高考数学一轮复习第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示

第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示
激活思维
1. 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP →＝13AB →，BQ →＝13BC →.若AB
→
＝a ，AC
→＝b ，则PQ →等于( )
A. 13a ＋1
3b B. －1
3a ＋1
3b
C. 1
3a －1
3b D. －1
3a －13
b
2. 已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，那么－3a －2b 等于( )
A. (7,1)
B. (－7，－1)
C. (－7,1)
D. (7，－1) 3. 若平面向量a ＝(1,2), b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则|b |等于( ) A. 3 B.
5
C. 22
D. 25
4.
如图，在梯形ABCD 中，若AB
∥
CD ，AB
⊥
AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，且AF
→＝2FE →，则BF →等于( )
(第4题)
A. 12AB →＋13AD →
B. 13AB →－12AD →
C. －12AB →＋13
AD →
D. －13AB →＋12AD →
知识聚焦
1.
平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，满足____________，我们把不共线向量e 1，e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
2. 向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝________，λa ＝________，|a |＝
x21＋y21.
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝______________.
3. 平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若b ≠0，则a ，b 共线⇔__________________.
分类解析
目标1 平面向量基本定理的应用
如图，已知在
△
OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将
OB
→
分成2
∶
1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA
→＝a ，OB →＝b .
(1) 用a 和b 表示向量OC
→，DC →；
(例1)
(2) 若OE
→＝λOA →，求实数λ的值．
1. (2020·福州模拟)在等腰梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则( )
A. AE →
＝34AB →＋12
AD →
B. AE →
＝32AB →＋12
AD →
C. AE →
＝14AB →＋12AD →
D. AE →
＝34AB →＋14
AD →
2. (2020·泉州四校联考)如图，OC →＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝m OB →，ON →
＝n OA →
，若m ＝38
，则n 等于( )
(第2题)
A. 34
B. 2
3 C. 4
5 D. 58 3.
在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于点H ，记AB →，BC →
分别为a ，b ，则AH
→等于( )
A. 25a －4
5b B. 2
5a ＋4
5b C. －2
5a ＋4
5b D. －2
5a －4
5b
4.
(2020·
襄
阳
质
检)如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK →＝e 1，AL →
＝e 2，试用e 1，e 2表示BC
→，CD →.
(第4题)
目标2 向量的坐标表示及运算
在平面直角坐标系中，已知A (－1,2)，B (3,4)，C (2,1)． (1) 若O 为坐标原点，是否存在常数t 使得OA →＋t OB →＝OC →
成立？ (2) 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2CD ，求点D 的坐标； (3) 若点E 满足|AE →|＝1，且AE →·BC →＝1，求点E 的坐标．
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (－5，4)，C (1，－1)． (1) 分别求出以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长； (2)
是否存在实数t ，使得向量
AC
→－t
OB
→与向量
OB
→垂直？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．
目标3 向量共线的坐标表示 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．
(1) 当k a －b 与a ＋2b 共线时，求k 的值；
(2) 若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
(1) (2020·泰安期末)已知向量OA
→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(2m ，m ＋1)．若AB
→∥OC →，则实数m 的值为( )
A. 15
B. －3
5
C. －3
D. －17
(2) (2020·枣庄、滕州市期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(2,1)，且(a －λb )∥c ，则λ等于( )
A. 3
B. －3
C. 1
7 D. －1
7
课堂评价
1. (多选)设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A. 若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角 B. |a |的最小值为2
C. 与b 共线的单位向量只有一个，为⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫22，－22 D. 若|a |＝2|b |，则k ＝22或－22
2.
(2020·
北
京
模
拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，c ＝(
3，k )．若a －2b 与c 共线，则实数k 等于( ) A. 0
B. 1
C. 3
D. 3
3. 在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋DE →＝0，若BE →＝x AB →＋y AC →，则( )
A. y ＝3x
B. x ＝3y
C. y ＝－3x
D. x ＝－3y
4.
(2020·
中山模
拟)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A. c ＝1
2a ＋b
B. c ＝－1
2a －b
C. c ＝3
2a ＋12b
D. c ＝3
2a －12
b
5. (2020·吉首模拟)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →
＝λAB
→＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
(第5题)
A. 58
B. 1
4 C. 1
D. 5
16。