4.1s

4.1 不等式证明及其方法探究证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识. 1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的.其难点在第二步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方. 1）作差比较法的理论依据有：.0,0,0=-⇔=<-⇔<>-⇔>b a b a b a b a b a b a2）作商比较法的理论依据有：.1,0>⇔>>bab a b 3）作差（商）比较法的步骤： 作差（商）→变形→判断符号（与1的大小） 例1：求证：234221x x x +≥+ 证明：法一：)2()21(234x x x +-+23422223332210]21)21(2[)1()122()1()122)(1()12)(1()1)(1()1(2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +≥+∴≥++-=++-=-+--=---=-+--=法二：)2(21234x x x +-+2342222242342210)1()(122x x x x x x x x x x x +≥+∴≥-+-=+-++-=说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解123--x x 的因式，判断1222++x x 的符号除用配方法外，还可用判别式法。

证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项.通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的第二步变形. 例2：已知0,1>>λa ，求证：)2(log )(log )(λλλ+>++a a a a 证明：a a a a a a a a )()()(log )2(log )(log )2(log λλλλλλ+++∙+=++).(log )2(log ,0)(log 1]2)(log []2)2(log []2)2(log []2log )2(log [)(22)(22)(2)(2)()(λλλλλλλλλλλλλ+<+∴>+=+<+=+=++≤++++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a 又说明：观察不等式的特点，λ+a 充当了真数和底，联想到aN N a log 1log =，进而用了作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等，我们再看： 例3：若0>>>c b a ，求证： （1）b a b a a b b a >（2）b a c a c b c b a c b a c b a +++>222证明：（1）0>>>c b a ，b a b a b a b aab b a -=)(又0,1,0>->∴>>b a bab a ab b a a b a b ba b a b a b a b a ba b a b a >∴>>>∴-0,1,1)( 又即 （2）由（1）的结果，有0,0,0>>>>>>c a a c b c c b a b b a a c a c c b c b b a b a两边分别相乘得b ac a c b c b a ca b c a b a c c b b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a +++>∴∙∙>∙∙2222、综合法利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果”. 例4：（1）已知证：为不全相等的正数，求c b a ,,3>-++-++-+ccb a b b ac a a c b （2）已知1,,=abc c b a 为不相等正数，且，求证：cb ac b a 111++<++ 证明：（1）证法一：3)()()(-+++++=acc a c b b c b a a b 左式2,222,,≥+≥+=∙≥+∴ca a c cb bc b aa b b a a b c b a 同理：为不全相等的正数且上面三个等号不能同时成立，3363)()()=->-+++++∴a cc a c b b c b a a b （ 得证； 证法二：)2()2()2(-+++-+++-++=ccb a bc b a a c b a 左式36961336)111)(,,6)111)((33=-=-⨯>-++++∴-++++=abcabc c b a c b a c b a cb ac b a （为不全等正数得证。

（2）证法一：1,,=abc c b a 为不等正数，且cb a b a ac c b abca bc c b a 111211211211111++=+++++<++=++∴证法二：1,,=abc c b a 为不正数，且cb a abc c ab bc a bcac bc ab ac ab ab ac bc cb a ++=++>+++++=++=++∴222222111 得证。

说明：（1）题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用基本不等式，灵活地运用均值不等式，这也是综合法证明不等式的主要技巧之一；（2）题是条件不等式的证明，要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式左边与右边的差异与联系，去异求存同，找到证题的切入口，本题合理运用条件1=abc 的不同变形. 3、分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，分析法的思路是“执果索因”.例5：已知函数)21,0(),11lg()(∈-=x x x f ，若.)21,0(,2121x x x x ≠∈且求证：)2()]()([212121x x f x f x f +>+证明：要证原不等式成立，只需证明22121)12()11)(11(-+>--x x x x 事实上，2121,210x x x x ≠<<)2()]()([21)12lg()]11)(11lg[()12()11)(11(0)()1()(4)(4111)12()11)(11(21212212122121221212122121221212122121x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>+-+>--∴-+>-->+--=+++---=-+---∴故即是得证. 4、换元法换元法是数学中的一个基本方法.在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法.换元法的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题.换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元法的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几何图形换元等几种方法. 1）增量换元对对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量换元，换元的目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.例6：已知.411,ca cb b ac b a -≥-+->>求证：分析：考虑到)()(c b b a c a -+-=-，由此可以令,0,0>-=>-=c b y b a x 这时问题转化为“yx y x y x +≥+>411,0,证明若”。

证明：令y x c a c b y b a x +=->-=>-=,0,0，下面只要证明：yx y x +≥+411即可。

取等号）即当且仅当c a b y x y xx y y x x y y x y x y x +====+≥++=++∴>2,,(4222))(11(,0, 成立。

即ca cb b a y x y x -≥-+-+≥+∴411,411 例7：若.2,0222a b a b ab b a ≥-+-≥≥求证：分析：如何利用已知不等式0≥≥b a 是证明本题的关键，因为)0()0(0≥+=⇔≥=-⇔≥⇔≥-h h b a h h b a b a b a ，这样可把已知的不等式关系换成相等关系.证明：),0(,0≥+=≥≥h h b a b a 设.222)()(2222222222222a b a b ab ah b bh h nh b b h b b h b b b a b ab ≥-+-∴=+≥+++=-++-+=-+-则得证. 2）三角换元三角换元就是根据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题，如，问题中若已知θθsin ,cos )),,0(222a y a x a a y x ==+∞∈=+可设；若已知)1(s i n ,c o s ,122≤==≤+r r y r x y x θθ可设；若已知，或1122222222=-=+by a x b y a x 则条件可设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==,tan ,sec ;sin ,cos θθθθy a x a y a x 或其中θ的范围取决于y x ,的取值范围，等等. 例8：已知.1,1,1,,,2222≤+=+=+bd ac d c b a d c b a 求证：都是实数，且分析：由1,12222=+=+d c b a ，可以联想到1cos sin 22=+αα的关系作三角代换.证明：,cos ,sin ,cos ,sin ,1,12222ββαα=====+=+d c b a d c b a 所以可设 ,)cos(cos cos sin sin βαβαβα-=+=+∴bd ac1,1)cos(≤+∴≤-bd ac βα 又，即原不等式成立. 3）和差换元例9：对任意实数.2222,,663322b a b a b a b a b a +≤+∙+∙+求证： 分析：对于任意实数b a 与，都有22,22ba b a b b a b a a --+=-++=，令t s b t s a ba tb a s -=+=-=+=,,2,2则有. 证明：设t s b t s a -=+=,，下面只需证.1515)3)((6422462322t t s t s s st s t s s +++≤++.2222,1515)3)((,01211663322642246232264224b a b a b a b a t t s t s s st s t s s t t s t s +≤+∙+∙++++≤++∴≥++=-即左边右边得证. 4）利用对称性换元例10：设).)()((,,,c b a b a c a c b abc R c b a -+-+-+≥∈+求证：分析：经过观察，我们发现，把c b a ,,中的两个互换，不等式不变，则可令.8))()((,,,xyz x z z y y x c b a z b a c y a c b x ≥+++-+=-+=-+=则原不等式可化为： 证明：令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,.8))()((0,,,)(21),(21),(21xyz x z z y y x xyz R c b a y x c z x b z y a ≥+++<∴∈+=+=+=+时，有当则 当0>xyz 时，有+∈R z y x ,,（否则z y x ,,中必有两个不为正值，不妨设0,0≤≤y x则0≤c ，这与0>c 矛盾）因此：02,02,02>≥+>≥+>≥+zx x z yz z y xy y x 则有：xyz x z z y y x 8))()((≥+++ 综上，恒有xyz x z z y y x 8))()((≥+++，把z y x ,,的值代人上式得：).)()((c b a b a c a c b abc -+-+-+≥得证. 7）代数换元例11：已知+∈R c b a ,,，且.23131313,1≤+++++=++c b a c b a 求证： 分析：引入参数，配凑成二次方程转化为二次不等式 证明：设.131313k c b a =+++++则可令.0,313,313,313321321=+++=++=++=+t t t t kc t k b t k a 其中 所以232221)3()3()3(131313t kt k t k c b a +++++=+++++即)(3)(323623222122322213212t t t k t t t t t t k k +++=++++++=所以362k ≥，解得23≤k ，即23131313≤+++++c b a得证. 8）分式换元例12：设22321,1,0,0+≥+=+>>yx y x y x 求证：分析：因为,0,0,1>>=+y x y x 所以用分式换元，转化为均值不等式证明.证明：设)0,0(,>>+=+=b a ba b y b a a x ，则 22323)(221+≥++=+++=+baa b b b a a b a y x ， 即22321+≥+yx 9）比值换元法对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式即可.例13：已知.10,421222≥++-=+=-z y x z y x 求证： 证明：设k z y x =-=+=-421， 于是4,2,1+=-=+=k z k y k x 把z y x ,,代入222z y x ++得：1010)1(310)12(31363222≥++=+++=++k k k k k 。