2020-2021学年江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学三
校高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）设集合M＝[1，3），N＝（2，5]，则M∩N＝（）
A．[1，5]B．（2，3）C．[1，2）D．（3，5]
2．（5分）已知i是虚数单位，设复数a+bi＝，其中a，b∈R，则a+b的值为（）A．B．﹣C．D．﹣
3．（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）
A．20种B．50种C．80种D．100种
4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”
你的计算结果是（）
A．80里B．86里C．90里D．96里
5．（5分）若正数a是一个不等于1的常数，则函数y＝log a x与函数y＝x a（x＞0）在同一个坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝9及圆C内的一点P（1，2），圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（﹣）•的值为（）
A．8B．16C．4D．4
8．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．若函数g（x）满足下列条件：
①g（x）是偶函数；
②g（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
③g（x）有一个零点为2．
则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是（）
A．（3，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
二、选择题（共4小题）.
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2+my2﹣2＝0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，+∞）D．（0，+∞）10．（5分）若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数y＝sin（x+）的图象，则实数φ的值可能是（）
A．B．C．﹣D．﹣
11．（5分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝4，则下列结论正确的是（）A．+的最小值为B．+的最小值为2
C．+的最小值为D．+≥1
12．（5分）设常数a∈R，n∈N*，对于二项式（1+a）n的展开式，下列结论中，正确的是（）
A．若a＜，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则a＞n
C．若a＝﹣2，n＝10，则第7项的系数最大
D．若a＝﹣，n＝7，则所有奇数项系数和为239
三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为6，则实数m的值为．
14．（5分）今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．（四舍五入，精确到整数）15．（5分）数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x＝x+…+（﹣1）n﹣1+…（n∈N*），称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC＝30°，气球的视角α＝2o，则该气球的高BC约为米．（精确到1米）
16．（5分）如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，AB CD，HG DE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为．
四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设函数f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．若f（A）＝1，a＝1，
求△ABC周长的取值范围．
18．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n+1＝a n+1，②a n+1＝a n+2，
③S n＝2a n﹣1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并
解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，对任意的n∈N*，都有____﹣；等比数列{b n}中，对任意的n∈N*，都有b n＞0，2b n+2＝b n+1+3b n，且b1＝1，问：是否存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
20．（12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如表所示．
未感冒感冒
使用血清173
未使用血清146
（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；
（2）是否有把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？请说明理由．
附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：
Ⅱ
类1类2
Ⅰ类A a b
类B c d
有χ2＝，其中n＝a+b+c+d．
临界值表（部分）为
P（χ2
0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
≥k）
k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．（12分）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x＝0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）﹣f（m）＝（n﹣m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x1是方程f（x）﹣x＝0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2﹣x1|＜1，且|x3﹣x1|＜1时，|f（x3）﹣f（x2）|＜2．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C ：﹣＝1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合M＝[1，3），N＝（2，5]，则M∩N＝（）
A．[1，5]B．（2，3）C．[1，2）D．（3，5]
解：∵M＝[1，3），N＝（2，5]，
∴M∩N＝（2，3）．
故选：B．
2．（5分）已知i是虚数单位，设复数a+bi＝，其中a，b∈R，则a+b的值为（）A．B．﹣C．D．﹣
解：由a+bi＝，得（a+bi）（2+i）＝2﹣i，
则（2a﹣b）+（a+2b）i＝2﹣i，
∴，解得，
∴a+b＝．
故选：D．
3．（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）
A．20种B．50种C．80种D．100种
解：根据题意，分2种情况讨论：
①从5人中选4人参加活动，先在5人中选出2人，安排到图书馆做志愿者，有C52＝
10种分法，
再从剩下的3人中选出2人，安排在食堂做志愿者，有C32＝3种分法，
此时有10×3＝30种安排方法，
②5人全部参加志愿活动，先在5人中选出3人，安排到图书馆或食堂做志愿者，有2C53
＝20种分法，
再把剩下的2人安排在剩下场所做志愿者，有1种情况，
此时有20×1＝20种安排方法，
此时有30+20＝50种安排方法，
故选：B．
4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”
你的计算结果是（）
A．80里B．86里C．90里D．96里
解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得＝378，
解得a1＝192，∴此人第二天走192×＝96里，
∴第二天走了96里，
故选：D．
5．（5分）若正数a是一个不等于1的常数，则函数y＝log a x与函数y＝x a（x＞0）在同一个坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
解：若0＜a＜1，幂函数f（x）＝x a（x＞0）为上凸的增函数，对数函数g（x）＝log a x 为减函数，四个选项均不适合，
若a＞1，幂函数f（x）＝x a（x＞0）为下凹的增函数，对数函数g（x）＝log a x为增函数，故图象可能是C；
综上可知，选C．
故选：C．
6．（5分）设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
解：∵0＜0.32.1＜0.30＝1，2.10.3＞2.10＝1，，
，
∴b＞a＞c＞d．
故选：C．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝9及圆C内的一点P（1，2），圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（﹣）•的值为（）
A．8B．16C．4D．4
解：由题意可知AB⊥MN，圆C的半径为r＝3，OP＝，
∴＝0，AB＝2＝4，
∴（）•＝[﹣（）]＝（+）＝+＝＝16．
故选：B．
8．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．若函数g（x）满足下列条
件：
①g（x）是偶函数；
②g（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
③g（x）有一个零点为2．
则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是（）
A．（3，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
解：已知g（x）是偶函数，在区间[0，+∞）上是增函数，且g（2）＝0，
可得g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且g（﹣2）＝0，
因为f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．
所以f（x）是函数g（x）的图象向右平移1个单位长度得到的函数，
所以f（x）关于x＝1对称，在[1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，1）上是减函数，且f（3）＝f（﹣1）＝0，
所以当x＜﹣1或x＞3时，f（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，f（x）＜0，
则不等式（x+1）f（x）＞0可转化为或，
即或，
解得x＞3，
即不等式的解集为（3，+∞）．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2+my2﹣2＝0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，+∞）D．（0，+∞）解：当m＜0时，x2+my2﹣2＝0表示双曲线，焦点坐标在x轴，
准线垂直于x轴的圆锥曲线，
当m＞1时，x2+my2﹣2＝0的焦点坐标在x轴上的椭圆，满足准线垂直于x轴，
所以实数m的取值范围：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
故选：AB．
10．（5分）若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数y＝sin（x+）的图象，则实数φ的值可能是（）
A．B．C．﹣D．﹣
解：若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，可得y＝A sin（ωx ﹣+φ）的图象；
再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），y＝A sin（x﹣+φ）的图象．
由于最后得到函数y＝sin（x+）的图象，
∴ω＝2，﹣+φ＝+2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，可得φ＝，令k＝﹣1，可得φ＝﹣，
故选：AC．
11．（5分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝4，则下列结论正确的是（）A．+的最小值为B．+的最小值为2
C．+的最小值为D．+≥1
解：∵a＞0，b＞0，且a+2b＝4，∴+＝1，
∵+＝（+）（+）＝++≥+2＝+，当且仅当时取“＝“，∴A选项错误；
∵+＝（+）（+）＝1++≥1+2＝2，当且仅当时取“＝“，∴B选项正确；
∵+＝（+）（+）＝+（+）≥+×2＝，时“＝“，∴C选项正确；
∵+＝+＝+﹣（+）＝+﹣
（+）×（a+1+2b+2）＝×+×﹣≥2﹣＞2≥1，∴D 选项正确．
故选：BCD．
12．（5分）设常数a∈R，n∈N*，对于二项式（1+a）n的展开式，下列结论中，正确的是（）
A．若a＜，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则a＞n
C．若a＝﹣2，n＝10，则第7项的系数最大
D．若a＝﹣，n＝7，则所有奇数项系数和为239
解：二项式（1+a）n的展开式的通项为T r+1＝a r∁n r x，
对于A：若a＜0，则各项系数一正一负交替出现，故A不对，
对于B：对于任意的r＝0，1，2，…，n﹣1，都成立，
所以a＞0，且对任意的r都成立，
∴a＞n，故B正确；
当a＝﹣2，n＝10，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，
所以，只需比较，，…，，，
即可，
可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故C正确；
当a＝﹣，n＝7，则奇数项系数和为：
＝239，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为6，则实数m的值为±3．
解：∵抛物线y2＝mx上的焦点F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）
则可设直线AB的方程为y＝x﹣，
联立方程，整理得x2﹣x+＝0，
由韦达定理可得：x1+x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝•＝＝6，
解得m＝±3；
故答案为：±3．
14．（5分）今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是367209元．（四舍五入，精确到整数）
解：设每次还款额为y元，
则：106（1+5%）3＝y+y（1+5%）+y（1+5%）2，
∴，
∴y＝≈367209（元），
所以每次还款额为367209元．
15．（5分）数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x＝x+…+（﹣1）n﹣1+…（n∈N*），称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC＝30°，气球的视角α＝2o，则该气球的高BC约为86米．（精确到1米）
解：如图所示，
由题意知，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，所以BC＝AB；
在Rt△ABM中，∠MAB＝1°＝≈0.0174，
所以sin0.0174＝≈0.0174，
解得AB≈172，
所以BC＝×172＝86（米），
即该气球的高BC约为86米．
故答案为：86．
16．（5分）如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，AB CD，HG DE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为108．
解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，则AD∥BC，
AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD∥平面BCF，
又四边形CDEF为平行四边形，DE⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF，又AD∩DE＝D，∴平面ADE∥平面BCF，
再由AB∥CD∥EF，可得ADE﹣CBF为三棱柱；
同理可证DCH﹣EFG为三棱柱．
在三棱柱ADE﹣CBF中，连接CE，BE，DB，
∵AB到平面CDEF的距离都是3，∴B到平面CEF的距离为3，
又CDEF是边长为6的正方形，∴，
V B﹣CDE＝V B﹣CEF＝V E﹣BCD＝V E﹣ABD＝18，则V DAE﹣CBF＝3×18＝54；
同理可得V DCH﹣EFG＝54．
∴该多面体的体积为54+54＝108．
故答案为：108．
四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设函数f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．若f（A）＝1，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
解：（1）因为f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1
＝4•﹣2sin2x+1
＝2cos2x﹣2sin2x+2+1
＝4cos（2x+）+2+1
所以f（x）的最小正周期T＝＝π，值域为[﹣3+2，5+2]．
（2）因为f（A）＝4cos（2A+）+2+1＝1，
可得cos（2A+）＝﹣，
因为A为锐角，可得2A+∈（，），可得2A+＝，解得A＝，又因为a＝1，
所以由正弦定理可得＝，
所以b+c＝sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝cos B+sin B＝2sin （B+），
又△ABC为锐角三角形，则，解得B∈（，），
∴B+∈（，），
故sin（B+）∈（，1]，
则2sin（B+）∈（，2]，
即△ABC周长a+b+c＝2sin（B+）+1的取值范围为（1+，3]．
18．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n+1＝a n+1，②a n+1＝a n+2，
③S n＝2a n﹣1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并
解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，对任意的n∈N*，都有____﹣；等比数列{b n}中，对任意的n∈N*，都有b n＞0，2b n+2＝b n+1+3b n，且b1＝1，问：是否存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．
解：设等比数列{b n}的公比为q，
因为对任意的n∈N*，都有2b n+2＝b n+1+3b n，
所以2q2＝q+3，解得a＝﹣1或q＝，
因为对任意的n∈N*，都有b n＞0，所以q＞0，从而q＝，
又b1＝1，所以b n＝（）n﹣1，
显然，对任意的n∈N*，b n＞0，
所以，存在k∈N*，对任意的n∈N*，都由a n b k≤a k b n，即≤，
记c n＝，n∈N*，下面分别就选择①②③作为条件进行分析，
①因为对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+1，即a n+1﹣2＝（a n﹣2），
又a1＝1，即a1﹣2＝﹣1≠0，所以a n﹣2≠0，从而＝，
所以数列{a n﹣2}是等比数列，公比为，
得a n﹣2＝﹣（）n﹣1，即a n＝2﹣（）n﹣1，
所以c n＝＝，从而＝，
由≤1，即2n≥2，所以n≥1，得c1＝c2
当n≥1时，c n+1＜c n，
所以n＝1或2时，c n取得最大值，即取得最大值，
所以对任意的n∈N*，都有≤＝，即a n b1≤a1b n，a n b2≤a2b n，
所以存在k＝1，2使得对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n．
②对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+2，即a n+1﹣a n＝2，
所以数列{a n}是等差数列，公差为2，
又a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
所以c n＝＝（2n﹣1）（）n﹣1＞0，从而＝，
由≤1，即2n≥5，解得n≥，
得当n≤2时，c n+1＞c n；当n≥3时，c n+1＜c n，
所以当n＝3时，c n取得最大值，即取得最大值．
所以对任意的n∈N*，都有≤，即a n b3≤a3b n，a n b2≤a2b n，
所以存在k＝3使得对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n．
③因为对任意的n∈N*，都有S n＝2a n﹣1，所以S n+1＝2a n+1﹣1，
从而a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1﹣1﹣（2a n﹣1）＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝2a n，又a1＝1＞0，所以a n＞0，且＝2，
从而数列{a n}是等比数列，公比为2，得a n＝2n﹣1，
所以c n＝＝（）n﹣1＞0，
从而＝＜1，所以c n+1＜c n，
所以，当n＝1时，c n取得最大值，即取得最大值，
所以对任意的n∈N*，都有≤，即a n b1≤a1b n，
所以存在k＝1，使得对任意n∈N*，都有a n b k≤a k b n．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（，，），
所以＝（，，），＝（﹣1，1，0），
＝（﹣1，0，a）．
（1）因为平面PBD，所以＝＝0．
即﹣+＝0，所以a＝1，即PA＝1．
（2）由＝（0，1，0），＝（，，），
可求得平面AMD的一个法向量n＝（﹣1，0，1）．
又＝（﹣1，﹣1，1），所以cos＜n，＞＝＝＝．
设PC与平面AMD所成角为θ，则sinθ＝，
即PC与平面AMD所成角的正弦值为．
20．（12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如表所示．
未感冒感冒
使用血清173
未使用血清146
（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；
（2）是否有把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？请说明理由．
附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：
Ⅱ
类1类2
Ⅰ类A a b
类B c d
有χ2＝，其中n＝a+b+c+d．
临界值表（部分）为
P（χ2
0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
≥k）
k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）使用血清的人数为X＝0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
于是X的分布列为：
X0123
P
（2）根据题目所给的数据，得到的2×2列联表如下；
未感冒感冒总计使用血清17320
未使用血清14620总计31940提出假设H0，是否使用这种血清与感冒没有关系，
由表中数据χ2＝＝≈1.2903＜1.323，
因为当H0成立时，χ2≥0.708的概率约为40%，χ2≥1.323的概率约为25%，
所以有60%把握认为，是否使用这种血清与感冒有关系，即使用该种血清能预防感冒，得到这个结论的把握不到75%，
由于得到这个结论的把握低于90%，因为我们的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说明使用这种血清不能预防感冒．
21．（12分）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x＝0有
实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）﹣f（m）＝（n﹣m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x1是方程f（x）﹣x＝0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2﹣x1|＜1，且|x3﹣x1|＜1时，|f（x3）﹣f（x2）|＜2．
解：（I）因为
，
又因为当x＝0时，f（0）＝0，
所以方程f（x）﹣x＝0有实数根0．
所以函数是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）﹣x＝0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α＝0，f（β）﹣β＝0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）﹣f（α）＝（β﹣α）f'（c）成立．
因为f（α）＝α，f（β）＝β，且α≠β，
所以f'（c）＝1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x2）＜f（x3），
又因为f'（x）﹣1＜0，
所以函数f（x）﹣x为减函数，
所以f（x2）﹣x2＞f（x3）﹣x3，
所以0＜f（x3）﹣f（x2）＜x3﹣x2，
即|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|，
所以|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|＝|x3﹣x1﹣（x2﹣x1）|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|＜2（13分）
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：﹣＝1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．
解：（1）双曲线C：﹣＝1的准线为y＝±，即y＝±3，
渐近线的方程为：y＝x，
由题意可得椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程+＝1（a＞b＞0），
所以可得＝＝3，可得b2＝①，
将y＝x，代入椭圆中，可得（+）x2＝1，所以x＝±，
所以弦长为|x1﹣x2|＝2×2＝4，
整理可得＝2②，
由①②可得a2＝24，b2＝，或a2＝9，b2＝6，
所以椭圆的方程为+＝1或+＝1；
（2）当椭圆的方程为+＝1，
当﹣3≤m≤3时，过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点；
当m＞3或m＜﹣3时，由题意可得直线的斜率存在且不为0，设为k，
联立可得（3+2k2）x2+4kmx+2m2﹣18＝0，
由△≥0可得（4km）2﹣4（3+2k2）（2m2﹣18）≥0，
化为m2≤9+6k2，
即k2≥①
将k换为﹣，可得m2≤9+，
即≥②
首先＞0，所以满足①②的k存在等价为0＜≤1，
即3＜|m|≤，
综上可得m的范围是[﹣，]；
当椭圆的方程为+＝1，同理可得m的范围是[﹣，]．。