【数学】江西省南昌市三中2012—2013学年度高二上学期期末考试(文)

南昌三中2012-2013学年度上学期期末考试
高二数学（文）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上） 1．“ab<0”是“方程ax 2
＋by 2
＝1表示双曲线”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
3．椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是( ) A.14 B.1
2 C ．2 D ．4 4．'
0()0f x =是函数()f x 在点0x 处取极值的（ ） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝－8x C ．x 2
＝8y D ．x 2
＝－8y
6．给出两个命题：p ：平面内直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则直线l 与该
抛物线相切；命题q ：过双曲线2
2
14
y x -=右焦点F 的最短弦长是8。

则( ) A ．q 为真命题 B ．“p 或q ”为假命题 C ．“p 且q ”为真命题 D ．“p 或q ”为真命题
7.若函数32()f x ax bx cx d =+++有极值，则导函数()f x '的图象不可能是 ( )
8.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，
12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A.
12 B. 23 C. 34 D. 45
9．已知点P 在曲线4
1
x
y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.[0,
4
π
) B.[
,)42ππ C.3(,]24ππ D.3[,)4
π
π 10．设F 为双曲线
221169
x y -=的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则
FN FM FA
-的值为（ ）
A.
25 B. 52 C. 45 D. 54
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知双曲线x 2
－y 2
b
2(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.
12.椭圆22
221x y a b
+=的长轴长为6，右焦点F 是抛物线28x y =的焦点 ，则该椭圆的离心
率等于 ．
13．命题“如果x －2＋(y ＋1)2
＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为________． 14.设函数()f x 的导数为()f x ',且()2(1)ln (2)x f x f x f ''=-+,则
(2)f '的值是
15.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
三、解答题：共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知命题p ：2
7100x x -+≤，命题q ：()()22110x x a a -+-+≤，
(0)a >，若“⌝p ”是“⌝q ”的必要而不充分条件，求a 的取值范围
17．求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程．
18．（本小题满分12分）（1）求与双曲线19
162
2=-y x 共渐近线且过()
332-，A 点的双曲线方程；(2)求与椭圆x 24＋y 2
3
＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．
19. （本小题满分12分）已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
．（1）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（2）如果函数)(x f 是
),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
20. （本小题满分13分）设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f 。

若函数)(x f 在1=x 处与直线21-
=y 相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数],1
[)(e e
x f 在上的最大值；(3) 已知函数3
2
3()322g x x mx m =++-
（m 为实数），若对任意11,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求m 的取值范围.
21．（本题满分14分）设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b
2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2
＝1的离心率互
为倒数，且内切于圆x 2
＋y 2
＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．
高二数学期末考试数学试卷文科答案2013-1-16
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上） 1．“ab<0”是“方程ax 2
＋by 2
＝1表示双曲线”的( C ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( D ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
3．椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是( A ) A.14 B.1
2 C ．2 D ．4 答案解析 长轴长为2a ＝
2
m
，短轴长为2，∴
2
m
＝4.∴m ＝1
4.
4．'
0()0f x =是函数()f x 在点0x 处取极值的（ D ） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( C ) A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝－8x C ．x 2
＝8y D ．x 2
＝－8y
解析 由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2
＝8y .
6．给出两个命题：p ：平面内直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则直线l 与该
抛物线相切；命题q ：过双曲线2
2
14
y x -=右焦点F 的最短弦长是8。

则( B ． ) A ．q 为真命题 B ．“p 或q ”为假命题 C ．“p 且q ”为真命题 D ．“p 或q ”为真命题
7.若函数32()f x ax bx cx d =+++有极值，则导函数()f x '的图象不可能是 ( )
解析：f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c=0,若f （x ）有极值，易知图象不可能是D.答案：D
8.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a
x =上一点，
12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ）
A.
12 B. 23 C. 34 D. 4
5
9．已知点P 在曲线4
1
x
y e =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A.[0,
4
π
) B.[
,)42ππ C.3(,]24ππ D.3[,)4
π
π 解析：选D.2441212x x x x
x
e y e e e e
'=-=-++++，12,10x
x
e y e '+≥∴-≤<， 即1tan 0α-≤<，3[
,)4
π
απ∴∈ 10．设F 为双曲线
22
1169
x y -=的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则
FN FM FA
-的值为（ C ）
A.
25 B. 52 C. 45 D. 54
解析：对22
221x y a b -=有
1FN FM FA e
-=，特殊情形：A 为右焦点，,R t
F M A
R t F N A F M A N ≅∴=，21
2FN FM FN AN a FA FA c e
--=
==。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知双曲线x 2
－y 2
b
2(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.
答案 2解析 双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，比较系数得b ＝2.
12.椭圆22
221x y a b
+=的长轴长为6，右焦点F 是抛物线28x y =的焦点 ，则该椭圆的离心
率等于 ．
2
3
13．命题“如果x －2＋(y ＋1)2
＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为________． [答案] 如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2
≠0
14.设函数()f x 的导数为()f x ',且()2(1)ln (2)x f x f x f ''=-+,则(2)f '的值是
7
ln 22
15.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 62
三、解答题：共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知命题p ：2
7100x x -+≤，命题q ：()()22110x x a a -+-+≤，
(0)a >，若“⌝p ”是“⌝q ”的必要而不充分条件，求a 的取值范围
16．解：2
7100x x -+≤25x ⇒≤≤，2
2
21011x x a a x a -+-≤⇒-≤≤+，---4分 ∵P 是q 的充分不必要条件，∴{|25}x x ≤≤{|11}x a x a -≤≤+，---------8分
∴12
415
a a a -≤⎧⇒≥⎨
+≥⎩。

-----------12分
17．求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程．
解：设切点为)2,(3
000x x x P -，又232x y -='，…………2分
所以切线斜率为2
032|0x y x x -='=，
则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(02
0300x x x x x y --=--．…………4分 又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(102
03
00x x x x --=--， 即01322
03
0=+-x x ，……………8分 解得10=x 或2
1
0-
=x ；…………10分
当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ；……………11分 当210-
=x 时，切点就是)87,21(--P ，切线斜率为45|2
1='-=x y ，
切线为0145=--y x ．……………12分
18．（本小题满分12分）（1）求与双曲线19
162
2=-y x 共渐近线且过()
332-，A 点的双曲线方程；(2)求与椭圆x 24＋y 2
3
＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．
解：（1）设与双曲线
191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()09162
2≠=-λλy x ∵点()
332-，A 在双曲线上，∴41
991612-=-=λ∴所求双曲线方程为：4
191622-=-
y x ，即144
92
2=-x y ．…………6分 (2)法一：∵e ＝
1－34＝12，若焦点在x 轴上设所求椭圆方程为x 2
m 2＋y
2
n
2＝1(m >n >0)， 则1－(n m )2＝14，从而(n m )2＝34，n m ＝32，又4m 2＋3n
2＝1，∴m 2＝8，n 2
＝6，
∴方程为x 28＋y 2
6
＝1.…………9分
若焦点在y 轴上，设方程为y 2m 2＋x 2n 2＝1(m >n >0)则3m 2＋4n 2＝1，且n m ＝3
2
，
解得m 2
＝253，n 2
＝254.故所求方程为y 2
253＋x 2
25
4
＝1.……………12分
法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得
t ＝22
4
＋
－32
3
＝2，故所求方程为x 28＋y 2
6
＝1.……………9分
若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 2
3＝λ(λ>0)代入点(2，－3)，
得λ＝2512，∴y 2
253＋x
2
25
4
＝1.……12分
19. （本小题满分12分）已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
．（Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(x f 是
),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
19. .解析：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . …………1分 （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . ………2分
此时x x x f 3121)(3-=
，34
1
)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：
由上表可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()
f x 的极小值为34)32(-=f . …………6分 （Ⅱ）∵ )14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f ， 令 2
21
(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅
⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤. 这时()0f x '≥恒成立，∴ 函数)(x f y =在),(∞+-∞上为单调递增函数.
综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . ……………12分
20. （本小题满分12分）（1）'()2a
f x bx x
=
-函数()f x 在1x =处与直线1
2
y =-
相切 '(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112
a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩……3分
(2)2
2111()ln ,'()2x f x x x f x x x x
-=-=-=
当
1x e e ≤≤时，令'()0f x >得1
1x e
<<；令'()0f x <，得1;x e << 1(),1f x e ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
在上单调递增，在（1，e ）上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==-……7分
（3）由22()330g x x m '=+≥知)(x g 在[]1,0上单调增。

()g x 最大值为21
(1)322
g m m =+-，……11分
命题等价于
max max ()()f x g x <………11分
即
2112
320223
m m m +-
≤-⇔-≤≤…………13分 21．（本题满分14分）解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c
a
＝2
2
，圆x 2
＋y 2
＝4的直径为4，则2a ＝4，得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4
c a ＝
2
2b 2
＝a 2
－c
2
⇒⎩⎨⎧
a ＝2
c ＝2b ＝2，
所求椭圆M 的方程为y 24＋x 2
2
＝1.……………4分
(2)直线AB 的直线方程：y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m
x 22＋y 2
4
＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2
－4＝
0，………5分 由Δ＝(22m )2
－16(m 2
－4)>0，得－22<m <22，
∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2
－4
4.…………6分 ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝
3·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2 ＝3·
12
m 2
－m 2＋4＝ 3 4－m 2
2
，…………7分
又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.……………8分 则S △ABC ＝12|AB |d ＝1
23
4－
m 22
|m |
3
＝1
2
m
2
－
m 2
2
＝
122
m 2－m
2
……………10分
≤
1
22
·
m2＋－m2
2
＝2，……………12分当且仅当m＝±2∈(－22，22)取
等号．………13分∴(S△ABC)max＝ 2.。