有理数及其运算教案设计

1、温习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识；
2、培养学生综合运用知识解决题目的能力；
3、渗透数形结合的思想
教学重点和难点
重点：有理数概念和有理数运算
难点：负数和有理数法则的理解
第二章 有理数及其运算
1. 数怎么不够用了 知识点：
大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一
个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，2
1
8，5.2也可写作+3，
+2
1
8，+5.2；零既不是正数，也不是负数。

一：填空题
1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。

2、绝对值小于3的整数有 个。

3、1
19
-的相反数的倒数是 。

4、计算：20022(1)(2)0-⨯-⨯= 。

5、如果216a =，那么 a= 。

6、如果规定上升8米记作8米，那么－7米表示 ______________。

7、最小的正整数是____，最大的负整数是_____，绝对值最小的有理数是_______ 8、 河道中的水位比正常水位低0.2m 记作-0.2m ，那么比正常水位高0.1m 记作________。

9、一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m 处,鲨鱼所在的深度是________。

二：回答下面的问题：
1）将[少2千克]，用[多]表示出来； 2）不用负数表示[减少-7]。

2. 数轴
知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴
的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；
数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数 【巩固练习】 A. 填空题
B. 数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。

C. 数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是________个单位，这两个点的位置分别在________点右边和左边。

D. 在有理数中最大的负整数是________, 最小的正整数是________, 最大的非正数是________, 最小的非负数是________, 最大的非负数是________.
E. 用“＞”或“＜”号填空：
1）3.5 ____ 0 ; 2) ﹣2.8 ____ 0 ; 3) ﹣1.95 ____ 1.59 ; 4)
7
5
____ 7
6
- ; 5) 31- ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ 3
2- ; 7) 2120- ____ 2019
- ;
8) ﹣π ____ ﹣3.14 ; 9) ﹣1.6 ____ ﹣1.6 ; 10) ﹣(3
1
-) ____ ﹣(﹣∣
3
1
-∣) . 3. 相反数
知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。

【巩固练习】 一、 填空题
1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.
2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.
3. 若
1=b a , 则a 与b________; 若1-=b
a
, 则a 与b________; 若a+b=0, 则a 与b________.
4. 在数轴上与－3距离4个单位的点表示的数是
5.写出大于-4且小于3的所有整数为______________; 二、 求下列各数的相反数 0.26 ；5
2
- ；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a －b 。

三、 在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小。

213-，4，﹣1.5，212，0，1，8，﹣2，﹣（﹣4.5）
，∣4
1
-∣，﹣∣﹣3∣。

4. 绝对值
知识点： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。

【巩固练习】 5．选择题
1. ﹣∣﹣3∣是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或0
2. 绝对值最小的整数是 （ ） A. 0 B. 1 C. –1 D. 1和-1 6．填空题
7．若a ＝21
3-, 则∣a ∣＝________; 若∣a ∣＝3, 则a ＝________.
8．﹣∣﹣324∣＝______; ∣﹣413∣－∣﹣321∣＝______; ∣﹣0.77∣÷∣+4
3
2∣＝
_______;
9．绝对值小于4的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个 10．解答题
11．已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y ∣的值。

12．已知 A ，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示3.5，求A ，B 两点间的距离。

13．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图4-1，化简：∣a ＋c ∣－∣a ∣＋∣﹣b ∣＋∣b －1∣。

图4-1
14．已知：∣a ＋2∣＋∣b －3∣=0，求2a 2－b ＋1的值。

5.有理数的加法
知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。

加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c ）
多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。

6. 有理数的减法
知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）。

注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个数的相反数。

7. 有理数的加减混合运算
知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。

【巩固练习】
计算：1） ﹣31－21＋65－（4
3 ）； 2） 1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100；
3） ﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）； 4）)4
3
4000()321999()652000(-+---。

5）∣x ∣=8，∣y ∣=6，求x ＋y 的值；若∣x ∣=3，∣y ∣=5，且∣x －y ∣=y －x ，再求x ＋y 的值；
6）某中学男生进行引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的用负数表示，其中8名男生的成绩如表，①这8名男生有百分之几达到标准？②他们共做了几个引体向上？
8. 有理数的乘法
知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和0相乘都得0。

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a （bc ） 乘法分配律：a （b+c ）=ab+bc
9. 有理数的除法
知识点：除法法则1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即a ÷b=b a =a ·b
1
（b ≠0即0不能做除数）。

除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。

倒数：乘积是1的两数互为倒数，即a ·a
1
=1（a ≠0），0没有倒数。

注意：倒数与相反数的区别 【巩固练习】
计算：1）（215-）×313； 2） 512-×1132÷（2
1
2-）；
3）（12787431+-）÷)241(-； 4）)241(-÷（12
787431+-） ；
5）252449×（－5）； 6）)7
229(-÷（－5）；
7）当a=213-；b= -1；c=311时，求代数式b
a abc
-3的值。

10. 有理数的乘方
知识点：乘方：求n 个相同因数的积的运算。

乘方的结果叫幂，a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都为0。

【巩固练习】
1.计算：（-5）3
； -53
；2)4
3(-；432-；（-1）2001； )21
1(-3。

2. 若∣x ＋1∣＋（2x －y ＋4）2= 0 ，求代数式x 5y ＋xy 5的值。

3. 已知∣x 1－1∣ ＋ （x 2－2）2 ＋ ∣x 3－3∣3 ＋（x 4－2）4 ＋ … ＋ ∣x 1999－1999∣1999 ＋ （x 2000－2000）2000＝0，求2000
19994332211111x x x x x x x x +⋯+++的值。

11. 有理数的混合运算
知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行。

技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。

【巩固练习】
1.–32－∣（-5）3∣×2)52(--18÷∣-（-3）2∣；
2. -3－3)211(×92－6÷∣3
2
-∣3；
3. （-1）5×[324÷（-4）＋)411(-×（-0.4）]÷)3
1
(-；
4. 若x= -1，y= -2，z= 1时，求()()22
2
)(x z z y y x -+-+-的值。

5. 已知a 的相反数是321，b 的倒数是212-，求代数式b
a b
a 232
+-+的值。

6. 已知n 是正整数，a －2b= -1，求()()
()
()
1
21
21
2222252223+-----+-+-n n n n
b a b a a b b a 的值。

（5）322)8.0()32(3÷-⨯- （6）()⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯-654360
（7）⎪⎭⎫
⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷5637310 （8）⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-232232
二、18.0)3
5
()5(124-+-⨯-÷-
（10）如果()()013212
2
=-+-++c b a ，求333c a abc -+的值．。