四川省成都市彭州天彭中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析

四川省成都市彭州天彭中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则A∩B=（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
由题意得：，
∴
故选：D
2. “”是“存在”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件.
C.充分条件.
D.既不充分也不必要条件.
参考答案：
D
3. 在△ABC中，,则△ABC一定是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
参考答案：
B 4. 某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
参考答案：
B
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义即可得到结论．
解答：解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，
按分层抽样方法，在2015届高三年级应该抽取人
数为人，
故选：B．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础．
5. 设全集C U A）∩B= （）
A．{0} B．{－2，－1} C．{1，2} D．{0，1，2}
参考答案：
C
略
6. “”是“”的
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为
，则下列不等式成立的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
参考答案：
C
8. 已知函数f （x ）＝若
，则实数 .
参考答案： 2
9. 抛物线的焦点到双曲线
的渐近线的距离是 A ． 1 B ．2 C ．
D ．2
参考答案：
A
10. （多选题）已知是两个不重合的平面，
是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
（ ） A. 若，则
B . 若，则
C. 若
，则
D. 若
，则
与
所成的角和与
所成的角相等
参考答案：
BCD 【分析】
根据线、面的位置关系，逐一进行判断. 【详解】选项A ：若，则
或
，
又
，并不能得到
这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若，则由线面垂直性质定理和线面平行的
性质定理可得
，故选项B 正确；
选项C ：若，则有面面平行的性质定理可知，
故选项C 正确；
选项D ：若，则由线面角的定义和等角定理知，与
所成的角和与所成的角相等，故选项D 正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，其中
，是虚数单位，复数
．
参考答案：
12. 已知函数
．在区间
上随机取一
，则使得
的概率为 ．
参考答案：
13. 在
中，
，
，
，则的值等于 ．
参考答案：
试题分析：根据题意可知，
，由
，所以
，解得
.
考点：向量的减法，向量的数量积，向量垂直的条件.
14. 在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC,M 是AB 的
中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。

参考答案： 答案：
解析：在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，设，则，，O点在底面的射影为底面
△ABC的中心，=，又，与平面所成角的正切是，所以二面角大小是.
15. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .
参考答案：
答案：
16. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，
是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且
“拐点”就是对称中心。

给定函数，请你根据上面探究结果，计算
= ______ 。

参考答案：
2012
略
17. 如图，已知中，弦,为直径. 过点作的切线，交的延长线于点
，
.则____ . 参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72
分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若，求a，b的值.
参考答案：
（1）函数的最小正周期为.（2），
【分析】
（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;
（2）由可得C范围,可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.
【详解】（1）
.
所以函数的最小正周期为.
（2）由，得，
因为，
所以，
所以，，
又，由正弦定理得. ①
由余弦定理，得，
即. ②
由①②解得，.
【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键
19. 已知函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值．
参考答案：
考点：余弦定理；三角函数的最值．
专题：解三角形．
分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值．
（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据△ABC的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值．解答：解：（1）函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x﹣1）sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，
故函数的最大值为+=．
（2）由题意可得f（A）==sin（2A+）+，∴sin（2A+）=．
再根据2A+∈（，），可得2A+=，A=．
根据△ABC的面积为bc?sinA=，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．
利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA=13∴a=．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．20. 设，函数.
（1）若，求函数的极值与单调区间；
（2）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；
（3）若函数的图象与直线有三个公共点，求的取值范围.
参考答案：
略
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
参考答案：
（1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得. ………1分
由题意得，
. ………4分故椭圆的方程为. ………6分（2）解：当轴时，显然. ………7分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由消去整理得.
………9分
设，线段的中点为，
则. ………10分
所以，.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得. ………12分当时，；当时，.
所以，或. ………13分
综上，的取值范围是. ………14分
略
22. 已知函数f（x）=2sin（x+）?cosx．
（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；
（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A﹣B）的值．【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）?cosx
=（sinx+cosx）?cosx
=sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x+
=sin（2x+）+；…
由得，，
∴，…
∴，即函数f（x）的值域为；…
（2）由，
得，
又由，∴，
∴，解得；…
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，
解得；…
由正弦定理，得，…∵b＜a，∴B＜A，∴，
∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB
=．…。