2021年高三数学上学期限时训练(6)

2021年高三数学上学期限时训练（6）
参考公式：锥体体积公式V＝1
3
Sh，其中S为底面积，h为高
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在
答题卡相应位置
．．．．．．．上．
1．命题“，”的否定为▲ ．
2．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，则集合
= ▲．
3．为了调查城市PM2．5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数
分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取18个城市，则乙组中应抽取的城市数
为▲ ．
4．若（，是虚数单位），则▲ ．
5．程序如下：
以上程序输出的结果是▲ ．
6．有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为▲ ．
7．若变量满足约束条件，则目标函数的最小值是▲ ．
8．设正项等比数列的公比为，且，则公比▲ ．
9．如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为▲ ．
10．已知直线是的切线，则实数的值为▲ ．
A1
B1
D
C
B
A
D1C1
第9题第12题
11．在中，分别是A、B、C的对边，满足
若，则ΔABC面积的最大值为▲ ．
12．网如上图，在△ABC中，∠BAC=120°，A B=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则▲ ．13．如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是▲ ．
[来源:．]
14．设定义域为R的函数，若关于的方程
有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15．（本小题满分14分）已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；
（2）若a⊥b，求tan(θ＋π
4
)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
（2）求证：A1B//平面ADC1．
A
B
C
x
y
O F
B
Q
P
第13题
N P
M A
C B D
17．（本小题满分15分）
已知各项均不相同的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设T n 为数列{}的前n 项和，求T xx 的值． 18．（本小题满分15分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米 ．
（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．
19．（本小题满分16分）
如图是椭圆的左右顶点是椭圆上异于的任意一点直线是椭圆的右准线 （1）若椭圆的离心率为直线求椭圆的方程；
（2）设直线交于点以为直径的圆交于若直线恰好过原点求椭圆的离心率
20．（本小题满分16分）
已知函数f （x ）=a ln x +x 2
（a 为实常数）．
（1）若a =﹣2，求证：函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若存在x ∈[1，e ]，使得f （x ）≤（a +2）x 成立，求实数a 的取值范围 （3）求函数f （x ）在[1，e ]上的最小值及相应的x 值；
亲爱的文科及艺体同学，祝贺你已完成试卷，可别忘了检查哟！理科的同学们一鼓作气，拿下附加题。

加油！
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．
．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，向量．求向量，使得．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知圆锥曲线 (θ是参数）和定点A(0，
3
3
)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．求经过
点F2且垂直地于直线AF1的直线l的参数方程；
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的
中点．
（Ⅰ）求异面直线BE与A C所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．
23．（本小题满分10分）
设,．
(1)当时,比较与的大小．
(2)根据⑴的结果猜测一个一般性结论,并加以证明
再查一下，大功告成！
淮海中学xx届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练（6）
数学学科答案
一、填空题：
1． 2．{6，7} 3． 6 4、
5、24 6． 7、2 8、
9．3 10、 11、． 12、网
13、 14、
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15．（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， (3)
分
即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝3
5
． (6)
分
（2）因为a ⊥b ，所以1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分
所以tan θ＝－5
6
． …………………10分
所以tan(θ＋π
4)＝tan θ＋tan
π
41－tan θtan
π
4
＝
1
11
． …………………14分 16．证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ．
因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD 平面ABC ，
所以AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分 因为DC 1平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1． …………………7分 （2）(证法一)
连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 则O 为A 1C 的中点．
因为D 为BC 的中点，所以OD//A 1B ． …………………12分
因为OD 平面ADC 1，A 1B /平面ADC 1，
所以A 1B//平面ADC 1． …………………15分 (证法二)
取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ． 所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B// C 1D ． 因为C 1D 平面ADC 1，D 1B /平面ADC 1，
所以D 1B//平面ADC 1．
同理可证A 1D 1//平面ADC 1．
因为A 1D 1平面A 1BD 1，D 1B 平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1，
所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………12分 因为A 1B 平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………15分 17．
解答 解：（Ⅰ）设公差为d ，
∵S n =14，且a 1，a 3，a 7成等比数列， ∴，…（4分）
解得d=0（舍）或d=1，所以a 1=2， 故a n =n+1．…（7分） （Ⅱ）∵a n =n+1， ∴==，
所以+…+﹣=，…（12分） 所以T xx =．…（14分） 18（本小题满分15分）
【解】设AN 的长为米， 由，得， …2分
∴． …………………………………………4分
（1）由，得， 又，于是，解得，AN 长的取值范围为∪．……………8分
（2）122
12
)2(3212)2(12)2(32322+-+-=-+-+-=-=
x x x x x x x y ， ………………………………………12分
当且仅当即时，取得最小值24，
∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．……15分 19．（本小题满分16分）解：
分析：（1）由离心率右准线l 的方程为x=4，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的方
程；
（2）根据题意，可得A ，M ，P 三点共线，MQ ⊥PQ ，由此可得几何量之间的关系，从而可求离心率
解：（1
(6分) （2）设，
∵A,M,P 三点共线，∴，∴………(9分) 由题意,∴……(11分) ,点P 在椭圆上，∴，则
∴22222233
()()()()
1()y a c b a c a c a c a x a a a
++-+===----……(14分) ∴ ∴，解得：……(16分)（注：其它解法参照得分）
本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题 20．（16分）
解：（1）当a=﹣2时，f （x ）=x 2
﹣2lnx ，当x∈（1，+∞），，
（2）不等式f （x ）≤（a+2）x ，可化为a （x ﹣lnx ）≥x 2
﹣2x ．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x 且等号不能同时取，所以lnx ＜x ，即x ﹣lnx ＞0， 因而（x∈[1，e]） 令（x∈[1，e]），又，
当x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0， 从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数， 故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．
（3），当x∈[1，e]，2x 2+a∈[a+2，a+2e 2
]．
若a≥﹣2，f'（x ）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x ）=0），故函数f （x ）在[1，e]上是增函数，此时[f （x ）]min =f （1）=1．
若﹣2e 2
＜a ＜﹣2，当时，f'（x ）=0；
当时，f'（x ）＜0，此时f （x ）是减函数； 当时，f'（x ）＞0，此时f （x ）是增函数．
故[f（x）]min==．
若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）
的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，
相应的x值为e．
数学Ⅱ(附加题)
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
【答案】B 解:, 设,由得, 即, 解得,所以
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
【答案】解：圆锥曲线化为普通方程，……2分
所以F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线AF1的斜率，……6分
于是经过点F2垂直于直线AF1的直线l的斜率，直线l的倾斜角是120°，……8分
所以直线l的参数方程是（t为参数），即（t为参数）．……10分
2 3．（本小题满分10分）答案要点:(1),,,.
(2)猜想:当,时,有.
证明:①当时,有猜想成立(已验证).
②当(,）时,猜想成立,即(*).
下面证明当时,有猜想也成立.由(*)得,,因为,所以
,所以,则.综合①②,猜想对任何,都成立.37018 909A 邚40867 9FA3 龣W33361 8251 艑^)40421 9DE5 鷥}o.38635 96EB 雫 !36571 8EDB 軛31298 7A42 穂。