高三数学毕业班第二次教学质量摸底考试题文试题

陆良县2021届高三毕业班第二次摸底考试
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
文科数学试题卷
〔考试时间是是：120分钟；全卷满分是：150分〕
一、选择题:〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的．〕
1．设全集R U =，集合}032|{},31|{<-=<<=x x B x x A ，那么=⋂)(B C A U 〔 〕 A. )23
,1( B. )3,23[ C. ),1(+∞ D. )2
3,(-∞ 2．化简复数i
i
Z +-=
121〔 〕 A.i 2321-- B. i 2321- C. i 2321+- D. i 2
321+
3．向量)1,4(=a ，),2(m b =，且)//(b a a +，那么=m 〔 〕 A. 2- B.21-
C. 2
1
D. 2 4．北辰中学五四青年节在辰星堂上演了一个数学性节目，演员将一只鸽子用长为2米的绳子固定
在一个棱长为4米的铁笼上顶中心位置〔鸽子的飞行半径为2米〕，然后再将一只昆虫放入笼中，求
鸽子能捉到昆虫的概率〔 〕 A.
12π B. 8π C. 6π D. 4
π
5．如下图的程序框图，假设输入的c b a ,,分别为1,2,3，那么输出的c b a ,,分别为〔 〕 A.32
1 B.123
C.312
D.213 6．将)4
2cos()(π
-=x x f 的图象向左平移
8
π
个单位后得到)(x g 的图象，那么)(x g 有〔 〕
A. 为奇函数，在)4
0(π
，上单调递減 B. 为偶函数，在)8
83(π
π，-
上单调递增 C. 周期为π，图象关于点)083(
，π对称 D. 最大值为1，图象关于直线2
π=x 对称 7．一个几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为〔 〕 A.3248+
B.32
88+ C.3748+
D. 3
788+ 8．假设2log 3
1=a ，31
)21
(=b ，3log 2=c ，那么c b a ,,的大小关系是〔 〕
A.c a b <<
B. a c b <<
C. c b a <<
D.
a b c <<
9．假设2
1tan =α，那么=+αα2
cos 2sin 2( ). A ．45-
B ．45
C ．512-
D ．5
12 10．在等差数列}{n a 中，24,24321=++=a a a a ，那么=++654a a a 〔 〕 A. 38 B. 39 C. 41 D. 42
11．21,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左
右两支分别交于点B A ,，假设2ABF ∆为等边三角形，那么双曲线的离心率为〔 〕 A. 7 B. 4 C.
3
3
2 D.
3 12．函数)(x f 的定义为R ,e f =-)1(,假设对任意实数x 都有e x f >')(,那么不等式
e ex x
f 2)(+>的解集是( )
A.)1,(--∞
B.),1(+∞-
C.)1,1(-
D.),1(+∞
二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分一共20分。

〕
13．设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥+-≥≤112x y x y y 那么1232+-=y x Z 的最大值为__________．
14．12)1(2
-+=+x x x f ，求)3(f 的值__________．
15．直线01=--y x 与圆4)2()1(2
2=-+-y x 相交于B A ,两点，那么=AB __________．
16．在数列{}n a 中，11=a ，且n
n n a a 31+=+，那么数列{}n a 的通项公式=n a __________．
三、解答题:〔解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤。

〕
17．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，假设A b B a cos sin =；
〔Ⅰ〕求A ；
〔Ⅱ〕设函数x x x x f 2
cos cos sin 3)(-=，求)(B f 的取值范围.
18．陆良县2021届和2021届都获得了辉煌的成绩，两年均有人考入清华大学或者大学，600分以
上的考生进一步创历史新高。

对此北辰中学某学习兴趣小组对2021届20名学生的数学成绩进展了
调查，所得分数分组为]150,140[,),120,110[),110,100[ ，据此制作的频率分布直方图如下图.
〔Ⅰ〕求出直方图中的a 值；
〔Ⅱ〕利用直方图估计2021届20名学生分数的众数和中位数〔同一组中的数据用该组
区间的中点值作代表〕；
〔Ⅲ〕假设从分数在)120,100[的学生中，随机的抽取2名学生进展辅导，求抽到的学生来
自同一组的概率.
19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． 〔Ⅰ〕求证：BC ⊥平面1D DB ； 〔Ⅱ〕求点D 到平面1BCD 的间隔 ．
20．椭圆C: 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为62，过点F 2作
直线交椭圆C 于M 、N 两点,MN F 1∆的周长为28。

〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程; 〔Ⅱ〕假设斜率为2
1
的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，求定点)1,2(P 与交点B A ,所构成的三角形
PAB ∆面积的最大值。

21．函数x ax x x f ln 2)(2
++-=〔R a ∈〕.
〔Ⅰ〕当1=a 时，求)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；
〔Ⅱ〕假设函数m ax x f x g +-=)()(在],1[e e
上有两个零点，务实数m 的取值范围.
二选一，请考生在第22、23、二题中任选一题做答.并时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+-=-=3
41
2t y t x 〔t 为参数〕，点A 的直
角坐标为)3,3(，以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4
cos(22θπρ-=，点B 的极坐标为)3
,
2(π
；
〔Ⅰ〕求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.
〔Ⅱ〕点P 在曲线2C 上，求点P 到直线1C 的最大间隔 .
23．选修4-5：不等式选讲
()224f x x x =-++.
〔Ⅰ〕求不等式()7f x <的解集；
〔Ⅱ〕假设关于x 的不等式()2
3f x m m ≤-有解，务实数m 的取值范围.
陆良县2021届高三毕业班第二次摸底考试
文科数学试题卷答案
一、选择题:〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的．〕
17、解：〔1〕由sin cos a B b A =及正弦定理得 sin sin sin cos A B B A =，
因为在ABC △中，sin 0B ≠，所以sin cos A A =，即tan 1A =， 所以π
4
A =
； ………6分
〔2〕因为2()cos cos f x x x x =-cos2122x x +-π1sin(2)62
x =-- 所以π1
()sin(2)62f B B =--
由〔1〕知：3π4B C +=， 所以3π04B <<， 所以ππ4π2663
B -<-<
所以πsin(2)16B <-≤，即：1
()2
f B <≤
所以()f B 的取值范围是12⎛⎤
⎥ ⎝
⎦ ………12分 18.解：〔1〕由频率分布直方图得:115.0103.02.01.0=++++a
∴025.0=a ………3分 (2) 由频率分布直方图得:2021届这20名学生分数的众数为:125; ······5分 设2021届这20名学生分数的中位数为x 那么x 满足:
)120(2.01.0-++x ×5.003.0= ∴x ≈126.7
∴2021届这20名学生分数的中位数为126.7 ······8分 (3）设事件A 为从分数在)120,100[的学生中，随机的抽取2名学生进展辅导，抽到的这 两名学生来自同一组.
那么由题意得：假设，)120,100[的6名学生中，在)110,100[的2名学生为21,A A ，
在)120,110[的4名学生为4321,,,B B B B ；那么任选2人的可能搭配情况为：
······10分 19.〔1〕证明：去BC 中点位E ，连接BE
∵该几何体为直四棱柱，∴1DD ⊥平面ABCD ，∴BC DD ⊥1
1,==⊥AD AB AB AD ， 2=∴BD
∵AB ‖DE ，1==DE AB ，AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为正方形，∴CE BE ⊥ ∴2=
BC ， 222CD BC BD =+ ，BD BC ⊥∴
∵BC DD ⊥1，BD BC ⊥，D BD DD =⋂1，DB D BD DD 11,平面⊂
∴DB D BC 1平面⊥ ······6分 (2)等体积法
由图可得：3
2
231222111=⨯⨯⨯⨯=
=--BC D D DBC D V V 由〔1〕中证明知：DB D BC 1平面⊥，∴1BD BC ⊥，∴3622
1
1=⨯⨯=∆BCD S 又∵d S V BCD BC D D ⨯⨯=∆-3111 ∴3
3
2=
d ······12分 20.解〔1〕由题意的:622=c ,2841==∆a C MN F ,∴6=c ,22=a
∴222=-=c a b
∴椭圆C 的方程为12
82
2=+y x ······4分 （2）∵直线l 的斜率为
21，∴可设直线l 的方程为m x y +=2
1
······5分 与椭圆C 的方程联立可得：04222
2
=-++m mx x ① ······6分 设),(),,,2211y x y x B A 两点的坐标为（，由韦达定理得：
m x x 221-=+，42221-=m x x ······7分
∴)4(54)(2
212
21m x x x x AB -=-+= ······8分
4
342324131214
23222124131211121,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B B A B A B A B A B A B A B A B A A A 所以15
7
)(=
A p ·····12分
点P 到直线l 的间隔 5
214
111m m d =
+-+=
， ······9分
∴)4()4(55
221
222m m m m d AB S PAB -=-⨯=⋅⨯=
∆ ······10分 由①知：0416)42(442
2
2
>-=-⨯-=∆m m m ，402
<<m ， ······11分
令2m t =，那么40<≤t ，∴2
4244t t m m -=-
令2
4)(t t t f -=，那么[)4)2(40)(=f t f 上的最大值为，
在 ∴PAB S ∆的最大值为24)(max ==t f ·
·····12分 综上所述：三角形PAB ∆面积的最大值2
21.解：〔1〕当1=a 时，x x x x f ln 2)(2
++-=，12
2)('++-=x
x x f ， ·
·····2分 ∴0)1(=f ，1)1('=f ，
∴)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为01=--y x ······4分 （3）x x m ax x f x g ln 2)()(2+-=+-=在],1[e e
上有两个零点，
∴0)(=x g 在],1[e e
上有两个解 即：x x y m y ln 22
-==与的图像在],1[e e
上有两个交点 令x x x h ln 2)(2
-=，∈x ],1[e e ，那么x
x x h 2
2)('-= ······6分
∵)('x h 为增函数，又∵o h =)1('
∴由得0)('>x h ：e x ≤<1，由0)('<x h 得：
11
<≤x e
， ∴)(x h 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，在(]e ,1上单调递增， ······8分 ∴1)1()(min ==h x h ，212,21min )(),1(min 22
2+=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧e
e e e h e h ∴x x y m y ln 22
-==与的图像在],1
[e e 上有两个交点时：21
12+≤<e
m 综上所述：实数m 的取值范围位⎥⎦
⎤
⎝⎛+21,
12e ······12分 22.解〔1〕由曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+-=-=3
41
2t y t x 〔t 为参数〕得：
1C 的普通方程为012=-+y x ······3分 由曲线2C 的极坐标方程为)4
cos(22θπ
ρ-=得：
2C 的直角坐标方程为2)1()1(2
2
=-+-y x ······5分
〔2〕由2C 的直角坐标方程得2C 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=α
αsin 21cos 21y x 〔为参数α〕
∴点P 到直线1C 的间隔 ()5
2
sin 105
2
sin 2cos 22++=
++=
ϕαααd
∴55
2255
210max +=
+=
d ······10分 23.解：〔1〕由2222,23,6,23)(≥<≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧++--=x x x x x x x f ·····3分
解分段函数不等式7)(<x f 可得{}13|<<-x x ； ·····5分 〔2〕由〔1〕知)(x f 的最小值为4)2(=-f ·····7分
∵不等式()2
3f x m m ≤-有解，m m x f 3)(2
min -≤ ·····8分
∴432
≥-m m ， ∴41≥-≤m m 或
∴实数m 的取值范围为(][)+∞⋃-∞-,41,. ······10分。