2021_2022学年新教材高中数学第五章计数原理5.2习题课排列的应用课后素养落实含解析北师大版选

课后素养落实(三十二) 习题课 排列的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( )
A ．180种
B ．220种
C ．240种
D ．260种
C [因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本
分给3个同学，故有A 14·A 35＝240种．]
2．从8人中选3人排队，其中甲乙不分开参排，若参排，就一定排在一起，其不同的排法共有( )
A ．252种
B ．278种
C ．144种
D ．362种
C [根据甲、乙的参排情况加以分类．若甲乙不参排，不同的排法有A 36
＝120种；若甲、乙参排，不同的排法有A 16A 22A 22
＝24种；所以共有不同的排法120＋24＝144种，即选C ．] 3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．6
B [当选0时，先从1，3，5中选2个数字有3种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法，剩余1个数字排在首位，共有3×2＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有3种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法，其余2个数字全排列，共有3×2A 22＝12(种)方法．
依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．] 4．若把英语单词“Look ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数为( ) A ．24 B ．10 C ．9 D ．11
D [Look 有两个相同字母，故可能出现错误1
2A 44－1＝11(种)．本题也可列举求解．] 5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( )
A．A88B．A55A44C．A44A44D．A58
B[因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有A55A44种排法．]
二、填空题
6．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号盒子中，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有________种．
30[根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理，此时有A13A33＝18种不同的放法．
综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．]
7．显示屏上的七个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色，或不显示．若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同信号数为________．
60[3个显示小孔不相邻，即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔，又因3个小孔显示的颜色不相同，故有A35＝60种不同的信号数．]
8．从1，2，3，4，…，10十个数中任取两个数，分别做对数的底数与真数，可得到________个不同的对数值．
69[从10个数中取出两个数的所有排列数为：A210＝10×9＝90．
当1为底数时，不合题意的共有9个，当1为真数时，对数值都是零，应去掉8个，又因log 23与log 49同，log 32与log 94同，log 24与log 39同，log 42与log 93同．
∴共有不同对数值90－9－8－4＝69．] 三、解答题
9．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？
[解]如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5，2与6，3与7，4与8是对称的，通过旋转后5，6，7， 8，1，2，3，4与1，2，3，4，5，6，7，8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有7！2
＝2 520种．
10．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
[解]6门课总的排法是A 66种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A 55种排法；
数学排在最后一节有A 55种排法；但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，
这种情况有A 44种排法，因此符合条件的排法应是：A 66－2A 55＋A 44＝504种．
11．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A ．10种
B ．16种
C ．20种
D ．24种
C [一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6
个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法．故选C．] 12．从0，1，3，5，7中取出不同的三个数作为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数，其中有实数根的不同的一元二次方程有( )
A．16个B．17个C．18个D．19个
C[方程有实根，需Δ＝b2－4ac≥0．当c＝0时，a，b可在1，3，5，7中任取两个，有A24个；当c≠0时，b只能取5，7，b取5时，a，c只能取1，3，共有A22个；b取7时，a，c可取1，3或1，5，有2A22个，所以有实数根的不同的一元二次方程共有A24＋A22＋2A22＝18个．]
13．(多选题)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为( )
A．A66＋A15·A15·A55B．A77－2A66＋A55
C．A16·A66－A15·A55D．A77－2A66
ABC[法一(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端，有A66种方法；
第二类，甲不在最右端，甲有A15个位置可选，乙也有A15个位置可选，其余5人有A55种排法，即A15·A15·A55种方法．故有A66＋A15·A15·A55＝3 720种方法．
法二(间接法)无限制条件的排列方法共有A77种，
而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A66种，
甲在最左端且乙在最右端的排法有A55种．
故有A77－2A66＋A55＝3 720种方法．
法三(特殊元素优先法)按最左端先安排分步．
对于最左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排列有A66种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有A15·A55种．
故有A16·A66－A15·A55＝3 720种方法．]
14．(一题两空)用数字0，1，2，3，4，5可组成________个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为________．
300 2 301[(1)法一(直接法)：A15·A35＝300(个)．
法二(间接法)：A46－A35＝300(个)．
(2)1在首位的数的个数为A35＝60．
2在首位且0在第二位的数的个数为A24＝12．
2在首位且1在第二位的数的个数为A24＝12．
以上四位数共有84个，故第85个数是2 301．]
15．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数．
(1)被4整除．
(2)比21 034大的偶数．
(3)左起第二、四位是奇数的偶数．
[解](1)被4整除的数，其特征是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20，40，04时，其排列数为3A33＝18个，当末位数是12，24，32时，其排列数为3·A12A22＝12个，故满足条件的五位数共有：
3A33＋3A12A22＝30个．
(2)可分五类：当末位数字是0，而首位数字是2时，有A12A22＋A22＝6个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12个；
当末位数字是4，而首位数字是2时，
有A22＋A11＝3个；
当末位数字是4，而首位数字是3时，
有A33＝6个．
故有(A12A22＋A22)＋A12A33＋A12A33＋(A22＋A11)＋A33＝39个．
(3)可分两类，0是末位数有A22A22＝4个，
2或4是末位数有A22A12＝4个，
故共有A22A22＋A22A12＝8个．。