2021年高三数学下学期第七次适应性训练 文(含解析)

2021年高三数学下学期第七次适应性训练 文（含解析）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C
【解析】
因为(2)
{|ln(1)}{|1},{|2
1}{|02}x x M x y x x x N x x x -==-=<=<=<<，所以右图中阴影部分表示的集合为。

2．已知方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，
(x 10，y 10)的回归方程，则“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 10
10”是“(x 0，y 0)满足线
性回归方程y ＝bx ＋a ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为回归直线方程一定过样本点的中心，所以“x 0＝
x 1＋x 2＋…＋x 10
10
，y 0＝
y 1＋y 2＋…＋y 10
10
”是“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”的充分不必要条件。

3.各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列， 则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【
解
析
】
因
为
，
，
成
等
差
数
列
，
所
以
231211132,32,1()q 3a a a a q a a q q =+=+=-=即所以舍或，所以。

4.函数在处有极值,则的值为( ). 凉爽
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在处有极值,所以。

5.已知的三顶点坐标为,,,点的坐标为,向内部投一点,那么点落在内的概率为( ). A. B. C. D. 【答案】A
【解析】因为D 是AC 上的靠近A 点的三等份点，所以，所以点落在△ABD 内的概率为。

6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（ ）
A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D
【解析】①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确． ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确． ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D ．
7. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】由三视图知，此几何体为半球与圆锥构成的简单组合体，且半球的半径为2cm ，圆锥的底面半径是2cm ，高是1cm ．所以该几何体的体积，故答案选 C ．
8．函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（ ）
A.向左平移
B.向右平移
第7题图
C.向左平移
D.向右平移
【答案】A
【解析】由题意可得，函数的周期为π，故，
要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位即可。

9．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A、B是以O（O
为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，∵A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，∴|OA|=|OB|=|OF2|=c，∵△F2AB是正三角形，∴|F2A|＝，∴|F1A|=c，
又∵|F1A|+|F2A|=2a，。

10．已知函数与，若与的交点在直线的两侧，
则实数的取值范围是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【答案】B
【解析】先求与直线y=x的交点坐标为（2，2）和（-2，-2）．当x=2时，x3=8；x=-2时，x3=-8．将y=x3的图象向上（t＞0）或向下（t＜0）平移|t|个单位，即得函数g（x）的图象．若f（x）与g（x）的交点在直线y=x的两侧，则|t|＜6，即-6＜t＜6．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横在线．11. 已知复数满足的轨迹方程是；
【答案】
【解析】∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=1，由复数的模的几何意义可得，复数z对应点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆上，故x，y满足的轨迹方程是．
12. 已知如下算法语句
输入t;
If t<5 Then y=t2+1;
Else if t<8 Then y=2t-1;
Else y=;
End If
End if
输出y
若输入t=8,则下列程序执行后输出的结果是 .
【答案】9
【解析】根据算法语句，可得函数为分段函数为：。

13．观察下列各式：223344
1,3,4,7,a b a b a b a b +=+=+=+= 则___________. 【答案】123 【解析】
观察下列各式：2
2
3
3
4
4
1,3,413,734,a b a b a b a b +=+=+==++==+所以123. 14．已知变数满足约束条件目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为_____________． 【答案】
【解析】作出不等式对应的平面区域，当a=0时，z=x ，即x=z ，此时不成立．由z=x+ay 得， 要使目标函数z=x+ay （a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则阴影部分区域在直线的下方，即目标函数的斜率，满足k ＞k AC ，即。

15．选做题：(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.)
A ．(不等式选作题)若不等式的解集为，则的取值范围为________; 【答案】
【解析】易知函数的最小值我5，所以若不等式的解集为，则的取值范围为。

B ．(几何证明选做题)如图，已知的直径，为上一点，且，过点的的切线交延长线于点，则________; 【答案】3
【解析】因为AB 是直径，所以∠ACB 为直角，BC=，AB=，所以AC=2，∵DB 与⊙O 相切，∴∠DBA
为直角，由射影定理得AB 2
=AC•AD，∴DA=3． C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________． 【答案】1
【解析】圆p=2、直线化为直角坐标方程，分别为x 2
+y 2
=4，，圆心到直线的距离为：。

三．解答题 本大题共6小题，共75分．
16. （本小题满分12分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，， 是线段的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积．
17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，点在直线上．
（1）求角的值；
（2）若，且，求．
18．（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，且第项、
第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列对任意，均有成立.
①求证：；②求．
19．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：
某市2013年3月8日—4月7日(30天)对空气
质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得
到如下条形图：
(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的
概率；
(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取
2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染
的概率.
20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆的左、右焦点分别
为，其上顶点为已知是边长为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
21．（本小题满分14分）已知函数.
（1）试判断函数的单调性；
（2）设，求在上的最大值；
(3) 试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．
高三数学（文科）参考答案
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. C 2．A 3．B 4．B 5. A
6. D 7．C 8．A 9．D 10．B
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11． 12. 9 13. 123 14. 15．A ． B. 3 C ．1
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)
解：（1）由题得， 由正弦定理得，即. 由余弦定理得， 结合,得. （2）因为
因为，且所以0,3
6
6
2
6
3
A A A π
π
π
π
π
π
<<∴
<+
<
∴+
=
所以，
17．（本小题满分12分） 解：（1）连结，如图， ∵、分别是、的中点，是矩形， ∴四边形是平行四边形， ∴． --------2分 ∵平面，平面，
∴平面．-------------------6分 （2）解法1 连结，∵正方形的边长为2， ，∴，，，则，
∴． --------------------------------------------------------8分 又∵在长方体中，，，且， ∴平面，又平面， ∴，又，
∴平面，即为三棱锥的高． ----------10分 ∵1111
2222222
AB C S AC OB ∆=⋅⋅=⨯= ∴
111111233D AB C AB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯=． --------------------------------12
分
解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等．
1122422323
=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯=． 18．（本小题满分12分） 解： （1） 解得
又
所以，等比数列的公比 （2）①证明： 当时， 两式相减，得 . ②由①得
当时，不满足上式 故
2013
122013
20142014
122014663......32323 (23)
3333313
c c c -⨯∴+++=+⨯+⨯++⨯=+=-+=-19．（本小题满分12分）
20．（本小题共13分）
解： （Ⅰ）因为是边长为2的正三角形，所以，所以，椭圆的方程为 高考资源首发 （Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，设其方程为.并设 由消去得
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)993=155其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：共个，所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为a e b e c e d e a f b f c f d f e f
则 由得故
设点的坐标为则由得
解得:1122
12
21212011222424424()3414241()81344
x x x x x x x x x x k x x x x k x λλ
+-+
⋅-++++=
====-+-+++
++
故点在定直线上.
21．（本小题满分14分） 解：（1）解：（1）函数的定义域是．由已知． 令，得． 因为当时，；当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以． 当时，在上单调递减，所以． 当，即时，．
综上所述，max
ln 21,022
1
()1,2ln 1,m
e m m e
f x m e e m
m e m
⎧-<≤⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ （3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．421628 547C 呼 33599 833F 茿30111 759F 疟?33321 8229 舩40019 9C53 鱓22243 56E3 団j1@。