河北省保定市易水中学2018-2019学年高一数学理联考试卷含解析

河北省保定市易水中学2018-2019学年高一数学理联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则的大小关系是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
2. 函数的最小正周期是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
3. 如图，已知四面体ABCD为正四面体，分别是AD,BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）.
A. 1
B.
C.
D. 2
参考答案：
A
【分析】
通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.
【详解】补成正方体，如图.
∴截面为平行四边形,可得，
又且
可得当且仅当时取等号，选A.
【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.
4. 已知非零向量满足，若，则实数t等于
A．4 B．－4 C．D．
参考答案：
B
5. 如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
参考答案：
B
略
6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
7. 在中，，，，则解的情况（）
A. 无解
B. 有一解
C. 有两解
D. 不能确定
参考答案：
A
8. 在△中，，，，在上任取一点，使△为钝角三角形的概率为
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 下列说法：①2017年考入清华大学的性格外向的学生能组成一个集合；②空集
；③数集中，实数x的取值范围是。

其中正确的个数是（）
A、3
B、2
C、1
D、0
参考答案：
C
10. 函数的定义域是（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,则▲ .
参考答案：
12. 已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的
取值范围是．
参考答案：
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性．要注意定义域．
【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）
∴，∴
故答案为：
13. 已知，则
参考答案：
14. 已知幂函数f（x）=x（k∈Z）满足f（2）＜f（3），若函数g（x）=1﹣q，f（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上是减函数，则非负实数q的取值范围是．
参考答案：
0≤q≤
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先表示出函数g（x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论q的范围，从而得到答案．
【解答】解：依题意可知，﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2，
又k∈Z，所以k=0或1，则﹣k2+k+1=2，
所以：f（x）=x2．
g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，（q≥0），
当q=0时，g（x）=﹣x+1在[﹣1，2]单调递减成立；
当q＞0时，g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1开口向下，对称轴右侧单调递减，
所以≤﹣1，解得0＜q≤；
综上所述，0≤q≤，
故答案为：0≤q≤．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
15. 已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是．
参考答案：
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．
【解答】解：方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0变形得：
（x+2）2+（y﹣1）2=9，
表示圆心B（﹣2，1），半径为3的圆，
画出相应的图形，如图所示：
连接OB并延长，与圆B交于A点，此时x2+y2的最大值为|AO|2，
又|AO|=|AB|+|BO|=3+=3+，
则|AO|2=（3+）2=14+6，即x2+y2的最大值为14+6．
故答案为：14+6
【点评】此题考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式，利用了转化及数形结合的数学思想，其中找出适当的A点，根据题意得出所求式子的最大值为|AO|2是解本题的关键．
16. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_____________.（从小到大排列）
参考答案：
1,1,3,3
由已知不妨假设，则，又因为标
准差等于，所以，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：1，1，3，3．
17. 在区间上满足的的值有个
参考答案：
----4；
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，⊥平面，，，分别是,的中点.
(Ⅰ) 求证：
(Ⅱ)求点到平面的距离。

参考答案：
证明：(Ⅰ) ,是的中点
⊥平面
且
平面平面
平面
………6分
(Ⅱ)设点到平面的距离为，利用体积法，
故点到平面的距离为………12分19. （本小题满分12分）
已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝2a n＋2，n∈N*
(I)证明数列{a n＋2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；
(II)求数列{na n}的前n项和S n。

参考答案：
(I) a n＝2n+1－2; (II) S n=（n－1）2n＋2＋4
(1)证明：a n+1＋2＝a n＋4＝2（a n＋2），且a1＋2＝4
数列{a n＋2}是等比数列，公比为2，首项为4，∴a n＝2n+1－2. 6分
(2)解由(1)知∴S n＝a1＋2a2＋…＋na n＝（n－1）2n＋2＋4……12分
20. 已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+2﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
（Ⅱ）若∠ACB=120°，求m的值；
（Ⅲ）当|AB|取最小值时，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）求出直线l：mx﹣y+2﹣m=0恒过D（1，2）点，判断点与圆的位置关系推出结果．
（Ⅱ）利用角，转化为圆心到直线的距离，求解即可．
（Ⅲ）判断弦AB最短时，直线l的斜率k=﹣1，即m=﹣1，推出直线方程，然后利用半径，半弦长，弦心距的关系求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：mx﹣y+2﹣m=0可化为：直线l：m（x﹣1）﹣y+2=0恒过D（1，2）点，
将D（1，2）代入可得：x2+（y﹣1）2＜5，
即D（1，2）在圆C：x2+（y﹣1）2=5内部，
故对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
（Ⅱ）∠ACB=120°，圆的半径为：，圆心（0，1）到直线mx﹣y+2﹣m=0的距离为：，
可得： =，解得m=﹣4．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得k CD==1，
弦AB最短时，直线l的斜率k=﹣1，即m=﹣1，
故此时直线l的方程为﹣x﹣y+3=0，即x+y﹣3=0，
此时圆心C到直线的距离d==，
故|AB|=2=2．
21. （15分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
参考答案：
考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），
1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．解答：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×
元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）=，1≤x≤10．
则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．
点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．
22. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求证：；（2）若的面积为，求的大小.
参考答案：
（1）由，可得，又由正、余弦定理得
当时，，即
当时，，又，∴
∴，∴，∴
综上，当时，--------------------------------------------------------------------------
6分
（2）∵，
又，∴，因为，∴
又，∴
当时，；当时，；
∴或.-------------------------------------------------------------------------------------------------12分。