高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》分类汇编及答案解析

《推理与证明》考试知识点
一、选择题
1．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49
B ．43
C ．07
D ．01
【答案】C
【解析】
【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.
【详解】
观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
2．二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二
维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343
V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ） A ．42r π
B ．43r π
C ．44r π
D ．46r π 【答案】A
【解析】
分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .
详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D ．任意顺序排队接水的总时间都不变
【答案】B
【解析】
【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论
【详解】
事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 22m t T ++ 2m+2t+T
分钟，共节省了T t - T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．
故选B.
【点睛】
一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，
意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中
0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ）
A ．228617430x x ++=
B ．4227841630x x x +++=
C ．2174328610x x ++=
D ．43163842710x x x +++=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果.
【详解】
由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，
由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.
故选：C.
【点睛】
本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.
5．在平面直角坐标系中,方程1x y a b
+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．
1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca ++= C ．1xy yz zx ab bc ca
++= D ．1ax by cz ++=
【答案】A
【解析】
【分析】
平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是
1x y z a b c
++=. 【详解】 由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y z a b c
++=，故选A. 【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .
6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D
【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
7．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+- 【答案】B
【解析】
【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.
【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.
累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-+
+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
8．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x
+≥，…，可推广为1n a x n x
+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n
B ．n n
C ．2n
D ．222n - 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可.
【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；
当分母的指数为2时，分子为224=；
当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a x n x
+
≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项.
【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ）
A ．甲
B ．丙
C ．甲与丙
D ．甲与乙
【答案】D
【解析】
【分析】
分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.
【详解】
若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；
若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；
若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就
不能成立，三个命题不能同时成立.
综上所述，甲与乙被录取.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
10．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =①
22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③
()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④ 【答案】D
【解析】
【分析】
在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.
【详解】
在Rt ADC ∆中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-
=-， 又C
C AC
D FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得
()
()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D.
【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
11．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩
B ．乙可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.
【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
12．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）
A ．5748b b b b >
B ．7845b b b b >
C ．5748b b b b +<+
D ．7845b b b b ++<
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，
类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-
32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
13．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A 3
B ．23
C 65
D 5【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.
【详解】
对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .
在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠=
=，又因为22sin sin 3
r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =-=-=，
所以5c e a ==， 故选：D.
【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
14．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
【答案】A
【解析】
【分析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为2910
+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为
1222211023
10231023lg2300
=≈.
21010
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n项和公式应用，属于中档题
15．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
16．观察下列一组数据
11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++
…
则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383
C ．381
D ．377
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】
由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902
+⨯=个奇
数，
所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -， 所以第191个奇数为21911381⨯-=． 故选：C. 【点睛】
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
17．用数学归纳法证明不等式11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）
A ．2k
B ．21k -
C ．12k -
D ．k
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边
1111111
1232122121
k k k k +=+
++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.
【详解】
用数学归纳法证明不等式111
12321
n n +
++⋅⋅⋅+<-的过程中，
假设n k =时不等式成立，则左边11112321
k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121
k k k k +=+
++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：
1111
22121
k k k +++⋯++-， 共(
)
1
2
1212k k k +--+=项.
故选：A 【点睛】
本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.
18．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，
333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．123413341234
,,
333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路
是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
19．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据
sin 0C ≠，得1
cos 3
A =-
，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1
cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱
B ．小李
C ．小孙
D ．小赵
【答案】A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.。