空间向量第一课时PPT课件

求证：MN//平面CDE
3 F
3 E
N
A
D
B
M
C
45
课堂互动讲练
考点突破 考点一 空间向量的基本概念 只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向 量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点 和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要 条件．
46
例1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点 也相同； ②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b； ③在正方体 ABCD·A1B1C1D1中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m ＝p.
第3章 空间向量与立体几何
1
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总体概述
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2
本章概述
1.向量是近代数学中重要和基本的数学概
念．它是沟通代数、几何与三角函数的一
种工具，有着极其丰富的实际背景．
2.空间向量的引入，为解决三维空间中图
15
加法交换律： a + b = b + a 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)
16Leabharlann abca
b
c
17
⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向 被减向量终点
18
（3）向量的数乘运算 a，其模长是a 的| | 倍
当 0时， a 与 a 同向
当 0时， a 与 a 反向
（其中 xyz1）的四点P、A、B、
C是否共面？
42
例3 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，
在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
OEOFOGOHk
O
OA OB OC OD
求证：
⑴四点E、F、G、H共面； D
C
A
B
⑵平面EG//平面AC
H E
G F 43
47
其中不正确的命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】
两向量相 等的条件
相—定— 等义→的
分别判断上述几种说法
结—合——选→项 结果
48
【解析】 当两向量的起点相同，终点也相同时， 这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定 有起点相同，终点相同，故①错； 根据向量相等的定义——不仅模相等，而且方向 相同，故②错； 根据正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1的 方向相同，模也相等，应有A→C＝A→1C1，故③正确； 命题④显然正确．
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
（2）共线向量定理:对空间任意两个 向量a,b(bo)a ,//b的充要条件是存在实 数λ使 ab
38
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
知非零向量 的a直线,那么对任一点O,点P
在直线 上的l 充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+t ，其a中向量a叫做直线的方
⑵ABADAA'
AC AA'
ACCC'
AC '
A
D1 A1
D
C1 B1
C B
22
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量 ⑶ABAD1CC'
2
解：⑶设M是线段CC1的中点，则
ABAD1CC' 2
AC CM
AM
D1 A1
C1
B1 M
8
⒈定义：空间中既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
在空间，同向且等长的有向线段表
示同一向B 量或相等向D量．
A
C
9
.几类特殊向量
• (1)零向量： 长度为0 记为0.
D1
AB 1 B1C 1 C 1C
A1
C1 B1
AC
x 1.
D
C
A
B
27
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(2) 2A1D B1D xA1C
解：(2) 2AD 1BD 1
AD 1AD 1BD 1
D1
A1 D (B1 CB1 D )
A1
AD1 D1C1
向向量.
P
a
由此可见，利用向量之间的
关系判断空间任意三点共线
与利用平面向量判断平面内
的三点共线是一致的
O
B A
39
共面向量：平行于同一平面的两个向量叫做共面
向量。空间任意两个向量总是共面的。
4.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a 共, b面的充要
条件是存在实数对x, y使 Pxayb
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
25
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为60度, 它们的合力的大小
为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
7
在必修4中，我们已经学习了平面向量，你还 知道下列几个问题是怎么定义的吗？ • (1)什么叫向量？ • (2)向量的表示方法有哪些？ • (3)什么是向量的长度(或模)? • (4)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等 向量？ • 那么，在空间中，上述问题又是如何定义的呢？
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
加法结合律
(ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
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例1 已知平行六A面 BC体 DA'B'C'D'，化简下
36
把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限 个向量的和向量． 2．平行四边形法则一般用来进行向量的加法运 算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向 量恰为两邻边表示向量的和与差．
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3、共线向量:
（1）共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
(2) 2AD1 BD1 xAC1
D1
(3) ACAB1 AD1 xAC1A1
C1 B1
D A
C
B
26
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
31
练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(AB BC CC ')
A
(2)AEAA' xAByAD B
E
D
C
A B
D
C
33
练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.
列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向量
⑴AB BC；
D1
⑵ABADAA'；
A1
⑶ABAD1CC' 2
⑷1(ABADAA')． D 3
A
C1 B1
C B
21
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑴AB BC；
⑵ABADAA'；
解：⑴AB BC AC
2AC1
x2.
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【点评】 化简向量表达式主要是利用平行四边 形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减法时 可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法 则进行运算，加、减法之间可相互转化．
30
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD)
④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是( )
11
• A．1 • C．3
B．2 D．4
依据空间向量基本概念进行判断．
12
• 答案： C • [题后感悟] (1)熟练掌握好空间向量的概念，
零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含 义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决 问题的关键； • (2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两 个主要元素；大小和方向，两者缺一不可，相 互制约．
C
b
A aB
p
P
A
O
40
推论:空间一点P位于平面ABC内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
A PxA ByA C
或对空间任一点O,有 O P O A x A B y A C
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探究： 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式
O P x O A y O B z O C
λ a (λ>0) a
λ a (λ<0)
空间向量的数乘分配律和结合律
分配律： (ab)ab
结合律： (a)()a
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空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
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⒉空间向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则
a
三角形法则
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推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
形的位置关系与度量问题提供了一个十分
有效的工具，为处理立体几何问题提供了
新的视角．特别是空间的平行、垂直、距
离、角度等问题，用空间向量处理十分简
捷．
3
学法指导 1. 学 习 中 可 以 类 比 平 面 向 量 的 方 法 和 结 论． 2.通过建立适当的空间直角坐标系，把立 体几何的平行、垂直、空间角、距离等问 题转化为“点”及“线”的坐标运算问题， 即把一个几何问题转化为向量问题，把证 明问题转化为运算问题．在空间几何体中 选取基向量，利用向量的运算进行证明， 4
1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC， BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下 列各表达式，并标出化简结果的向量.
（1） ABBCCD
（2）AB1(BDBC) 2
（3）AF1(ABAC)
2
44
4．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF
所在在 对平角面线互BD相,A垂E直上，，点且MB,NM 分别1BD ,AN1AE
C1 B1
AC1
x1.
D A
C
28
B
例2：已知平行六面体
D1
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
A1
C1 B1
⑶ AC A1B A1D xA1C D
C
解：(3) ACA1BAD 1 A
B
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
2(AD AB A1A )
(1)AC ' x(AB BC CC ') A
B
E
D
C
A B
D
C
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练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.
(2)AEAA' xAByAD
A B
E
D
C
A B
D
C
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方法感悟
1．利用三角形法则进行加法运算时，注意“首 尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点 指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意 “共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点． 三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中,
D
C
A
B
23
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑷1(ABADAA')． 3
解：⑷设G是线段AC1靠近点A的
三等分点，则
D1
C1
1(ABADAA') A1 3
B1 M
1 AC ' 3
AG
G.
D A
C B
24
D1 A1
C1 B1
a
D
• (2)单位向量：模为1 量．
的向量叫做零向量， 的向量称为单位向
• (3)相反向量：与向量a长度 相等 而方向 相反向量， 称为a的相反向量，记为－a.
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练习：给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；
3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
5
学习目标
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几
何表示和字母表示．
2．掌握空间向量的加减运算数乘运算及
其运算律，理解向量减法的几何意义．
重点难点:
1.空间向量的基本概念和性质．
2.空间向量的加减法运算数乘运算．
6
问题
F2
F3
已知F1=2000N,