《量子力学教程》第二版答案及补充练习(1)

第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）
； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e
c
hv d kT
hv v v 1
183
3
-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
,1
18)()(5
-⋅=⋅=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-=kT
hc v v e
hc c
d c d d dv λλλ
πλλρλ
λ
λρλ
ρ
ρ
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011
511
86
'=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-⋅+--⋅=
-kT hc kT
hc
e kT hc e
hc
λλλλλπρ
⇒ 0115=-⋅+
--kT
e
kT
hc λ
⇒ kT
hc e
kT
hc λλ=
--
)1(5 如果令x=
kT
hc
λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5
这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk
hc T m =
λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知
K m T m ⋅⨯=-3109.2λ
这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv ，
λ
h
P =
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么
e
p E μ22
= 如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
p
h
=
λ
nm
m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296
6
2=⨯=⨯⨯⨯⨯==
=
--μμ
在这里，利用了
m eV hc ⋅⨯=-61024.1
以及
eV c e 621051.0⨯=μ
最后，对
E
c hc e 2
2μλ=
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是kT E 2
3=（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解 根据
eV K k 3101-=⋅，
知本题的氦原子的动能为
,105.12
3
233eV K k kT E -⨯=⋅==
显然远远小于2c 核μ这样，便有
E
c hc
2
2核μλ=
nm
m
m
37.01037.010
5.1107.321024.193
96
=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--- 这里，利用了
eV eV c 962107.3109314⨯=⨯⨯=核μ
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为
T
kc hc E
c hc 2
2
22μμλ=
=
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--⋅⨯=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为
⎰=nh pdq
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有
222
12kx p E +=μ
这样，便有
)2
1
(22kx E p -±=μ
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。

此外，根据
22
1kx E =
可解出 k
E x 2±
=±
这表示谐振子的正负方向的最大位移。

这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
⎰⎰
-+
+
-
=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )21
(2)()21(222μμ
⇒
nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-⎰⎰
+-
-
+
)2
1
(2)21(222μμ
⇒
h
n dx kx E x x 2)21(22=-⎰
+
-
μ
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
θsin 2k
E
x =
这样，便有
h n
k E d E 2
sin 2cos 222
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰
-θθμπ
π ⇒
⎰
-=⋅
2
2
2
cos 2cos 2π
πθθθμh n d k E E
⇒
h n
d k E 2
c o s 222=⋅
⎰
=π
πθθμ
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分
⎰-⋅
=22
2sin 2π
πθθμ
d k
E B
这样，便有
⎰⎰--⋅
=-⋅=⋅
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμ
μ
πθμ
d k
E B A k
E d k
E B A （1）
⎰⎰--==22
22
,
cos )
2(2cos π
ππ
πϕϕϖ
θθμ
d k
E
d k
E
这里ϕ =2θ，这样，就有
0sin ==-⎰-π
π
ϕμ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有
k
E A μ
π
=
这样，便有
h n
k E 2
=μ
π
⇒ k
h n E μπ2=
,
k nh
μ
=
其中π
2h
h =
最后，对此解作一点讨论。

首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
B q R
υυμ
=2
⇒ q B R p ==μυ
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
⎰
=π
θ20
)(nh R qBRd
⇒ nh qBR =⋅π22 ⇒ nh qBR =2
又因为动能耐μ
22
p E =，所以，有
μμ22)(2222R B q qBR E ==
,22B nBN q nB qBn =⋅==
μμ
其中，μ
2
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且
B BM E =∆
具体到本题，有
J J E 232410910910--⨯=⨯⨯=∆
根据动能与温度的关系式
kT E 2
3=
以及
J eV K k 223106.1101--⨯==⋅
可知，当温度T=4K 时，
J J E 2222106.9106.145.1--⨯=⨯⨯⨯=
当温度T=100K 时，
J J E 2022104.2106.11005.1--⨯=⨯⨯⨯=
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。

1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
2c hv E e μ==
此外，还有
λ
hc
pc E =
=
于是，有
2
c hc
e μλ
=
⇒
2c hc e μλ=
nm
m m 3126
6104.2104.21051.01024.1---⨯=⨯=⨯⨯= 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。

能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。

第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令
)]
r ()r ()r ()r ([m
2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i Et i **
Et i Et i **Et i
ψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，
可见t J 与
无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k r i k r e r
e r -==
1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ϕ
θθϕθ∂∂
+∂∂+∂∂=∇s i n r 1e r 1e r r 0
r
mr
k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3020
220
1*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1
(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1
与同向。

表示向外传播的球面波。

r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ikr ikr ikr ikr *2*222
-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∞==⎰
⎰
∞
∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)(2
=⎰
∞
dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为
12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场
⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψ
令222
mE
k =
，得 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得
)0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=⇒B
⑥
0sin =⇒ka A )
,3 ,2 ,1( 0s i n 0
==⇒=∴≠n n ka ka A π ∴x a
n A x π
ψsin
)(2=
由归一化条件 1)(2
=⎰
∞
dx x ψ
得 1s i n
22
=⎰
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ⎰
=*2
sin sin
x a n a x a
A πψs i n 2)(22=
∴=
⇒
222 mE
k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
⇒n n ma
E n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤≤=-a x x a x xe a
n a t x t E i n n ,0 ,0 0 ,sin 2),(
πψ #
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1=
' 证：
⎪⎩
⎪⎨
⎧≥<+'=a
x a x a x a n A n
,0
),(sin π
ψ
（2.6-14）
由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a
a
a
a
a a
a a
a
n 222
2222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+⋅'-'=+'-'=
+-'
=+'==-----∞
⎰
⎰⎰⎰πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1
=
' #
2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解：2
22122)(x xe x ααπ
α
ψ-⋅=
222
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x ααπ
α
π
α
αψω--⋅=⋅⋅
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--= 令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，
0)(1=x ω。

显然不是最大几率的位置。

222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=而 01
42 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。

#
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2x E x x U x dx d ψψψ=+- ①
将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2x E x x U x dx
d -=--+--ψψψ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2x E x x U x dx
d -=-+--ψψψ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。

由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。

方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -↔而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-⇒ ④
由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

)()( x c x -=⇒ψψ ⑤
④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ⇒具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ⇒具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。

#
2.7 一粒子在一维势阱中
⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=a x a x
U x U ,0
,0)(0
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。

解法一：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 21101
22
2ψψψμ=+-
a x <<∞- ①
Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx
d ψψμ=- a x a ≤≤- ②
Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx
d 233032
2
2ψψψμ=+- ∞<<x a ③
整理后，得
Ⅰ： 0)
(212
01=--''ψμψ
E U ④ Ⅱ：. 0E
2222
=+''ψμψ
⑤ Ⅲ：0)
(232
03
=--''ψμψ
E U ⑥ 令 2
2
2
20212 )(2 E k E U k μμ=-= 则
Ⅰ： 01211
=-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 02222=-''ψψk ⑧
Ⅲ：01213
=-''ψψk ⑨
各方程的解为
x
k x k 3222x
k x k 11
1
1
1
Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有
)(0
)(31=⇒∞=⇒-∞E A 有限有限ψψ
因此
x
k 3x
k 11
1Fe
Be -==ψψ 由波函数的连续性，有
)13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a ()12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a ()11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a ()10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232
a
k 22322222a k 121
22a k 211
1
1
1
-----=-⇒'='=+⇒=+=⇒-'=-'+-=⇒-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
F e k aD k sin k aC k cos k 00
F e
aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k
00aD k cos aC k sin B e a k 12222a
k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+----
解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组
有非零解，必须
0Be k a k sin k a k cos k 0
e a k cos a k sin 00
a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a
k 12222a
k 222222a
k 122a k 1111=--------
]a k 2c o s k k 2a k 2s i n
)k k [(e ]a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]
a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e
k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0
a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0
a k sin k a k cos k e 022122122a k 2221222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a
k 2222a k 21a k a
k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==
-----
----=------------------
∵ 012≠-a k e
∴02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k
即 022)(2122122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。

#
解法二：接（13）式
a k sin D k k
a k cos C k k a k cos D a k sin C 21
221222+=
+- a k sin D k k
a k cos C k k a k cos D a k sin C 21
221222+-
=+
2cos k 2 2sin )( 0
2cos 2 2sin ) 1( 0
cos sin cos sin cos sin 0
)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ()cos sin )(sin cos (0
)cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212
22122212
22222122212222122221
222122212221222122212221
2
2212221
2
2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k
a k k k a k a k a k k k
a k k k a k a k k k a k a k k k
a k a k k k a k a k k k
a k a k k k a k a k k k
a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k
#
解法三：
(11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=⇒- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=⇒-
)a ( k a tgk k )
12()10()
13()11(122=⇒+-
(11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=⇒ (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=⇒
令 ，，a k a k 22==ηξ 则
)d ( ctg )
c ( tg ηξξηξξ-==或
)f ( a U 2)k k (2
2022
21
2
2
μηξ=+=+ 合并)b ()a (、：
k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( )
13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ⇒ - +
212221222k k k k a k tg -=
利用a
k tg 1a
tgk 2a k 2tg 22
22-= #
解法四：（最简方法-平移坐标轴法）
Ⅰ：1101
2
2ψψψμE U =+''- （χ≤0） Ⅱ：22
2
2ψψμE =''- （0＜χ＜2a ） Ⅲ：3303
2
2ψψψμE U =+''-
（χ≥2a ） ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=--''=+''=--''⇒0)(20
20)(232
0322212
01ψμψψμψψμψ E U E E U ⎪⎩⎪⎨⎧=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 3
2132
222222202
11211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U x
k x k x
k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1
1
1
1
32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ 0
)(0
)(31=⇒∞=⇒-∞E B 有限有限ψψ
因此
x
k x k Fe
Ae 1131 -==∴ψψ
由波函数的连续性，有
)
7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2()6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2()5( C k A k ),0()0()4( D A ),0()0(a k 22232a
k 21222232
2121
211
1
--=+⇒=-=-⇒'='=⇒'='=⇒=ψψψψψψψψ
(7)代入(6)
a k D k k
a k C k k a k D a k C 21
2212222sin 2cos 2cos 2sin +-=+ 利用(4)、(5)，得
a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k k
k k (0A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k
k k [(A a k 2sin D k k
a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 2212212221221221221
22121
222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得
两边乘上
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0
,)(10
x b
b x a
U a x U x x U
求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。

定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为
Ⅰ：)0( )(2111
2
<=+''-x E x U ψψψμ Ⅱ：)0( 22202
2
a x E U <≤=+''-ψψψ Ⅲ：)( 23313
2
b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 0244
2
x b E <=+''-ψψμ
对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ
而 . 0)
( 222
02
=--''ψμψ
E U ① 0)
( 232
13=++''ψμψ E U ② 02424
=+''ψμψ
E
③ 对于束缚态来说，有0<<-E U
∴ 02212
=-''ψψk 2
021)
( 2 E U k -=μ
④
03233=+''ψψk 2
12
3)
( 2
E U k +=
μ ⑤ 04244=+''ψψk 22
4/2 E k μ-=
⑥
各方程的解分别为
x
k x k x
k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 3
3
1
1
42232cos sin -+-+=+=+=ψψψ
由波函数的有限性，得
0 )(4=⇒∞E 有限，
ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得
A B -=⇒
= )0()0(21ψψ ∴ )(332x k x k e e A --=ψ
a k D a k C e e A a a x k x k 2232c o s s i n
)()()(33+=-⇒=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133
sin cos )()()(33-=+⇒'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+⇒=ψψ ⑨
b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243
cos sin )()(--=-⇒'='ψψ ⑩
由⑦、⑧，得a
k D a k C a
k D a k C e e e e k k a
k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)s i n c o s ()s i n c o s (
223
22232=+-=+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令21
11
11k k e
e e e a k a k a k a k ⋅-+=--β，则①式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
0)s i n c o s ()c o s s i n ()
c o s s i n ()s i n c o s (
2222223
22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k
b k b k k k ββ )
()1()( 0
)1)(((c o s ))((sin 0
cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3
23223223222222223
222322222223
222322232
22223
2
22ββββββββββ-+=-=+-+--=+--
-+++
++=+-
⋅⋅--++k k
k k a b tgk k k
a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k
a k
b k k k a k b k a k b k a k b k k k
a k
b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即
把β代入即得
)()1()( 111111112132322a
k a k a
k a k a k a k a k a k e
e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。

#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。

见附页。

））
（）
（b k a k e k b k a k e k b k a k e k b k a k e k k e e k b k a k e k b k a k e k k b k a k e k b k a k e k k e e e k b k k b k k e b k b k a k a k e e k e k b k k b k k e b k b k a k k a k k e e e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e a k a k e e b k b k b k b k b k b k a k a k a
k a k a k a k a
k a
k a k a
k a
k a k a k a
k a k a
k a k a k a k a k 22222322222321222222322222223232222222213222222222232222222222222s i n s i n s i n c o s c o s c o s c o s s i n )( s i n c o s s i n s i n c o s s i n c o s c o s )( s i n c o s c o s s i n 0c o s s i n )( s i n c o s c o s s i n 0s i n c o s )(00s i n c o s 0c o s s i n 00
s i n c o s )(0c o s s i n )(33331133331133113311331111--------------------++-+------=
----=+--
----==---+---
)](sin )()(cos )[( )](sin )()(cos )([)](cos )(sin )[( )](sin )(cos )[(31313113112312
2223123122223122123122
2232=-++----+-+-=-+----+---=-------b k a k b
k a k b
k a k a k b
k a k a k e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k a b k k k e e e a b k k a b k k k e e
)( )()()]()[( 0
)]()()[( )]()()([ 231223123122
2312
2
231222312312
22311133=--+--+--=-++----++-⇒--k k k e k k k a b tgk k k k e k k k e a b tgk k k k k k k e a b tgk k k k k k k a
k a
k b k b
k
此即为所求方程。

#
补充练习题一
1、设 )()(222
1为常数αψαx Ae
x -=，求A = ？ 解：由归一化条件，有 ⎰⎰
∞
∞
--∞
∞
--==)x (d e 1
A )x (d e
A
12
22
2x 2
x 2αααα
π
α
α1
A dy e 1
A 2
y 2
2
==⎰∞
∞
--
∴π
α
=
A #
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。

解：基态能量为ω 2
10=E 设基态的经典界限的位置为a ，则有
ωμω 2
1
21220==a E
∴0a 1
a ==
=μω
在界限外发现振子的几率为
)t 2
1
y ]dt e 212
2[2
]
dy e dy e [2
dy
e 2)x (d e 2
)( dx e 22
2/t 1
y y 1
y a )x (a x 2
2
22
02
02
2=
-
=
-====⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰∞
--∞
--∞
∞
--∞
-∞
-∞
-（令偶函数性质π
π
ππ
π
παπ
π
α
αα
式中
⎰
∞
--2
2
/221
dt e
t π
为正态分布函数⎰
∞
--=
x
t dt e x 2/2
21
)(π
ψ
当)2(2ψ时的值=x 。

查表得92.0)2(= ψ
∴]92.0[⨯-∂
=πππ
ω
16.0)92.01(2=-=
∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。

#
3、试证明)x 3x 2(e 3)x (33x 21
2
2ααπ
αψα-=
-是线性谐振子的波函数，并求此波) ( 2
2 0
2
2 0
2
2 0 x a x a x e dx e dx e α
α
α π
α ψ π α π α ω - ∞ - - ∞ - - =
+ = ⎰
⎰
函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为
)()(2
1
)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ①
把)(x ψ代入上式，有
)3x 9x 2(e 3e )]3x 6()x 3x 2(x [3)]x 3x 2(e 3[dx d )x (dx d 2345x 21x 2
1
2
333233x 21
2
22
222αααπ
ααααααπ
αααπ
αψααα-+-=-+--=-=--- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2345x 212
222αααπαψα
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-+--=
--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe
3335x 21
2345x 2122222ααααααπ
ααα )
x ()7x ()
x 3x 2(e 3)7x (22433x 21
2242
2ψααααπ
α
ααα-=--=- 把)(22
x dx
d ψ代入①式左边，得
)
()
(2
7 )
(21)(21)(27 )(2
1
)(2)(27 )
(2
1)(2)(27 )(21)(22222222422222422
22
22
22x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψμωψμωωψψμωψμωμψμμωψμωψαψαψμωψμ==+-=+-⋅⋅=+-=+-=右边）（左边 当ω 2
7=E 时，左边 = 右边。

n = 3
)32(3)(33212
2x x e dx
d x x ααπαψα-=-，是线性谐振子的波函数，其对应
的能量为ω 2
7。

第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
αψ2
2
22)(--
=
，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ
22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞
∞--==
dx e x x U x
2
222222121απ
αμωμω
μωμωαμωαπαπαμω
⋅==⋅=
22
222241212121221 ω 4
1
=
(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122
*2ψψμ
μ ⎰∞∞
----=dx e dx d e x x 2
22
221222
21)(21ααμπα ⎰∞
∞---=
dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα ][22
22
22222⎰⎰∞∞
--∞∞---=
dx e x dx e x x
ααααμ
πα
]2[23222απ
απαμπα⋅-=
μω
μαμ
απαμπα⋅
===442222222 ω 4
1
=
或 ωωω 4
14121=-=-=U E T
(3) ⎰=dx x x p c p )()
()(*ψψ 212
221⎰∞
∞---=
dx e e Px i
x απ
απ ⎰
∞
∞
---=
dx e
e
Px i x
222
1
21
απ
απ
⎰
∞
∞
--+-=
dx e
p ip x 2222)(21 21
αααπ
απ
⎰
∞
∞
-+--
=
dx e
e ip x p 2222
22)(212 21
αααπ
απ
παπαπα221
2
22
2
p e -=
2
22
21
απ
αp e
-=
动量几率分布函数为 2
221
)()(2
απ
αωp e p c p -
==
#
3.2.氢原子处在基态0/30
1
),,(a r e a r -=πϕθψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(02
200/230
2
0⎰⎰⎰⎰
∞-=
= ⎰∞-=0
/23300
4dr a r a a r
04030232!34a a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
22
03020
/23
2
20
/23
2
20
2/23
2
2214 4 s i n s i n 1)()2(000a e a a e dr
r e a e d drd r e a e d drd r e r
a e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
∞
-∞
-∞
-ππππϕ
θθπϕθθπ
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰
=
ππ
ϕθθϕθψω0
20
22 s i n )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2
/230
04-=
2/230
04)(r e a r a r -=
ω 0/2030
)2
2(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令
0321 , ,0 0)
(a r r r dr
r d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置
/222
003022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω 08)(2
3
220<-=-=e a dr r d a r ω
∴ 0a r =是最可几半径。

(4)
222ˆ21ˆ-==μ
μ p T ⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002
/2/3
2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr
d r dr d r
e a a r a r ⎰
∞
----=0
/0
203
2 )2(1
(240
dr e a r r a a a r μ
2
02
20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p ),,()
()(*
⎰= ⎰⎰⎰
-∞
-=
π
π
θϕθθππ20
cos 0
2
/30
2
/3 sin 1
)2(1
)(0
d d e
dr r e
a p c pr i
a r
⎰⎰-=
-∞
-π
θθπππ0
c o s 0
/230
2
/3)cos ( )
2(20d e
dr e r a pr i
a r
⎰
∞
--=
c o s /230
2
/30)
2(2πθπππpr i
a r e ipr
dr
e r a
⎰∞---=
/30
2
/3)()2(20dr e e re ip a pr i pr i a r
πππ ])1(1)1(1[)2(22
020302
/3p i a p i a ip a
+--=
πππ 2
2
22
003
30)1(421
p a a ip
ip a +=
π 22220
4400330)(24
+=p a a a a π
2
22202/30)
()2(
+=p a a π 动量几率分布函数
4
22025302
)
(8)()(
+==p a a p c p πω #
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2
s i n
m n e r m e J ψθμϕ=
证：电子的电流密度为
)(2*
*m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ
∇-∇-=-= ∇在球极坐标中为 ϕθθϕθ∂∂
+∂∂+∂∂=∇s i n 11r e e r r e r
式中ϕθe e e r
、、为单位矢量
])s i n 11( )s i n 11([2*
*
m
n r
m n m
n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψϕθθψψ
ϕθθψμϕθϕθ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=-=
)]sin 1sin 1()1 1()([2*
****
*m n m
n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψϕ
ψθψϕψθψθψψθ
ψψψψψμϕθ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-
=
m n ψ中的r 和θ部分是实数。

∴ ϕψψθμe im im r ie J m n m n e
)(sin 222---
= ϕψθ
μe r m e m n
2sin -=
可见，0==θe er J J 2
s i n
m n e r m e J ψθμϕ-
=
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。

(1)求一圆周电流的磁矩。

(2)证明氢原子磁矩为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧--==)( 2)( 2CGS c me SI me M M z μμ 原子磁矩与角动量之比为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=)( 2)( 2C G S c e
SI e
L M z z μμ 这个比值称为回转磁比率。

解：(1) 一圆周电流的磁矩为
A dS J iA dM e ⋅==ϕ （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积） 22
)s i n (s i n
θπψθμr dS r m e m n ⋅-
=
dS r m
e m n 2
sin ψθπμ
-
=
θψθπμ
d r d r m
e m n 2
2s i n -
= )(θr d r d dS =
(2)氢原子的磁矩为 ⎰⎰⎰
∞
-
=
=πθθψπμ
22
s i n d r d r m
e dM M m n
⎰⎰∞⋅-
=πθθψπμ
0022
s i n 22d r d r m e m n
ϕθθψμππd d r d r m e m
n ⎰⎰⎰∞-
=20002
2 s i n 2
μ
2m
e -
= )(SI 在CGS 单位制中 c
m
e M μ2 -
==
原子磁矩与角动量之比为
)( 2SI e
L M L M z z z μ
-== )( 2C G S c
e
L M z z μ-= # 3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22=，L 为角动量，
求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =
哈米顿算符 22
222ˆ21ˆϕ
d d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H
与ˆ无关，属定态问题)
)
(2)( )()(2222
222ϕφϕϕφϕφϕφϕ
IE
d d E d d I -==-
令 222
IE
m =
，则 0)()( 2
2
2=+ϕφϕ
ϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有
ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为I
m E m 22
2 = (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

定态波函数为
ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件
π
π
ϕϕφφπ
π
2121 220
220
*
=
⇒===⎰⎰A A d A d m m
∴ 转子的归一化波函数为 ϕπ
φim m e 21=
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
2ˆ21ˆL I
H
= t H
与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为
),(),(ˆ212
ϕθϕθEY Y L I
= (式中),(ϕθY 设为H
ˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθI E Y Y L
= 令 22 λ=IE ，则有
),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L
= 此即为角动量2ˆL
的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数ϕθϕθim m
m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为
2)1(2
I
E +=
可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

#
3.6 设t=0时，粒子的状态为
]c o s [s i n )(212kx
kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(21
21212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ
]c o s 2c o s 1[2
kx kx A
+-=
)]()(1[2
1221ikx ikx kx i kx i e e e e A --++--=
ππ21
][2221212212210⋅
++--=
--i k x i k x kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0
动能μ22
n p 的可能值为μ
μμμ2 2 2 2 02
2222222 k k k k
对应的几率
n
ω应为
π2)16
16 16 16 4(2
2222⋅A A A A A
π2)8
1
81 81 81 21(A ⋅ 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得
ππω222)1644(12
22⋅=⋅⨯+==∑A A A n
n ∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为
216
2162162216202
222=⋅⨯-⋅⨯+⋅⨯-⋅⨯+==∑ ππππωA k A k A k A k p p n
n
n
∑==n n n p p T ωμ
μ2222
281
2281202222⨯⨯+⨯⋅+=μμ k k
μ
852
2 k =
#
3.7 一维运动粒子的状态是
⎩⎨⎧<≥=-0
,0 0
,)(x x Axe x x 当当λψ
其中0>λ，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由 ⎰⎰∞
-∞
∞-==
02222
)(1dx e x A dx x x
λψ 23
41A λ=
∴2/32λ=A
x
x e x λλψ22/32)(-= )0(≥x
0)(=x ψ )0(<x ⎰⎰
∞
∞-+-∞
∞
--⋅==
dx x xe dx x e p c x ik ikx )(2)21()(21)()(2/32/1ψλψπλ
⎰∞∞
-+-∞+-++
+-=dx e ik e ik
x
x
ik x ik )(0
)(2/131[)22(λλλλπλ
2
2
/132
2/13)(1)
22()()22(
p
i ik x +==+=λπλλπλ
动量几率分布函数为
2
2223
32
222
3
2
)(1
2)
(12)()(p p p c p +=
+=
=λπ
λλπλω
(2) ⎰⎰∞
∞
---∞∞--==dx e dx
d x
e i dx x p
x p x
x )(4)(ˆ)(3*
λλλψψ ⎰∞
∞
----=dx e x x i x
λλλ23)1(4 ⎰∞
∞
----=dx e x x i x λλλ223)(4 )4141(
42
23λλλ--= i 0= #
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数
)()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。

粒子能量的本征函数和本征值为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤≤a x x a x x a
n a x ,0 ,0 0
,s i n 2)(π
ψ 2
2
222a
n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 动量的几率分布函数为2
)(n C E =ω ⎰⎰==
∞
∞-a n dx x x a
n dx x x C 0*)(sin )()(ψπ
ψψ 先把)(x ψ归一化，由归一化条件， ⎰
⎰⎰+-=-==
∞
∞
-a
a
dx x ax a x A dx x a x A dx x 0
2222
02
2
2
)2()()(1ψ
⎰+-=a
dx x ax x a A 043222
)2( 30
)523(525552
a A a a a A =+-= ∴5
30
a A =
∴ ⎰
-⋅⋅=
a
n dx x a x x a
n a a C 0
5)(sin 302π ]s i n s i n [1520
203
x xd a n x x xd a n x a a a a ⎰⎰-=π
π
a
x a n n a x a n x n a x
a n x n a x a n n a x a n x n a a 0
333
222
222323]
c o s 2s i n 2 c o s s i n c o s [152π
ππππ
πππππ--++-=
])1(1[15
43
3n n --=
π
∴ 26
62
])1(1[240
)(n n
n C E --=
=π
ω ⎪⎩⎪
⎨⎧===
,6 ,4 ,20 5 3 1960
66n n n ，，，，，π
⎰⎰==∞
∞-a dx x p x dx x H x E 02)(2ˆ)()(ˆ)(ψμ
ψψψ ⎰
--⋅-=
a
dx a x x dx
d a x x a 0
2
2
25)](2[)(30μ )3
2(30)(303
35
20
52
a a a dx a x x a a
-=-=
⎰
μμ 2
2
5a
μ =
3.9.设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),,(1121
1021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率
和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值 2
2
2
22
282 s s e n e E μμ-
=-
= )2(=n
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 4
3 其平均值为 4
343041-=⨯-⨯=
Z L
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ⎩⎨
⎧<
≥∞=a r a r
r U ,0; ,)( 求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
0=ψ (a r ≥)
由于在a r <的区域内，0)(=r U 。

只求角动量为零的情况，即0= ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。

即粒子的几率分布与角度ϕθ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与ϕθ、无关。

设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为
ψψμE dr
d r dr d r =-
)(1222 令 2
22 ,)( E
k rE r U μψ=
=，得 02
22=+u k dr
u d 其通解为
kr
r
B
kr r A r kr
B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=-∴+=ψ 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r
B
r sin )(=
ψ 由波函数的连续性条件，有
0s i n 0)(=⇒=ka a
B a ψ ∵0≠B ∴),2,1( ==n n ka π
a
n k π=
∴ 2
2222a n E n μπ
=
r a
n r B r πψs i n )(=
其中B 为归一化，由归一化条件得
2
2
2
022
00 2s i n 4 s i n )(1aB rdr a
n B dr r r d d a a
ππ
πθψϕθπ
π
=⋅====⎰
⎰⎰⎰
∴ a
B 21π=
∴ 归一化的波函数
r
r a n a r ππψs i n 21)(=
#
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆p x 解： 0=p。