河南省2017届普通高中毕业班高考适应性测试(理数)

河南省2017届普通高中毕业班高考适应性测试
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息
填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一
项符合题目要求.
1．已知集合{}
()}
2
|230|lg 20A x x x B x x =-->=-≤{}1
)2lg(≤-x x ，则()R C A B = A. ()1,12- B. ()2,3 C. (]2,3 D.[]1,12-
2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式
cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数
函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数i e
π
-在复平面内位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
3．下列命题中，正确的是 A. 0003
,sin cos 2
x R x x ∃∈+=
B. 0x ∀≥且x R ∈，2
2x
x >
C. 已知,a b 为实数，则2,2a b >>是4ab >的充分条件
D. 已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是
1a
b
=- 4．已知圆22
:4O x y +=（O 为坐标原点）经过椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的短轴端点和两个
焦点，则椭圆C 的标准方程为
A. 22142x y +=
B. 22
184x y += C.
221164x y += D. 22
13216
x y += 5．已知等差数列{}n a 满足121,6n n a a a +=-=，则11a 等于 A. 31 B. 32 C. 61 D.62
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. D. 7．已知函数()1
32
2
21
x x
x f x +++=
+的最大值为M ，最小值 为m ，则M m +等于
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
8．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名 著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，
若输入,a b 的值分别为21,28，则输出a 的值为 A. 14 B. 7 C. 1 D. 0
9．已知函数1ln y x x =++在点()1,2A 处的切线为l ， 若l 与二次函数()2
21y ax a x =+++的图象也相
切，则实数a 的取值范围为
A. 12
B. 8
C. 0
D.4
10．已知ABC ∆的三个顶点坐标为()()()0,1,1,0,0,2,A B C O -
为坐标原点，动点M 满足1CM = ，则OA OB OM ++
的最大值是
A.
1 B. 1 C. 1 1
11．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别
为12,,F F O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直
线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ，若122PF PF =，且2120MF
N ∠=
，则双曲线的离心率为
A.
3
B. C. 12．定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()
411f x x =--，且对任意实数
()122,22,2n n x n N n +*
⎡⎤∈--∈≥⎣⎦
，都有()1
12
2x f x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是
A. []2,10
B.
C. ()2,10
D.[)2,10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知实数,x y 满足条件2420x x y x y m ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-++≥⎩
，若目标函数2z x y =+的最小值为3，则其最大值
为 .
14
．设二项式6
x ⎛- ⎝
展开式中的常数项为a ，则2
0cos 5ax dx π
⎰的值为 . 15．已知A,B,C 是球O
的球面上三点，且3,AB AC BC D ===为该球面上的动点，球心O
到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 .
16．已知函数()212n n n f x a x a x a x =+++ ，且()()11,.n
n f n n N *
-=-∈设函数
(),,2n a n g n n g n ⎧⎪=⎨⎛⎫
⎪⎪⎝⎭
⎩为奇数为偶数，若()24,n
n b g n N
*
=+∈，则数列{}n b 的前()2n n ≥项和n S = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（本题满分12分）
已知向量(
)()
2cos ,sin ,cos a x x b x x == ，函数() 1.f x a b =⋅-
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,
，tan B =对任意满足条件的A,求()f A 的取值范围.
18．（本题满分12分）
某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4,；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元
.
（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率();P A
（2）按分层抽样的方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η.
19．（本题满分12分）
如图所示，已知长方体ABCD 中，
2AB AD M ==为DC 的中点.将
ADM ∆沿AM 折起，使得.AD BM ⊥ （1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；
（2）是否存在满足()01BE tBD t =<<
的点E ，
使得二面角E AM D --为大小为
4
π
，？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由.
20.（本题满分12分）
设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴上，过点F 的直线交抛物线于A,B 两点，线段AB 的长度为8，AB 的中点到x 轴的距离为3. （1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P,Q 两点，连结QF 并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.
21.（本题满分12分）
已知函数()()()ln 1.1ax
f x x a R x
=+-
∈- （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若11x -<<时，均有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C
的参数方程为2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=-
（1）化曲线1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线2C 与x 轴的一个交点的坐标为()(),00P m m >，经过点P 作斜率为1的直线，l 交曲线2C 于A,B 两点，求线段AB 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()1
212
f x x x =-++的最小值为.m （1）求m 的值；
（2）若,,a b c 是正实数，且a b c m ++=，求证：()
222
23.a b c ab bc ca abc ++≥++-
数学（理科）参考答案。