2021-2022学年四川省成都市天府七中执诚学部八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年成都市天府七中执诚学部八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x﹣1＝x（1﹣）
3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则DE的长为（）
A．3B．4C．5D．6
4．（4分）若关于x的分式方程的解为x＝2，则m值为（）
A．2B．0C．6D．4
5．（4分）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A．平行四边形B．对角线相等的四边形
C．矩形D．对角线互相垂直的四边形
6．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）
A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
7．（4分）如图，直线y1＝mx经过P（2，1）和Q（﹣4，﹣2）两点，且与直线y2＝kx+b 交于点P，则不等式kx+b＞mx的解集为（）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣4D．x＜﹣4
8．（4分）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（）
A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝．
10．（4分）已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的5倍，则该多边形的边数是．
11．（4分）若x1，x2是方程x2﹣5x+3＝0的两个根，则＝．
12．（4分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，若BF⊥CE于点F，BF是∠DBC的角平分线，AB＝6，则OE的长为．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大
于CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD 交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（6分）（1）解一元二次方程：2x2﹣1＝x（x+3）．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
15．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积．
16．（10分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，其中AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．为用眼舒适，经市场调研小组多次试验发现，当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝55°时，人们的感受最为舒适，求此时点C到
AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin55°≈0.82，sin65°≈0.91，cos55°≈0.57，cos65≈0.42，≈1.73．）
17．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+8分别与x轴、y轴相交于点A、B，OC是∠AOB的角平分线，交直线AB于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，AH是∠BAO的角平分线，过点B作AH的垂线交AH于点D，交x轴于点E求直线BD的解析式；
（3）在x轴上寻找点F使得△ABF为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AB，点E 为线段OC的中点．
（1）求证：∠ABO＝2∠ODE；
（2）若F，G分别是OB，AD的中点．
①判断△EFG的形状并证明你的结论；
②当EF⊥EG，且AB＝2时，求平行四边形ABCD的面积．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若关于x的分式方程上有正根，则k的取值范围为．20．（4分）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程
kx2+3＝0的两根，则△ABC的周长为．
21．（4分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，且一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k的值为．
22．（4分）如图，等边△ABC中，BC＝16，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM＝2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为．
23．（4分）定义在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）的折线距离|AB|＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点P（1，0），若平面中有一动点Q，满足Q到P的折线距离为|PQ|＝2，则点Q的轨迹为以P（1，0）为中心，2为边长的正方形（如图所示），若点M（﹣2，﹣1），N（3，2）动点R满足|MR|+|NR|＝11（动点R到点M，N的折线距离之和为11）．已知动点R的轨迹与x轴、y轴均有两个公共点．
①动点R的轨迹与y轴公共点的坐标为．
②动点R的轨迹交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，R在运动过程中，△ARB
面积的最大值为．
三、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少800元，甲型电视机销售额为64000元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的2.5倍．
（1）求甲、乙两种电视机的售价；
（2）经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价y（元）与销售量x（台）的关系如图所示，乙型电视机售价y（元）与销售量x（台）的关系为y＝6000﹣50x．该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共80台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的1.5倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为260800元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将含30°的直角三角板的顶点A放于点（﹣2，4），较长的直角边AB＝3，AB所在直线与x轴所成锐角为60°．将三角板ABC 沿AB翻折，点C的对应点为点P．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上存在点Q，使得△BPQ的面积为3，求点Q的坐标；
（3）设点D（0，﹣8），点M是直线CD上的一动点，点N是直线AB上的一动点，点E是平面上的一点，四边形CMEN是否可能为菱形，且∠CNE＝120°？若存在，求出菱形CMEN的面积，若不存在，请说明理由．
26．（12分）在矩形ABCD中，＝m，点M在线段BC上，点N在线段CD上，且∠MAN ＝45°．
【基础探究】如图1，当m＝1，BM＝2，DN＝3，求MN的长；
【类比运用】如图2，当m＝2，BM＝5，DN＝3，求MN的长；
【拓展迁移】如图2，当m＝2，连接BD，与线段AM，AW相交于P，Q两点，若tan∠
ANM＝，求的值．
2021-2022学年四川成都市天府七中执诚学部八年级（下）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、右边不是积的形式，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
C、是平方差公式，x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确；
D、结果不是整式的积，错误．
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
3．【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC＝10，AD∥BC，再证∠AEB＝∠ABE，得AE＝AB＝7，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣7＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AE＝AB＝7是解题的关键．
4．【分析】根据分式方程的解为x＝2，将x＝2代入方程可以得到m的值．
【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，
∴，
解得m＝6．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，用代入法求m的值．5．【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝FG＝EF＝HG＝BD＝AC，
故AC＝BD．
故选：B．
【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．
6．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．7．【分析】从图象确定kx+b＞mx时，x的取值范围即可．
【解答】解：从图象可以看出，当x＜2时，kx+b＞mx，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确地确定出x的值，是解答本题的关键．
8．【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．【分析】根据题目中的式子先化简，再利用平方差公式可以进行因式分解．【解答】解：（p+1）（p﹣4）+3p
＝p2﹣3p﹣4+3p
＝p2﹣4
＝（p+2）（p﹣2）．
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解答本题的关键是明确因式分解的方法．10．【分析】设这个正多边的外角为x，则内角为5x，根据内角和外角互补可得x+5x＝180°，解可得x的值，再利用外角和360°除以外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的外角为x，由题意得：
x+5x＝180°，
解得：x＝30°，
360°÷30°＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
11．【分析】欲求＝的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．
【解答】解：根据题意x1+x2＝5，x1•x2＝3，
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
12．【分析】根据BF⊥CE于点F，BF是∠DBC的角平分线，证明△BEF≌△BCF，得到BE＝BC＝6，再利用正方形的性质求出OB的长，则利用OE＝BE﹣OB求出OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝6，∠ABC＝90°．
在Rt△ABC中，
AC＝＝6．
∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴BO＝BD＝AC＝3．
∵BF⊥CE于点F，
∴∠BFE＝∠BFC＝90°．
∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠EBF＝∠CBF．
在△BFE和△BFC中，
．
∴△BFE≌△BFC（ASA）．
∴BE＝BC＝6．
∴OE＝BE﹣BO＝6﹣3．
故答案为：6﹣3．
【点评】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质对角线相等且互相平分是解题的关键．
13．【分析】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平
分线，可知AE⊥DC，DE＝CE＝DC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵依题意．题中作图为作DC边垂直平分线，
∴DE＝CE＝3，AE⊥DC，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∵AB∥DC，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°
∴由勾股定理得：
BE＝＝＝3，
故答案为3．
【点评】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2x2﹣1＝x（x+3），
2x2﹣1＝x2+3x，
2x2﹣x2﹣3x﹣1＝0，
x2﹣3x﹣1＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）
＝9+4
＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
（3）由勾股定理得CA＝5，再代入扇形面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求，A2（6，﹣2）；
（3）由勾股定理得CA＝5，
∴线段CA在旋转过程中扫过的面积为＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
16．【分析】过点B作BM⊥AE，过点C作CN⊥AE，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，根据题意可得DM＝CN，∠BDC＝90°，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，再求出∠ABM的度数，从而求出∠BCD的度数，再在
Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出DM的长，即可解答．【解答】解：过点B作BM⊥AE，过点C作CN⊥AE，垂足分别为M、N，过点C作CD ⊥BM，垂足为D，
则DM＝CN，∠BDC＝90°，
在Rt△ABM中，∠BAE＝60°，AB＝16cm，
∴BM＝AB•sin60°＝16×＝8（cm），∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，
∵∠ABC＝55°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝25°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝65°，
在Rt△BCD中，BC＝8cm，
∴BD＝BC•sin65°≈0.91×8＝7.28（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝8﹣7.28≈6.6（cm），
∴CN＝DM＝6.6cm，
∴点C到AE的距离约为6.6cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．【分析】（1）过点C作CM⊥OA于点M，设点C坐标为（m，m+8），根据已知条件易证OM＝CM，列方程求解即可；
（2）先证明△BDA≌△EDA（ASA），可得AB＝AE，再求出点A和点B坐标，根据勾股定理，求出AB的长度，进一步即可确定点E坐标；
（3）设点F坐标为（n，0），△ABF为等腰三角形，分情况讨论：①AB＝AF，②AB＝BF，③AF＝BF，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥OA于点M，如图所示：
根据题意，可设点C坐标为（m，m+8），
∴OM＝﹣m，CM＝m+8，
∵∠AOB＝90°，OC是∠AOB的角平分线，∴∠COM＝45°，
∴∠OCM＝45°，
∴OM＝CM，
∴﹣m＝m+8，
解得m＝，
∴点C坐标为（，）；
（2）∵AH是∠BAO的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AH⊥BE于点D，
∴∠BDA＝∠EDA＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△BDA≌△EDA（ASA），
∴AB＝AE，
当x＝0时，y＝x+8＝8，
∴点B（0，8），OB＝8，
当y＝x+8＝0时，x＝﹣6，
∴点A（﹣6，0），
∴OA＝6，
根据勾股定理，得AB＝10，
∴OE＝4，
∴点E坐标为（4，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入点B（0，8）和E（4，0），
得，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+8；
（3）设点F坐标为（n，0），
∵A（﹣6，0），B（0，8），AB＝10，
∴AF＝，BF＝，
△ABF为等腰三角形，分情况讨论：
①AB＝AF，
∴10＝，
解得n＝﹣16或n＝4，
∴点F坐标为（﹣16，0）或（4，0）；
②AB＝BF，
∴10＝，
解得n＝6或n＝﹣6（舍去），
∴点F坐标为（6，0）；
③AF＝BF，
∴＝，
解得n＝，
∴点F坐标为（，0），
综上所述，满足条件的点F坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，角平分线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．
18．【分析】（1）由平行四边形的性质易证∠CDO＝∠ABO，再证△CDO是等腰三角形，由
等腰三角形三线合一性质得出∠ODE＝∠CDE＝∠CDO，即可得出结论；
（2）①易证DE⊥CO，由G为AD中点，得出EG＝AD，再由E、F分别是OC、OB
的中点，得出EF＝BC，由平行四边形的性质得AD＝BC，即可得出EG＝EF，则△EFG 是等腰三角形；
②先证四边形BEFG是平行四边形，得出∠EFG＝∠GDE，∠DGE＝∠FEG，再证△EFG、
△DEG、△AED都是等腰直角三角形，设DG＝GE＝x，则DE＝AE＝x，CE＝AE
＝，由勾股定理求出x＝3，得出DE＝3，AC＝4CE＝4，最后由S
平行四边形ABCD
＝2×AC•DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BD＝2DO＝2BO，
∴∠CDO＝∠ABO，
∵BD＝2AB，
∴AB＝DO＝CD，
∴△CDO是等腰三角形，
∵点E为线段OC的中点，
∴∠ODE＝∠CDE＝∠CDO＝∠ABO，
∴∠ABO＝2∠ODE；
（2）解：①△EFG的形状为等腰三角形，理由如下：
∵△CDO是等腰三角形，E是CO中点，
∴DE⊥CO，
∴∠DEA＝90°，
∵G为AD中点，
∴EG＝AD，
∵E、F分别是OC、OB的中点，
∴EF＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD＝2，AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分别是OC、OB的中点，
∴CE＝AE，EF是△OBC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴EF∥BC∥DG，
∵G是AD的中点，
∴DG＝AD＝BC，
∴EF＝DG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GDE，EF∥DG，
∴∠DGE＝∠FEG，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝∠DGE＝90°，
由①得：EG＝EF，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴∠EFG＝∠GDE＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝GE，
∵∠DEA＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴DE＝AE，
设DG＝GE＝x，
则DE＝AE＝x，CE＝AE＝，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD2＝DE2+CE2，即（2）2＝（x）2+（）2，
解得：x＝3或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴DE＝3，
∴AC＝4CE＝4×＝4××3＝4，
＝2×AC•DE＝4×3＝24．∴S
平行四边形ABCD
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，再依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：去分母得：
x﹣1＝x+2k﹣6x，
移项，合并同类项得：
6x＝2k+1，
∴x＝．
∵关于x的分式方程上有正根，分式方程有可能产生增根0和1，∴，
解得：k＞﹣且k≠．
故答案为：k＞﹣且k≠．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键．
20．【分析】由题意知方程kx2+3＝0有两个相等的实数根，据此得出k的值，再利用三角形的周长公式可得答案．
【解答】解：由题意知方程kx2+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×k×3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：，
解得：x＝2，
则三角形的三边长度为2、2、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
21．【分析】根据关于x不等式组有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集，取符合条件的整数即可．
【解答】解：解不等式组得：＜x≤2，
∵关于x的不等式有且只有四个整数解，
∴其整数解为：2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤＜﹣1，即﹣6≤k＜﹣3①，
∵一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限，
∴，
解得﹣6≤k＜﹣4②，
由①②可得﹣6≤k＜﹣4，
∴符合题意的整数k的值为﹣6，﹣5，
故答案为：﹣6，﹣5．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．【分析】由旋转的性质可得AP＝PQ，∠APQ＝60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，可得QM＝AH，即可求解．
【解答】解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，
∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴BM＝CM＝8，
∴AM＝8，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，
∴AP＝PQ，∠APQ＝60°，
∵△PMH是等边三角形，
∴PH＝PM＝2＝MH，∠MPH＝∠APQ＝60°，
∴∠APH＝∠QPM，
在△APH和△QPM中，
，
∴△APH≌△QPM（SAS），
∴QM＝AH，
∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM﹣MH＝8﹣2，
∴MQ的最小值为8﹣2，
故答案为：8﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．【分析】①设R的轨迹与y轴的交点坐标为：（0，a），可得出2+3+|y+1|+|y﹣2|＝11，进一步得出结果；
②分类讨论，求出每一段的函数关系式，画出点R的运动轨迹，进而求得结果．
【解答】解：①设R的轨迹与y轴的交点坐标为：（0，a），
由题意得，
2+3+|y+1|+|y﹣2|＝11，
解之得，
y＝3.5或y＝﹣2.5，
∴点R的轨迹与y轴的交点坐标为：（0，3.5）或（0，﹣2.5），
故答案为：（0，3.5）或（0，﹣2.5）；
②设点R（x，y），
∵|x+2|+|x﹣3|＝，|y+1|+|y﹣2|＝，
∴当x≤﹣2时，
（1）当y≤﹣1时，﹣2x+1﹣2y﹣1＝11，
∴y＝﹣x﹣，
（2）当﹣1＜y＜2时，x＝﹣3.5，
（3）当y≥2时，y＝x+5.5，
当﹣2＜x＜3时，
（4）当y≤﹣1时，y＝﹣2.5，
（5）当﹣1＜y＜2时，8（舍去），
（6）当y≥3时，y＝3.5，
当x≥3时，
（7）当y≤﹣1时，y＝x﹣5.5，
（8）当﹣1＜y＜2时，x＝45，
（9）当y≥3时，y＝﹣x+6.5，
∴|x+2|+|x﹣3|+|y+1|+|y﹣2|＝11的图象如下图：
设AB的解析式为：y＝kx+3.5，
∴4.5k+3.5＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+3.5，
当x＝﹣2时，
y＝+3.5，
∴DR＝+6＝，
由得，
，
∴CR＝，
∴S
＝CR＝＝17，
△ABR最大
故答案为：17．
【点评】本题考查了在新定义的基础上如何分类讨论，去绝对值，得出分段函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
三、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．【分析】（1）设乙种电视机的售价为x元，甲种电视机的售价为（x﹣800）元，可得
，解方程并检验可得甲种电视机的售价为3200元，乙种电视机的售价为4000元；
（2）设甲型电视机售价y（元）与销售量x（台）的关系为y＝kx+b，待定系数法可得y ＝﹣25x+3700，设第二季度甲的电视机的销售量是m台，则第二季度乙的电视机的销售量是（80﹣m）台，根据甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的1.5倍，得m≥48，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为260800元，有（﹣25m+3700）m+[6000﹣50（80﹣m）]（80﹣m）＝260800，可解得m＝48或m＝28（舍去），从而可得第二季度甲的电视机的销售量是48台，售价是2500元/台．
【解答】解：（1）设乙种电视机的售价为x元，甲种电视机的售价为（x﹣800）元，则，
解得：x＝4000，
经检验，x＝4000是方程的解，也符合题意，
∴x﹣800＝4000﹣800＝3200，
答：甲种电视机的售价为3200元，乙种电视机的售价为4000元；
（2）由（1）知，第一季度甲种电视机售价是3200元/台，销售量为＝20（台），由图象可知，当售价是3000元/台时，销售量是28台，
设甲型电视机售价y（元）与销售量x（台）的关系为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣25x+3700，
设第二季度甲的电视机的销售量是m台，则第二季度乙的电视机的销售量是（80﹣m）台，
∵甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的1.5倍，
∴m≥1.5（80﹣m），
解得m≥48，
∵商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为260800元，
∴（﹣25m+3700）m+[6000﹣50（80﹣m）]（80﹣m）＝260800，
整理化简得m2﹣76m+1344＝0，
解得m＝48或m＝28，
∵m≥48，
∴m＝28舍去，
∴m＝48，
此时y＝﹣25m+3700＝﹣25×48+3700＝2500，
答：第二季度甲的电视机的销售量是48台，售价是2500元/台．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
25．【分析】（1）设AE与x轴交于E，直线AB交x轴于F，可推出AC⊥x轴，进而求得AC＝6，进一步得出结果；
（2）设AC交x轴于H，CP交x轴于T，作Q1G⊥直线PB于G，可求得PB上的高为2，从而求得BQ＝4，进一步求得结果；
（3）可证明△CFG∽△CBN，从而，从而得出CN＝，进一步得出结果，同理得出另一种情形．
【解答】解：（1）如图1，
设AE与x轴交于E，直线AB交x轴于F，
由题意得：∠AFE＝60°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠AEF＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝30°，
设BC＝a，则AC＝2a，
∴（2a）2﹣a2＝（3）2，
∴a1＝3，a2＝﹣3（舍去），
∴AC＝2a＝6，
∵A（﹣2，4），
∴AE＝4，
∴CE＝2，
∴C（﹣2，﹣2）；
（2）如图2，
设AC交x轴于H，CP交x轴于T，
作Q1G⊥直线PB于G，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，
∵PB＝BC＝＝3，
＝3，
∵s
△BPQ
∴GQ＝3，
∴GQ1＝2，
在Rt△TGQ1中，GQ1＝2，∠GTQ1＝30°，
∴TQ1＝2GQ1＝4，
在Rt△CTH中，CH＝2，∠HTC＝30°，
∴CT＝2CH＝4，
∴HT＝＝2，
∴OT＝HT﹣OH＝2﹣2，
∴OQ1＝OT+TQ2＝2+2，
∴Q1（2，0），
当Q在PB的左侧时，Q2（2，0），
∴Q（2+2，0）或（2﹣6，0）；
（3）如图3，
设CD交x轴于G，AC交x轴于F，连接MN，∵四边形CNEM是菱形，
∴CN＝CM，EN∥CM，
∵∠CNE＝120°，
∴∠NCM＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
∵C（﹣2，﹣2），D（0，﹣8），
∴直线CD的解析式为y＝﹣3x﹣8，
∴G（﹣，0），
∴FG＝OG﹣OF＝﹣2＝，
∴CG＝＝＝，∵四边形CNEM是菱形，∠CNE＝120°，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠MCN＝∠ACB，
∴∠CFG＝∠CBN，
∵∠CFG＝∠CBN，
∴△CFG∽△CBN，
∴，
∴，
∴CN＝，
∴＝，
∴菱形CNEM的面积为5，
如图4，
设HN′＝a，则AH＝a，则CH＝6﹣a，
在Rt△CHN′中，
（6﹣）2+a2＝（）2，
∴a1＝a2＝（舍去），
∴CH＝6﹣＝，
∴菱形ANEM的面积为5×（）2＝60﹣90，
综上所述：菱形的面积为5或60．
【点评】本题主要考查了30°的直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用好30°的直角三角形．
26．【分析】（1）当m＝1时，矩形ABCD是正方形，将△AND绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△AME，从而得BM+DN＝MN；
（2）作正方形AEFD，延长AM交EF于G，作NK⊥AG于K，将△AEG绕点A逆时针旋转90°至△ADH，正方形得边长EF＝DF＝x，在Rt△NGF中，求得x＝15，从而求得
AH＝＝5，根据△ADH∽△NKE求得KN，KG，进一步可求得结果；
（3）作ME⊥AN于E，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△AHG，延长AG交CD的
延长线于F，作FR⊥AN于R，设EM＝3a，EN＝5a，可求得AN＝AE+EN＝8a，AM＝
＝3，在Rt△FRN中，求得tan∠DAN＝tan∠RFN＝，不妨设AB＝3，则AD＝6，依次求得DN，AN，AE，AM，BM，根据AB∥CD，AD∥BC，进而求得PQ ＝，从而求得结果．
【解答】【实践探究】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，
，
∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM＝2+3＝5；
（2）如图2，
作正方形AEFD，延长AM交EF于G，作NK⊥AG于K，将△AEG绕点A逆时针旋转90°至△ADH，
可得：EG＝2BM＝10，
由（1）得：NG＝EG+DN＝13，∠AGN＝∠H，
设正方形得边长EF＝DF＝x（x＞0），
在Rt△NGF中，FG＝x﹣10，NF＝x﹣3，
∴（x﹣10）2+（x﹣3）2＝132，
∴x＝15，
∴AH＝＝5，
∵∠GKN＝∠ADH＝90°，
∴△ADH∽△NKE，
∴，
∴，
∴KN＝3，KG＝2，
∵MG＝＝＝＝，
∴MK＝MG﹣KG＝，
∴MN＝＝＝；
【拓展迁移】如图3，
作ME⊥AN于E，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△AHG，延长AG交CD的延长线于F，作FR⊥AN于R，
∴∠FAD＝∠BAM，
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠FAD+∠DAN＝45°，
∴∠AFR＝90°﹣∠FAN＝45°，
∴∠FAR＝∠FAN，
∴AR＝FR＝，
∵tan∠ANM＝＝，
∴设EM＝3a，EN＝5a，
∵∠MAN＝45°，
∴∠AME＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴AE＝ME＝3a，
∴AN＝AE+EN＝8a，AM＝＝3，
∵m＝2，
∴＝，
∴AF＝2AG＝2AM＝6a，
∴AR＝FR＝＝6a，
∴RN＝AN﹣AR＝8a﹣6a＝2a，
∴tan∠DAN＝tan∠RFN＝，
不妨设AB＝3，则AD＝6，
∴DN＝AD•tan∠DAN＝6×＝2，
∴AN＝＝＝2，
∴AE＝＝，
∴AM＝＝，
∴BM＝＝，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴，，
∴DQ＝，BP＝BD，
∴PQ＝，
∵BD＝＝3，
∴PQ＝，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解直角三角形，旋转的性质等知识，本题综合性强，解决问题的关键是作旋转的辅助线及较强的计算能力。