九年级数学一元二次方程的根的判别式及根与系数关系,分式方程首知识精讲 试题

初三数学一元二次方程的根的判别式及根与系数关系，分式方程首
师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
1. 一元二次方程的根的判别式及根与系数关系，分式方程
一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的根的判别式——Δ＝b 2
－4ac ，b 2
－4ac 的符号决定1方程的实根的存在性。

b a
c 240->⇔方程有两个不相等的实数根； b ac 240-=⇔方程有两个相等的实数根； b ac 240-<⇔方程没有实数根。

判别式可用于判断一元二次方程的根的情况，还可以利用它进展有关的计算、推理和证明。

如果一元二次方程的两个根是、，那么，ax bx c a x x x x b a
2121200++=≠+=-
() x x c
a
12=。

它提醒了一元二次方程的根与系数之间的内在联络，在讨论一元二次方程的根的情况，解决计算和证明有关两数和、两数积的有关问题时，常常要用到它，在高中代数、三角、解析几何中，它也有广泛的应用。

二. 重点、难点：
重点：重点是纯熟掌握一元二次方程根的判别式，会用判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数关系也是重点。

难点：讨论一元二次方程根的情况，解决计算和证明有关两数和，两数积的有关问题是难点，分式方程的换元法既是重点也是难点。

【例题分析】
例1. 已知为非负整数，且关于的一元二次方程有两个实数根，m x m x x x ()-=--1122求m 的值，并求出这时方程的根。

分析：首先要把关于x 的二次方程整理成一般形式，使二次项系数不等于零，由方程有两个实数根，得出判别式大于或者等于零，可解出m 的取值范围，最后由m 是非负整数来确定m 的值。

解：整理原方程，得
()()()()m x m x m ---++=1211012
方程有两个实数根()1
∴-≠=-----+≥m m m m 102141102且∆[()]()() 解出m m ≠≤
⎧⎨⎪
⎩
⎪154
m 为非负整数 ∴=m 0
当时，原方程为m x x =--=0102
解这个方程，得，x x 1215215
2
=
+=
- ∴==
+=
-m x x 015215
2
12，这时，
例2. 已知关于的一元二次方程中的为不小于的整x x m x m m m 2222430=+-+-()()数，并且它的两个实数根符号相反，求m 的值，并解方程。

解：整理原方程，得
x m x m m 2222430-+++-=()()
方程两实数根符号相反 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴=-+-+->∆[()]()22443022m m m 解出m <2
又为不小于的整数 m 0 ∴==m m 01或
当时，方程为m x x =--=02302 解出，，符合题意x x 1231==- 当时，方程为m x x =-+=14202 此时两根，x x 1220=> ∴x x 12，同号，不符合题意，舍去 ∴===-m x x 03112，，
例3. 已知，是关于的二次方程的两个根，，是x x x x px q x x 12212011++=++ x qx p p q 20++=的两个根，求常数、的值。

分析：由题目给出的条件，我们可以利用根与系数的关系，组成含有x 1、x 2、p 、q 的四元方程组，通过消去x 1、x 2转化为关于p 、q 的二元方程组求解。

解：据题意，得
x x p
x x q
x x q x x p 1212121
212113114+=-=+++=-+++=⎧⎨⎪
⎪⎩⎪⎪()()()()()()()()
把代入，得()()()1325p q -=
把、代入，得()()()()12421
6p q -=
由、得()()561
3p q =-=-⎧⎨⎩
当，时，方程和均有实数根p q x px q x qx p =-=-++=++=130022 ∴=-=-p q 13，
例4.
已知：方程有两个实根且它们的平方和比它们的乘积大x m x m 222240+-++=()
21，求m 的值。

〔87年中考题〕 解：首先强调∆≥0 设方程的两根为x 1、x 2
∴+-=x x x x 12
221221
x x m x x m 12122224+=--=+()，
又x x x x x x x x 122212122123+-=+-()
∴-+-+=[()]()22342122m m 解出，m m 12171==-
当时，原方程无实根，时，，舍去m m ==<∴17170∆ 当时，原方程为有实数根m x x =--+=16502 ∴=-m 1
例5. a 、b 、c 是ΔABC 的三条边长，试证明关于x 的一元二次方程c 2x 2＋〔b 2＋c 2－a 2
〕x ＋b 2
＝0没有实数根。

分析：要证明一元二次方程没有实数根，只需证明判别式小于零。

证明：∆=+--()b c a c b 2222224
=+-++--()()b c a bc b c a bc 22222222 =+---[()][()]b c a b c a 2222
=+++--+--()()()()b c a b c a b c a b c a
a b c C 、、是三边长∆AB
∴++>+>+><+a b c b c a a b c b c a 0，，， ∴+->+->--<b c a a b c b c a 000，， ∴<∆0
∴原方程没有实数根
说明：利用判别式证明一元二次方程有无实数根的问题的一般解题步骤是： （）计算；142∆=-b ac
（）对进行恒等变形，使之符号明朗化，常用的变形手段有因式分解、配242b ac - 方等；
（）说明的符号性质；342∆=-b ac （）得出问题的结论。

4
例6. 已知、是的两个实数根，求的值。

（用、x x ax bx c a ax bx c a 12212
200++=≠-+() b 、c 的代数式表示〕
解法1： x x ax bx c 1220、是的两个实数根++=
∴++=+=-
ax bx c x x b
a
12
1120， 又ax bx c 1
2
2-+ =++--ax bx c bx bx 1
2
112 =++-+()()ax bx c b x x 1
2
112 =--b b
a ()
=b a
2
解法2： x x ax bx c 1220、是的两个实数根++=
∴+=-
=≠x x b a x x c
a
a 12120，， 又ax bx c 12
2-+
=-
+a x b a x c
a
()122 =+++a x x x x x x [()]1
2
12212 =+a x x ()122
=-a b
a ()2
=b a
2
说明：此题还有其它一些解法，不管用什么方法，均需运用根与系数的关系，通过对
ax bx c 122-+进行恒等变形求解。

例7. 解方程x x x x 2211331
20+---++=
解：此题用换元法。

设
，则x x y x x x x y
222113313113
+-=-+=-+=() 于是原方程变形为y y
-+=3
20 y y 2230+-= ()()y y +-=310 ∴=-=y y 1231，
当时，y x x =-+-=-31
1
32
去分母，整理得x x 2320+-=
x =
-±317
2
当时，y x x =+-=11
1
12
去分母，整理得x x 220-+= ∆=-⨯<1420 ∴-+=x x 220无实根 经检验：是原方程的解x =
-±317
2
说明：解分式方程时，一定要注意观察题目构造，能用换元法求解时，一定首选换元法，会使解题简捷，解分式方程要注意检验。

【模拟试题】
模拟试题一
一. 选择题：
1. 二次方程x ax a 221++=的根的情况为〔 〕 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
2. 方程x x k 2460-+=的两根的平方差等于8，那么k =〔 〕 A.
1
2
B. -
12 C. 13
D. -13
3. 以x x 2310--=的两个根的平方为根的一元二次方程是〔 〕 A. y y 21110++= B. y y 21110-+= C. y y 21110--=
D. y y 2110+-=
4. 假如a b c ++=0且a ≠0，那么二次方程ax bx c 20++=的根是〔 〕 A. 1和-
c a
B. -1和-
c a C. 1和c
a
D. -+1和
a b
a
5. 一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的系数满足()b
ac 22=，那么方程的两根之比为
〔 〕 A. 0:1
B. 1:2
C. 1:3
D. 1:1
6. 假设x x 12、是关于x 的方程12163022x ax a --=的两个根，且x x a 120>>，，那么
x x 12-的值是〔 〕
A. 5
3a
B. 4
3a
C. 9
7a
D.73
a 7. 假设关于x 的方程x mx 210++=与x x m 20--=有一个一样的实数根，那么m 的值是〔 〕 A. 2
B. 0
C. -1
D.
1
4
8. 假设方程ax bx c a 200++=≠()的一个根是另一个根的2倍，那么a 、b 、c 的关系是〔 〕
A. b ac 28=
B. 432b ac =
C. 292b ac =
D. 352b ac =
9. 方程x bx b 2220-+=的两根之积为4272b -，那么此方程两根之和为〔 〕 A. ±6 B. 3或者6
C. 9
D. ±3
二. 填空题：
1. 关于x 的一元二次方程()k x x +-+=12302有两个不相等的实数根，那么k ＝_______。

2. 假如m <-1，那么关于x 的方程x m x m 221410-+++=()的根的情况是________。

3. 关于x 的方程()()()a x a x a a +--+-=≠-1212012的根的情况是__________。

4. 假设方程2402x mx +-=的一个根为2，那么另一个根是_________，m ＝________。

5. 关于x 的方程x x k 250++=的两根之差是3，那么k =_______。

6. x x 12、是方程28102x x -+=的两个根，那么
x x x x 1
2
2
1
+的值等于_______。

7. 方程x mx n 2230-+=的一个根是另一个根的1
3，方程x nx m 230++=的一个根是另
一个根的2倍，且mn ≠0，那么m =________，n =________。

8. x x 12，是方程2802x x n -+=的两个根，且x x x x 12
12225++=，那么n 的最大整数
值是________。

三. 解答题：
1. 斜边为10的直角三角形的两条直角边a ，b 是x 2
－mx ＋3m ＋6＝0的两个根，求m 的值。

2. 方程x k x k 222120+++-=()的两个实数根的平方和为11，求k 的值。

3. 设αβ、是方程x x 21020++=的两个根，求
α
ββα
+的值。

4. x x 12，是关于x 的方程4356022x m x m ---=()的两个实数根，且||x x 123
2
=，求m 的值。

5. k 为何整数时，关于x 的一元二次方程kx x 2440-+=和x kx k k 2244450-+--=的根都是整数。

6. 菱形的周长是10，两条对角线的长是方程x m x m 221410--+-=()()的两根，求m 的值。

模拟试题二
一. 选择题：
1. 当m >4时，关于x 的方程()()m x m x m --++=52202的实数根的个数为〔 〕 A. 2个
B. 1个
C. 0个
D. 不确定
2. 关于x 的方程x k x k k 2231247
40--+-+=()()的根的情况是〔 〕
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 不能确定
3. 假如一个一元二次方程的两根和为-3
2
，两根积是2，那么这个一元二次方程是〔 〕 A. 34402x x --= B. 34402x x +-= C. 32602x x ++=
D. 36202x x --=
4. 方程x kx k 2210+-+=的一根x 13=-，那么另一根x 2及k 的值是〔 〕 A. x k 212==，
B. x k 285==-，
C. x k 212==，或者x k 285==-，
D. 都不对
5. 关于x 的方程x m x m 22410+-++=()的两个根互为相反数，那么m 的值是〔 〕 A. -1
B. ±2
C. 2
D. -2
6. 关于x 的方程ax bx c 20++=的两根互为倒数，那么〔 〕 A. a b =
B. b c =
C. a c =
D. 以上都不对
7. 方程x x p 230++=的两根平方和为7，那么p 的值是〔 〕 A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
8. 在以下方程中一个根为正数，一个根为负数，且正数的绝对值较大的方程是〔 〕 A. 23302x x +-=
B. -+-=25102x x
C. 42532x x x -=-
D. 3542x x -=
9. 多项式2212
22x xy y --分解因式的结果为〔 〕 A. ()()x y x y -++-122122
B. ()()x y x y -+--122122
C. 2122122
()()x y x y -+-- D. 2122122()()x y x y +
++- 10. 以下二次三项式在实数范围内不能分解因式的是〔 〕
A. 6152x x +-
B. 3732y y ++
C. m mn n 2224-+
D. 24522x xy y -+
二. 填空题：
11. 方程3802x x m -+=的两根之比为3:1，那么m =________
12. 设αβ、是方程x x 2530++=的两根，求αββα
+的值是________ 13. 设方程x mx 220--=的两根为x x 12、，假设||x x 124-=，那么m ＝_________
14. 两数之和为-3，两数之积为-4，那么此二数是__________。

15. 在实数范围内分解因式23622x xy y --=__________
三. 用适当方法解方程： 16. x x x x 22
22210+-++=() 17. x x x x +--+-=223104
02
四. 关于x 的方程x k x k 222360+-++=()两根之积是两根和的2倍，求k 的值。

五. 关于x 的方程x m x m 22220+-+=()有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m 的值。

【疑难解答】
A. 老师自己设计问题：
问题1：第三大解答题第1小题的解题思路是什么？
问题2：第三大解答题第5小题应采用什么方法？
B. 对问题的解答：
问题1：提示：利用根与系数关系及勾股定理得到
a b m ab m a b +==++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪3610
222
解出，m m ==-148
当时，，不符合题意，舍去m a b =-+<80
当时，两根为，符合题意m x x ===148612
∴=1m 4
问题2：提示：由题意∆∆1222161644445=-=----k k k k ，()()
方程有实数根
∴=-≥≤∆1161601k k ，解得
∆222444450=----≥()()k k k 解得k ≥-54
k k 为整数，又-
≤≤541
∴=-
，，
k101
2
1440
k kx x
当时，方程的解不是整数，不合题意，舍去；
=--+=
22
044450
当时，方程的根不是整数，舍去；
=-+--=
k x kx k k
k=1
当时，符合题意
k1
∴=
试题答案
模拟试题一
一. 选择题：
1. A
2. A
3. B
4. C
5. D
6. A
7. A
8. C
9. A 二. 填空题： 1. <-23
且k ≠-1 2. 有两个不相等的实数根
3. 有两个不相等的实数根
4. --12，
5. 4
6. 42
7. 6 9
8. 无解
提示：2802x x n -+= ∆=-⨯⨯=-≥≤+-=-=-===≤∴64426480
8
42
5162
5112
228122122n n n x x x x n n n n n ()，与矛盾此题无解
三. 解答题：
1. m =14
2. k =1
3. 5
4. m m ==15或
5. k k k ===-101（，舍去）
6. m m ==-41（舍去）
模拟试题二
一. 选择题：
1. D
2. C
3. C
4. C
5. D
6. C
7. C
8. D
9. C
10. D 二. 填空题：
11. 4 12. 53
3 13. ±22 14. -4和1 15. 2357
4357
4()()x x -+--
三. 解分式方程：
16. 经检验x x 1221==-，均为原方程的解。

17. 经检验x 13=-是原方程的解，x =2是增根，舍去。

四. k =-4，注意由∆≥0得出k k ≤-∴=5
40，舍去
五. 由∆≥0得出m ≤1
由x x x x 12221233+-=得m m ==-171，
m =17时，∆<0
∴=m 17舍去，∴=-m 1
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

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