2
2
2
12cos 1a
λθλλ++=+，
EF ∴=
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，数量积的运算及模的运算，考查学生计算能力，是中档题.
22．（1）⎡-⎣（2
【解析】 【分析】
(1)根据条件可得000x y x -+=-，设0,,22x sin ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
，则
04x πθ⎛⎫-+=- ⎪⎝
⎭然后求出范围即可；
（2）根据参数的几何意义，利用一元二次方程根与系数关系式求出结果． 【详解】
(10)
(P x ，0)y 在曲线1C 上，
0y ∴=
000x y x ∴-+=-+ 设0,,22x sin ππθθ⎡⎤=∈-
⎢⎥⎣
⎦，
04x sin cos πθθθ⎛⎫∴-=-+=- ⎪⎝⎭，
,22ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦， 3,444π
ππθ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
，
4πθ⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，
4πθ⎛
⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭
00x y ∴-+的取值范围⎡-⎣；
(2)
4πρα⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，
∴4sin cos )ραα=-（， ∴2244x y y x +=-
故曲线2C 的直角坐标方程为：2
2
(2)(2)8x y ++-=
直线l
的标准参数方程为22(12x t
y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数)，
代入2C
得：270t -=
设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
12t t +=1270t t =-<故1t ，2t 异号，
12QM QN t t ∴-=+=．
【点睛】
本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属基础题．
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数
（是虚数单位），则复数
的虚部是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知函数ln ()x
f x x
=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
3．已知双曲线22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q
两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+
B ．31+
C ．2
D ．5
4．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48
B ．72
C ．64
D ．96
5．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2
222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有（ ）
A ．1212,μμσσ<<
B ．1
212,μμσσ
C ．1212,μμσσ><
D ．1212,μμσσ>>
6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A ．3
B ．-6
C ．10
D ．12
7．已知椭圆22
21(5)25
x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为
( ) A ．10
B ．20
C ．241
D ．441
8．若关于x 的不等式ln(1)e x x ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立，则,a b 可以是（ ） A ．0a =，2b = B ．1a =，2b = C ．3a =，1b = D ．2a =，1b =
9．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－
或3}x ＞，则A B =（ ）
A ．R
B ．()4-∞，
C ．()43
1⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
-，-，
D ．()()13∞⋃+∞－，－
， 11．多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知
(0,0,0)D 、(2,4,0)B 、(2,0,0)A 、(0,4,0)C 、(2,4,1)E 、1(0,4,3)C .若1AEC F 为平行四边形，则点
C 到平面1AEC F 的距离为
A ．
11
33
B ．433
C ．
33
33
D ．
33
11
12．已知函数()()ln x
e f x k x x x
=+-，
若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞
B ．(),e -∞
C ．[),e +∞
D ．(),e +∞
二、填空题：本题共4小题
13．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，
若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______． 14．参数方程2
cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩
（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是_________； 15．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．
16．若()()5
21x a x ++的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中5x 的系数为______.（用数字填写答案）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x cos y sin αα
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程sin 424πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
； （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到曲线2C 上的距离的最小值的值. 18．已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴（其中,b c 为常数）. （1）求实数b 的值；
（2）记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； （3）求证：不等式2
(1)()f c f c +>对任意R c ∈成立.
19．（6分）已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为，左顶点为，
.
（1）求椭圆的方程； （2）若直线经过
与椭圆交于
两点，求
的取值范围.
20．（6分）已知函数()3
ln f x x ax =+.
（1）若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；
（2）若2
()22x
f x ax ax e e a >+-+-在(1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
21．（6分）已知函数()1f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；
（2）若()20f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
22．（8分）已知()|1|f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}|12x x -≤≤． （1）求a 的值． （2）若
()()
3
f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 由，得，故其虚部为，故选A.
2．D 【解析】 【分析】 可以得出11
ln 32,ln 251010
a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜
b ，从而得出a ，b ，
c 的大小关系． 【详解】
()ln 2ln 322210a f ==
=, ()1ln 25
5ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9
336b f ===，再由对数函数的单调性得到
a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】
考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果. 3．B 【解析】 【分析】
求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】
设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得
22222
22
22223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 22122
2
333a b x x b a
-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，
即2
1240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2
3b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
故1e ===，故选B.
【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 4．A 【解析】
分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含2的因数个数即可得结果.
详解：33000的因数由若干个2（共有3
2
1
2,2,2,2四种情况）， 若干个3（共有0
3,3两种情况）， 若干个5（共有3
2
1
5,5,5,5四种情况），
若干个11（共有10
11,11两种情况），
由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264
⨯⨯⨯=，
不含2的共有24216
⨯⨯=，
∴正偶数因数的个数有641648
-=个，
即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.
点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
5．A
【解析】
根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．
6．C
【解析】
试题分析：当时，为奇数，，；
当时，为偶数，，；
当时，为奇数，，；
当时，为偶数，，；
当时，输出．
考点：程序框图．
7．D
【解析】
【分析】
求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【详解】
由题意可得椭圆
2
2
x
a
+
2
25
y
=1的b=5，c=4，
22
b c
+41
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=441． 故选D ． 【点睛】
本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 8．D 【解析】 【分析】
分别取0,1x x ==代入不等式，得到答案. 【详解】
不等式()ln 1e x
x ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立
取0x =得：1b ≥
取1x =得：ln 2e a b +≥+ 排除A,B,C 故答案为D 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键. 9．D 【解析】 【分析】
计算出样本的中心点，将该点的坐标代入回归直线方程可得出的值。

【详解】
由表格中的数据可得
，
，
由于回归直线过点，所以，，解得，故选：D.
【点睛】
本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点
”是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题。

10．C 【解析】 【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案
. 【详解】
根据题意得，2|2|x x -≤等价于()2
22|2|,0x x x -≤≥，解得
4
43
x ≤≤， 于是
()431A B ⎡⎫
=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
-，-，，故答案为C. 【点睛】
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大. 11．D 【解析】 【分析】
利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面1AEC F 的法向量，结合()10,0,3CC =，利用空间向量夹角余弦公式求出1CC 与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果. 【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()()()()10,0,0,2,4,0,2,0,0,0,4,0,2,4,1,0,4,3D B A C E C ， 设()0,0,F z ，
1AEC F 为平行四边形，
∴由1AF EC =得，()()2,0,2,0,2z -=-，2z ∴=，
()()()0,0,2,2,0,2,0,4,1F AF AE ∴∴=-=，
设n 为平面1AEC F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ， 故可设(),,1n x y =，
0410
020200x y n AE x y n AF ⎧⨯+⨯+=⎧⋅=⇒⎨
⎨-⨯+⨯+=⋅=⎩
⎩， 即410220y x +=⎧⎨-+=⎩，1
14x y =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩
，
所以11,,14n ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 又()10,0,3CC =，设1CC 与n 的夹角为α，
则
11cos 3331CC n CC n
α⋅=
=
=
⋅+
， C ∴到平面1AEC F 的距离为
1cos 3d CC α===
，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 12．A 【解析】
分析：由f （x ）的导函数形式可以看出e x ﹣kx =0在（0，+∞）无变号零点，
令g （x ）=e x ﹣kx ，g′（x ）=e x ﹣k ，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
详解：∵函数()()ln x
e f x k x x x
=+-的定义域是（0，+∞）
， ∴f′（x ）=22
(1)(1)()(1)
x x e x k x e kx x x x x ----+=
． x=1是函数f （x ）的唯一一个极值点 ∴x=1是导函数f′（x ）=0的唯一根． ∴e x ﹣kx =0在（0，+∞）无变号零点， 令g （x ）=e x ﹣kx g′（x ）=e x ﹣k
①k≤0时，g′（x ）＞0恒成立．g （x ）在（0，+∞）时单调递增的 g （x ）的最小值为g （0）=1，g （x ）=0无解 ②k ＞0时，g′（x ）=0有解为：x=lnk 0＜x ＜lnk 时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减 lnk ＜x 时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增 ∴g （x ）的最小值为g （lnk ）=k ﹣klnk
∴k ﹣klnk ＞0 ∴k ＜e ，
由y=e x 和y=ex 图象，它们切于（1，e ）， 综上所述，k ≤e ． 故答案为：A ．
点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化e x ﹣kx =0在（0，+∞）无变号零点.
二、填空题：本题共4小题 13．
3 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得
1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.
【详解】
因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上， 则1PF PQ =，
160F PQ ∠=，
1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，
又
1
212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=， 所以PQ x ⊥轴，
设2PF t =，则1122,3PF t F F t ==，
即23323223c c t c t e a a a t ⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩
，故答案为
33. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，
一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 14．22y x =-+(11)x -≤≤ 【解析】 【分析】
利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ可得普通方程。

【详解】
由题意2
(1)1x y +-=，即2
2y x =-+，又cos [1,1]x θ=∈-，∴所求普通方程为
22y x =-+(11)x -≤≤。

故答案为：2
2y x =-+(11)x -≤≤。

【点睛】
本题考查参数方程化为普通方程，应用消元法可得，但要注意变量的取值范围，否则会出错。

15．45° 【解析】 【分析】
先确定直线PA 与平面ABCD 所成的角，然后作两异面直线PA 和BE 所成的角，最后求解． 【详解】
∵四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，∴PAC ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成的角，即PAC ∠＝60°，∴PAC ∆是等边三角形，AC ＝PA ＝2，
设BD 与AC 交于点O ，连接OE ，则OE 是PAC ∆的中位线，即//OE PA ，且1
12
OE PA ==， ∴OEB ∠是异面直线PA 与BE 所成的角，
正四棱锥P －ABCD 中易证BD ⊥平面PAC ，∴BD EO ⊥，
EOB ∆中，OE OB =，∴EOB ∆是等腰直角三角形，∴OEB ∠＝45°．
∴异面直线PA 与BE 所成的角是45°． 故答案为45°．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算． 16．11 【解析】 【分析】
先利用赋值法求得1a =，再结合二项式展开式通项公式求解即可. 【详解】 解：令1x =， 得()5
2296a +⨯=，
则1a =，
故该展开式中5x 的项的系数为1
552111C C ⨯+⨯=， 故答案为：11. 【点睛】
本题考查了二项式展开式系数之和，重点考查了展开式的项系数，属基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 2
212
x y +=；8x y +=.
(2) 当()sin 1αϕ+=时，P 826
-【解析】
分析：（Ⅰ）利用三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式
cos ,x y sin ρθθ==，把极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求得椭圆上)
2cos ,sin P αα到直线
80x y +-=的距离为()2cos sin 8
3sin 8
2
2
d αααφ+-+-=
=
可得d 的最小值，以及此时的α的
值，从而求得点P 的坐标.。