第7章 数字滤波器的概念

3、DF频响的三个参量
（1）幅度平方响应 2 j H ( e ) H ( e j ) H * ( e j ) H ( e j ) H ( e j )
H ( z ) H ( z 1 )
（2）相位响应
z e j
H (e ) H ( e ) e
j
j
j ( e j )
低通

0
c

2
3
高通
0

c
2
3
带通 0

2
3
带阻

0

2
3
全通 0


2
3
一个理想的选频滤波器，可以让信号中的某些频 率分量完全通过，同时完全抑制另外那些无用的频率 分量，它的期望特性(设计指标)一般都是以幅频响应 和相频响应的形式给出的。例如，一个理）按任务要求确定Filter的性能指标； （2）用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； （3）选择适当的运算结构实现这个系统函数； （4）用软件还是用硬件实现。
第7章
IIR滤波器的设计
7.1
引言
一 、IIR数字filter的设计方法
（1）借助模拟filter的设计方法 a. 将DF的技术指标转换成AF的技术指标； b. 按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s) ； c. 将 H a (s) H ( z ) d. 如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的 技术指标。 （2） 计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则， 最大误差最小准则等，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。
Re[ H (e j )] j Im[ H (e j )]
j Im[ H ( e )] j 1 (e ) tg j Re[H (e )]
（3）群延迟
j d ( e ) j (e ) d
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是 表示每个频率分量的延迟相同。
2
S 2

所以，极点为 s1, 2 7, s3, 4 6, 零点为
j5,
均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点
K0 (S2 25) j5 为 Ha (S) 的零极点，这样Ha (S) (S 7)(S 6) 25 K 0 由 Ha (0) A(0) ，可确定出 K 0 ， H a ( 0) 67 4 25 A(0) , 所以 K 0 4。 67 4(S2 25) 4S2 100 2 因此 Ha (S) (S 7)(S 6) S 13S 42
1 H (e ) 0
j
c c
即在滤波器的通频带内，其幅频响应为一常数，相频 响应为数字角频率的线性函数。它的单位冲激响应为
c sin c n h( n) c n
可见该系统是非因果的，因此是物理不可实现的。这个 结论可以扩展到更一般的情况，就是说任何具有平坦的通带 和阻带或者具有陡峭截止特性的滤波器，无论它是LP、HP、 BP或BS都是非因果的，物理不可实现。
2
2
由于
2
H * ( j) H ( j) 所以
A () H a ( j) H a ( j) H a (s) H a (s) s j Ha ( j) 是AF的频响， 其中，Ha (s)是AF的系统函数， H a ( j) 是AF的幅频特性。
（2）Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点 a. 如果S1是Ha（S）的极点，那麽- S1就是Ha（-S） 的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽- S0就是 Ha（-S）的零点。所以Ha（S） Ha（-S）的零极点是呈 象限对称的,例如： 1 j1 1 j1 ; 2 j 2 2 j 2 ;
DLF ALF DHF AHF ALF DBF ABF ALF DBSF ABSF ALF
3、转换举例 例如，一低通DF的指标：在 0.2 的通带 范围，幅度特性下降小于1dB；在 0.3 的 阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率 f S 10kHz ； 试将这一指标转换成ALF的技术指标。
1、DF的性能要求
H ( e j )
低通滤波器的性能指标
1 1
1 1
c : 通带截止频率 δ1: 通带的容限 st : 阻带截止频率 δ2：阻带容限
通带
阻带
c ,1 1 H (e j ) 1 1
st , H (e j ) 2
) 1
20lg H (e
j 0.3
) 15
由于 T ，所以当没有混叠时，根据关系式
H (e
j
) Ha ( j

T
) H a ( j),
模拟filter的指标为

0.2 20 lg H a ( j ) 20 lg H a ( j 2 103 ) 1 T 0.3 20 lg H a ( j ) 20 lg H a ( j 3 103 ) 15 T
7.2 常用模拟滤波器设计 一、巴特沃什低通滤波器
特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗ 幅频特性A(Q2)单调↘。
1、 巴特沃什模拟低通滤波器的响应及其特点 1 2 2
A () H a ( j) j 2 N 1 ( ) j C
其中，N 为filter的阶数； C 为通带截止频率。 a、 当0 Q Qc时，
2、通常具体技术指标
通带允许最大衰减： Ap 20 lg H (e ) H (e
jwc j0
)
20 lg H (e
jwc
)
(dB)
阻带应达到的最小衰减 ： As 20 lg H (e ) H (e
jwst j0
)
20 lg H (e
j0
jwst
)
(dB)
式中均假定： H（e ） 1，即归一化
|H(ejw)|或|H(f) 1
Ap
通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。
通带衰减：Ap As 阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频 f 率fs1(ws1)。 w 阻带衰减：As
fs1 fp1 fp2 fs2 ws1 wp1 wp2 ws2
三、ALF的设计
ALF的设计就是求出filter的系统函数 Ha(S) ， 使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型） 有巴特沃什型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近 依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统 函数。 1、由幅度平方函数确定系统函数
（1）幅度平方函数
A () H a ( j) H a ( j)H a* ( j)
j
2 j2
j4
1 j1
3
3
1 j1

j4
2 j2
(3) 由 A () H a ( j) 确定 H a ( s ) 的方法
2 H ( s ) H ( s ) A () 2 S 2 a. 求 a a
2
2
b. 分解 Ha (S)Ha (S), 得到各零极点，将左半面的 极点归于 Ha (S) ，对称的零点任一半归 Ha (S) 。 若要求最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S) （全部零极点位于单位圆内）。
一. 数字滤波器的概念
１.滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装臵。
x ( n)
h(n)
y ( n)
y(n) x(n) h(n) , 对其进行傅氏变换得:
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
2、当输入、输出是离散信号， 滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时， 这样的滤波器称作数字滤波器。
c. 按频率特性确定增益常数。
[例 ] 解：
由 A2 () 16(25 2 ) 2 /(49 2 )(36 2 ) 确定系统函数 H a (S ) 。
16(25 S 2 ) 2 (49 S 2 )(36 S 2 )
因H a (S ) H a (S ) A2 ()
3 3 ;
j 4 j 4
b. 虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t） 是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在； c. 虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）； d. 由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在 左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此 要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。
Q Q 2N 1, ( ) 0, 则 H a ( jQ) 1 Qc Qc
Q Q 2N 当Qc Q 时， 1, ( ) 1, 则 H a ( jQ) 0 Qc Qc Q 1 当Q Qc时， 1, 则 H a ( jQ) Qc 2
注：巴特沃什模拟低通滤波器的带宽恒为3dB带宽，与阶数无关 (b). 巴特沃什滤波器在通带内和阻带内均为单调变化，单 调下降函数。
解：按照衰减的定义和给定指标，则有

20 lg H (e j0 ) / H (e j0.2 ) 1
20 lg H (e j0 ) / H (e j0.3 ) 15
假定 0 处幅度频响的归一化值为1， 即 H ( e j0 ) 1
这样，上面两式变为
20lg H (e
j 0.2
y(n)
a y ( n k ) b x( n k )
k k k 1 k 0
N
M
3、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n) 进行一定的运算操 作从而得到输出序列 y (n) 实现滤波从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数。 因此实现的方法有两种： （1）利用通用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为 数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波 器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这 时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在 IIR 滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。 由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也 逐渐增多。
二、将DF的技术指标转换为ALF的技术指标 1、意义 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式； 设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃什，切比雪 夫等。 2、一般转换方法 （1） （2） （3） （4）
过渡带 c st , 平滑过渡
2
0
c
st


高通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f) 1
Ap
通带截止频率：fp(wp)又称 为通带下限频率。
通带衰减：Ap As f 阻带衰减：As w
阻带截止频率：fp(ws)又称 阻带上限截止频率。
fs
ws
fp wp
带通滤波器的性能指标
因此在工程上，我们总是用一物理可实现的线性时不变 系统去逼近理想情况，例如在上例中，一般在冲激响应h(n) 引入较大的延时 n0，使它逼近于因果系统
h(n n0 ) n 0 h '(n) n0 0
这样，h’(n)的傅里叶变换H’(ejw)就不再具有理想的 频率特性。好在工程上的滤波器设计只要满足一定的容差 条件就可以了，容差条件可以用容线图来描述
带阻滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f) 1
Ap
通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。
通带衰减：Ap
As
fp1 fs1 wp1 ws1
fs2 fp2 ws2 wp2
阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频 f 率fs1(ws1)。 w 阻带衰减：As
X (e j )
H(ejω)为矩形窗时 的情形
0
H (e j )
ωc
π
ω
0
Y (e j )
ωc
π
ω
0
ω
π
ω
二、数字滤波器的系统函数与差分方程
1、系统函数
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k
M
k
1 ak z
k 1
k 0 N
k
X(z)
H(z)
Y(z)
2、差分方程 对上式进行Z反变换，即得