数学：3.3.1基本不等式 教案 (北师大必修5)

3.3.1基本不等式2a b ab +≤ 授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理
中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤
的证明过程； 【教学难点】
基本不等式2
a b ab +≤
等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入
基本不等式2
a b ab +≤的几何背景：(课本105页阅读材料) 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代
数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民
热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为x 、y ，那么正方形的边长为22x y +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2xy ，正方形的面积为22x y +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222x y xy +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222x y xy +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈y x xy y x y x
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 2
22)(2y x xy y x -=-+
当22,()0,,()0,x y x y y x y ≠->=-=时当x 时
所以，0)(2≥-y x ，即 ：.222xy y x ≥+
4．1） 从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果我们分别用,a b 代替x 、y ，可得2a b ab +≥，
通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2
a b ab +≤
2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：
要证 2
a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式2
a b ab +≤的几何意义 探究：课本第100页的“探究”
因此：基本不等式2a b ab +≤
几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2
b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1、见课本100页例1.
思考交流：见课本101页。

[补充例题]
例2 已知x 、y 都是正数，求证：
(1)y
x x y +≥2； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x ，y 都是正数 ∴
y x ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)x
y y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2. (2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·2
22y x ·233y x ＝８x 3y 3
即：（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
3.随堂练习 课本102页练习
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2
b a +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：
ab ≤222b a +，ab ≤（2
b a +）2. 5.评价设计
课本第107页习题3-3 [B]组的第1题。

【板书设计】
【教后记】。