广东省中考数学考点知识专题讲解与训练18---等腰三角形、等边三角形、直角三角形

广东省中考数学考点知识专题讲解与训
第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形
知识梳理
1.等腰三角形
（1）等腰三角形
（1）若题目中没明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还底角，就需要进行分类讨论；（2）在进行边的讨论是要注意任意两边之和大于第三边这个隐含条件．
（2）等边三角形
2 直角三角形
3 线段的垂直平分线与角的平分线
5年真题
命题点1 直角三角形
1．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方
形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的EF
̂与
BC相切于点
D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及EF
̂所围成的阴影部分的面积．
解：（1）AB=√22+62=2√10，AC=√62+22=2√10，BC=√42+82=4√5；
（2）由（1）得，AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，连接AD ，AD =√22+42=2√5， ∴S 阴＝S △ABC ﹣S 扇形AEF =12AB •AC −14π•AD 2＝20﹣5π．
2．（7分）（2016•广东）如图，Rt △AB C 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 交AB 于D ，以CD 为较短的直角边向△CDB 的同侧作Rt △DEC ，满足∠E ＝30°，∠DCE ＝90°，再用同样的方法作Rt △FGC ，∠FCG ＝90°，继续用同样的方法作Rt △H I C ，∠HC I ＝90°．若AC ＝a ，求C I 的长．
解：解法一：在Rt △AC B 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣30°＝60°， ∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝30°，
在Rt △AC D 中，AC ＝a ，∴AD =12a ，由勾股定理得：CD =√a 2−(12a)2=
√3a 2， 同理得：FC =
√32×√3a 2=3a 4，CH =√32×3a 4=3√3a 8，在Rt △HC I 中，∠I ＝30°， ∴H I ＝2HC =3√3a 4，由勾股定理得：C I =√(3√3a 4)2−(3√3a 8)2=9a 8
， 解法二：∠DCA ＝∠B ＝30°，在Rt △DC A 中，cos30°=CD AC ，∴CD ＝AC •cos30°=√32
a ， 在Rt △CDF 中，cos30°=CF CD ，CF =
√32×√32a =34a ，同理得：CH ＝cos30°CF =√32×34a =
3√38a ， 在Rt △HC I 中，∠H I C ＝30°，tan30°=CH CI ，C I =
3√38a ÷√33=98a ；答：C I 的长为9a 8． 3年模拟
1．（2020•东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底
边长为（A）
A．5 B．10 C．5或10 D．5或7.5
2．（2020•光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（C）
A．40°B．30°C．20°D．15°
3．（2020•龙华区二模）如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（C）
A．25°B．30°C．35°D．45°
4．（2019•福田区校级模拟）下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（C）
A．两边之和大于第三边
B．内角和等于180°
C．有两个锐角的和等于90°
D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
4．（2020•顺德区模拟）判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（D）A．8，10，7 B．2，3，4 C．12，15，20 D．√3，1，2
5．（2020•英德市一模）如图，在直角三角形AB C中，∠C＝90°，点E、F分别为AC 和AB的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（B）
A．3 B．6 C．8 D．10
6．（2020•南海区二模）如图，在△AB C中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（C）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2019•新会区一模）如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（B）
A．3√3B．4√3C．8 D．10
8．（2019•罗湖区一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sin A＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A＝1成立．如图，在△AB C中，∠A，∠B是锐角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD ⊥AB于D，DE∥AC交BC于E，设CD＝h，BE＝a'，DE＝b'，BD＝c'，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的个数是（D）
①a2+b2＝c2；②aa'+bb'＝cc'；③sin2A+sin2B＝1；④1
a2+1
b2
=1
ℎ2
．
A．1个B．2个C．3个D．4个
D【解析】∵a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确，∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴BE
BC =DE
AC
=BD
AB
，
∴a′
a =b′
b
=c′
c
，不妨设a′
a
=b′
b
=c′
c
=k，
则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'+bb'＝cc'，
∴a2k+b2k＝c2k，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故②正确，∵sin2A+sin2B＝1，sin2A+cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，
∴sin B＝cos A，
∵sin A＝cos（90°﹣A），
∴90°﹣∠B＝∠A，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确，
∵1
a2+1
b2
=1
ℎ2
，
∴ℎ2
a +ℎ2
b
=1，
∴sin2B+sin2A＝1，
∴△ABC 是直角三角形，故④正确．
故选：D ．
9．（2019•天河区模拟）如图，在△AB C 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是 54 ．
54【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．
∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，
∴∠CBE ＝60°，∵BE ＝AE ，
∴CE ＝BE ＝AE ，
∴△BCE 是等边三角形，∴BC ＝BE ，
∵∠PBQ ＝∠CBE ＝60°，
∴∠QBC ＝∠PBE ，∵QB ＝PB ，CB ＝EB ，
∴△QBC ≌△PBE （SAS ），∴QC ＝PE ，
∴当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，
在Rt △AEP 中，∵AE =52，∠A ＝30°，
∴PE =12AE =54，∴CQ 的最小值为54．
10．（2020•龙岗区模拟）如图，在△AB C 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，M 为AB
边的中点，连结ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为25
4
√3．
25√3
4
【解析】∵在△AB C中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DM=1
2
AB＝5，
∵ME=1
2
AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MD=1
2
AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
∴△EDM是边长为5的等边三角形，
∴S△EDM=√3
4×52=25√3
4
．
故答案为：25√3
4
．
11．（2020•宝安区校级一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以
OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为16．
16【解析】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1=√2OA=√2；∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1=√2，OA2=√2OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3=√2OA2＝2√2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2√2，OA4=√2OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5=√2OA4＝4√2．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4√2，OA6=√2OA5＝8．
∴OA8的长度为√28=16．故答案为：16．
12．（2019•潮州模拟）如图，在Rt△AB C中，∠A＝90°，AB＝AC＝4√2．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t ＞0）
（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是
（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=16
3
叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应
时S的最大值．
的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤16
3
解：（1）结论：PE与AB互相垂直．
理由：如图1中，设PE交AB于K．
∵△ABC，△PQE都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠EPQ＝45°，∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ＝90°，∴∠EPB＝90°，
∴∠B+∠EPB＝90°，∴∠PKB＝90°，
∴PE⊥A B．
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵Rt△AB C中，AB＝AC＝4√2
∴BC =√AB 2+AC 2=8，
∴AH ＝BH ＝CH ＝4，
依题意得BP ＝t ．PH ＝BH ﹣BP ＝4﹣t ，
∴P A =2+PH 2=√42+(4−t)2，
∵PD ⊥BC ，∠B ＝45°，
∴PD ＝BP ＝t ，PQ ＝2PD ＝2t ，∵PQ ＝AP ，
∴2t =√42+(4−t)2，
解得：t =−4+4√73
或−4−4√73（舍弃）， ∴t 的值为
−4+4√73． （3）如图3﹣1中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为△PF D ．
由题意可得△PFD 、△BPD 为等腰直角三角形，∴BP ＝PD ＝t ，
∴PF ＝DF ＝PD •cos45°=
√22t ， ∴S =12•PF •DF =t 24（0＜t ≤4）．
如图3﹣2中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为四边形PDAF ．
由题意可得△PFB 、△PDC 为等腰直角三角形，
∵BP ＝t ，PC ＝BC ﹣PB ＝8﹣t ，
∴BF ＝PF =√22
t ，DP ＝PC ＝8﹣t ， ∴S ＝S △ABC ﹣S △PFB ﹣S △PDC
=12×4√2×4√2−12×
√22t ×√22t −12•（8﹣t ）•（8﹣t ）=−34t 2+8t ﹣16（4＜t ≤163） =−34（t −163）2+163，
∵−34＜0，∴当t =163时，S 有最大值163． 如图3﹣3中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为四边形FEP D ．
∵CP ＝PD ＝8﹣t ，∴QD ＝PD ＝8﹣t ，PQ ＝16﹣2t ，由题意可得△QDF 为等腰直角三角形,
∴QF =√22（8﹣t ），QE =√22
（16﹣2t ）， ∴S ＝S △PQE ﹣S △QDF
=12×√22（16﹣2t ）•√22（16﹣2t ）−12
×√22（8﹣t ）×√22（8﹣t ） =34t 2﹣12t +48（163＜t ≤8）．。