专题05 一次方程组(考点串讲)(沪教版)(解析版)

专题05 一次方程组
【考点剖析】
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件：1 1.
⎧⎨
⎩①含有未知数；
②所含的次数两个未知数的的项未知数都是，而不是的次数都是
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集.
3.二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；
注意：.⎧⎪
⎨⎪⎩
①方程的个数可以；②组成方程组的方程的，也可以是一元的；③保证超过两个不一定都是二元方程组有两个未知数中
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法
⎫⎧⎪
⎨⎬⎪⎩⎭
代入代入一元一次加减相消元法：通过“”消去一个未知数，将方程组转化为方程.消元法：通过将两个方程（）消去一个未知数加减 4. 三元一次方程组
.⎧⎪⎨−−−−
→−−−−→⎪⎩加减或代入加减或代入
消元消元三个未知定义：如果方程组中含有，且的次数都是.
解法：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方数含未知数的项程一次 5.一次方程组的应用
利用表格、圆形示意图或柱状图等作为建模策略解决问题. 【典例分析】
例题1（青浦期末12）二元一次方程35x y +=的正整数解是 . 【答案】2
1x y =⎧⎨
=⎩
； 【解析】由35x y +=得，53x y =-，因为x 、y 均为正整数，故，当1y =时，2x =，所以原方程的正
整数解是2
1x y =⎧⎨=⎩
.
例题2．（浦东2018期末11）将方程3225x y -=变形为用含x 的式子表示y 是 ．
【答案】325
2
x y -=
； 【解析】由3225x y -=得2253y x -=-，所以325
2
x y -=
. 例题3（徐汇期末23）解方程组：35
5223x y x y -=⎧⎨
-=⎩
.
【答案】3
4x y =⎧⎨
=⎩
. 【解析】解：355223x y x y -=⎧⎨-=⎩
①
②，由①×2+②，得1133x =，解得3x =，将3x =代入①得4y =. 所以原
方程组的解为3
4x y =⎧⎨=⎩
.
例题4（徐汇期末24）解方程组：63
230x y z y x x z --=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
.
【答案】369x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
；
【解析】解：63230x y z y x
x z --=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
①②③，由③得3z x =④，将②④代入①，得6233x x x --=，解得3x =；将3x =分别代入②、④得，6,9y z ==，所以原方程组的解是3
69x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.
例题5．（浦东期末28）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人；男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人．求这个班级的学生人数． 【答案】39人；
【解析】解：设这个班级男生人数有x 人，女生人数有y 人．根据题意，得32272312x y x y -=⎧⎨-=-⎩
，解这个方程
组，得21
18
x y =⎧⎨
=⎩，故39x y +=人；答：这个班级的学生人数为39人．
【真题训练】 一、选择题
1.（金山2018期末1）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
（A ）52=xy ； （B ）3=y x ； （C ）53+=y x ； （D ）21134x y +=
【答案】C ；
【解析】A 、是二元二次方程；B 、是分式方程；C 、是二元一次方程；D 、是二元二次方程；故选C. 2.（宝山2018期末17）下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
A 、⎩⎨⎧+==-112z y y x ；
B 、⎩⎨⎧=+=5324-y x y ；
C 、⎩
⎨⎧==+3065xy y x ； D 、⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=+1212y x y x .
【答案】B ；
【解析】根据二元一次方程组的定义可知：B 选项是二元一次方程组；而A 项是三元一次方程组；C 项是二元二次方程组；D 项是二元二次方程组；故选B.
3.（浦东四署2019期末3）下列各组数中，是二元一次方程54x y -=的一个解的是（ ） A. 31x y =⎧⎨
=⎩； B.1
1x y =⎧⎨=⎩； C. 0
4x y =⎧⎨
=⎩； D. 1
3
x y =⎧⎨
=⎩. 【答案】B ；
【解析】将以上各数代入方程中，因为5114⨯-=，故B 符合题意，因此选B.
4.（徐汇期末14）二元一次方程组5
24
x y x y +=⎧⎨
-=⎩的解是（ ）
A.1
4x y =⎧⎨
=⎩； B. 2
3x y =⎧⎨=⎩； C. 3
2x y =⎧⎨=⎩； D. 4
1x y =⎧⎨=⎩
. 【答案】C
【解析】解：524x y x y +=⎧⎨-=⎩
①
②，由①+②得39,3x x =∴=，将3x =代入①得，2y =，所以原方程组的解
为3
2x y =⎧⎨=⎩
，故答案选C.
二、填空题
5.（浦东四署2019期末14）若2
1
x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程310x my +=的解，则m= .
【答案】4； 【解析】将2
1x y =⎧⎨
=⎩
代入310x my +=得3210m ⨯+=，解得4m =. 6.（徐汇期末9）若方程组322
23x y a x y a +=-⎧⎨+=⎩
的解x 与y 的和为4，则a 的值是 .
【答案】11
【解析】解：方程组中两方程相加得5522x y a +=-即225a x y -+=
，所以22
45
a -=，解得11a =. 7.（金山2018期末13）将方程34x y -=变形为用含x 的式子表示y ，那么y = . 【答案】34x -；
【解析】由34x y -=得43y x -=-，所以34y x =-.
8.（宝山2018期末8） 将方程2320x y +=变形为用含x 的式子表示y ，则=y . 【答案】2023
x
y -=
； 【解析】由2320x y +=得3202y x =-，所以2023
x
y -=
. 9. （普陀2018期末13）如果将等式425a b -=-变形为用含b 的式子表示a ，那么所得新等式是 . 【答案】254
b a -=
；
【解析】由等式425a b -=-移项，得425a b =-，所以254
b a -=
.
10.（宝山2018期末9） 如果2
3x y =⎧⎨=⎩是方程组232x y m mx ny -=⎧⎨-=⎩
的解，那么=-n m .
【答案】1m n -=-；
【解析】将2
3x y =⎧⎨=⎩代入方程组232x y m mx ny -=⎧⎨-=⎩得5512324m m m n m n n =-=-⎧⎧∴∴-=-⎨⎨-==-⎩⎩
.
11. （普陀2018期末18）小红同学到文具店花了10元钱购买中性笔和笔记本，已知中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元.如果她购买的中性笔数量大于笔记本数量，那么她买了 本笔记本. 【答案】3或1．
【解析】设中性笔x 支，笔记本y 本（x y >），则0.8 1.210x y +=，得2325x y +=，因为x 、y 均为正整数 ，故此方程的解为118
13x x y y ==⎧⎧⎨⎨
==⎩⎩
或，所以她买了1或3本笔记本.
三、解答题
12.（金山2018期末23）解方程组：22(1)5324x y x y +-=⎧⎨-=⎩①
②.
【答案】1
13x y =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
；
【解析】解：由①式去括号移项，得223x y -=③，由②-③，得1x =，将1x =代入②，得1
2
y =-
，故原方程组的解为113x y =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
13.（普陀2018期末21）解方程组：46
345x y x y -=+=-⎧⎨
⎩①
②
【答案】1,2.
x y ==-⎧⎨
⎩；
【解析】解：代入法：由①，得46y x =-③，把③代入②，得316245x x +-=-． 解得1x =． 把1x =代入③，得2y =-． 所以，原方程组的解是1,2.
x y ==-⎧⎨
⎩加减消元法：由①×4+②，得1919x =． 解得1x =．把
1x =代入①，得2y =-．所以，原方程组的解是1,
2.x y ==-⎧⎨⎩
14．（黄浦2018期末22）解方程组：3414
23
x y x y +=⎧⎨
-=⎩
【答案】412
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩；
【解析】解：341423x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①
②，由②2⨯，得246x y -=③ ， ①+③，得520x =，解得4x =， 把4
x =代入②，得 423y -=， 所以1
2y =，所以，原方程组的解是4
12
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩.
15.（宝山2018期末25）解方程组：5230
20x y x y --=⎧⎨+-=⎩.
【答案】1
1x y =⎧⎨=⎩
；
【解析】解：523020x y x y --=⎧⎨
+-=⎩①
②
，由②×2+①得，770x -=， 解得，1x =，将1x =代入②得，1y = ，
所以原方程组的解为1
1
x y =⎧⎨
=⎩. 16.（浦东四署2019期末23）解方程组：4121x z x y z x y -=-⎧⎪
+-=-⎨⎪-=-⎩.
【答案】539x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
；
【解析】4121x z x y z x y -=-⎧⎪
+-=-⎨⎪-=-⎩①②③，把①代入②得，3y =，将3y =代入③得5x =；将5x =代入①得9z =.
所以方程组的解为539x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.
17．（浦东2018期末24）解方程组：523x y y z x z +=⎧⎪
+=-⎨⎪+=⎩①②③
【答案】502x y z =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
；
【解析】解：由①＋②＋③，得3x y z ++=④，由 ④－①，得2z =-； ④－②，得5x =； ④－③，得0y =．
所以，原方程组的解是502x y z =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
.
18.（金山2018期末24）解方程组：32427231x y z x y x y z ++=⎧⎪
-=-⎨⎪+-=⎩①②③
【答案】234x y z =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
；
【解析】解：由①式+③式，得1x y +=④，由②+③得36x =-，所以2x =-，将2x =-代入④得3y =，
将2x =-与3y =代入①得4664z =+-=，故原方程组的解为234x y z =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩.
19.（普陀2018期末22）解方程组：580,841,385 2.x y z x y z x y z -++=-+=+-=⎧⎪
⎨⎪⎩①②③
【答案】1,1,21.
x y z ===⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩；
【解析】解：由+①②，得451x z -+=④， 由+③②，得43x z -=⑤， 由+④⑤，得1z =． 把1z =代入⑤，得1x =． 把1,1x z ==代入①，得12
y =
．
所以，原方程组的解是1,1,21.
x y z ===⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
20. （奉贤2018期末24）解方程组：323231112x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩①
②③.
【答案】381x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
；
【解析】解：由①+②得：5x-z=14④； 由①+③得：4x+3z=15 ⑤，故得 514x z -=⎧⎨⎩④
4x+3z =15⑤，
解之得： 31x z =⎧⎨=⎩，把31x z =⎧⎨=⎩代入③得3112y ++=，所以8y =. 故，原方程组的解为3
81
x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.
21.（金山2018期末27）开学初，小芳和小亮去文具店购买商品，小芳用18元买了1支钢笔和3本笔记本，小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本，求每支钢笔和笔记本的单价． 【答案】3元，5元；
【解析】解：设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，根据题意，得318
2531
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，解之得
3
5
x y =⎧⎨
=⎩，答：每支钢笔的单价为3元，每本笔记本的单价为5元.
22. （奉贤2018期末27）一家桌椅工厂共有28位工人，每人每天生产3张双人桌或8把单人椅，怎样分配工人，可以使一天生产的双人桌和单人椅配套？ 【答案】16人生产双人椅，12人生产单人椅；
【解析】解：设 x 人生产双人桌， y 人生产单人椅，由题意得：283:81:2x y x y +=⎧⎨
=⎩，解之得：16
12x y =⎧⎨=⎩
.
答：16人生产双人椅，12人生产单人椅，可使一天生产的双人椅与单人椅配套.
23. （松江2018期末27）班级组织有奖知识竞赛，班委会花100元购买了笔记本和水笔共29件作为班级奖品，已知每本笔记本的价格是5元，每支水笔的价格是2元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支水笔？
【答案】笔记本14本、水笔15支；
【解析】解:设班委会购买了x 本笔记本，y 支水笔，依题意可得2952100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得:14
15
x y =⎧⎨=⎩ ，
答: 班委会购买了14本笔记本，15支水笔.
24.（普陀期末27）某网店经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，盈利率为60%；乙种商品每件售价60元，盈利率为50%.
（1）甲各商品每件售价为 元，乙种商品每件进价为 元；
（2）如果该网店同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，那么网店购进甲种商品多少件？ （3）“双十一”期间，网店搞八折促销活动，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款400元，那么他购买了甲、乙两种商品各多少件？
【答案】（1）80，40；（2）10；（3）甲1件、乙7件；或者甲4件、乙3件；
【解析】解：（1）甲商品每件售价为50(160%)80⨯+=元，乙商品每件进价为m 元，则(1+50%=60m ）
，解得40m =元； （2）设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件，根据题意得：50
50402100
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，解
得10
40
x y =⎧⎨
=⎩，答：购进甲种商品10件；（也可以设一个未知数，列一元一次方程求解） （3）设他买了甲种
商品a 件、乙种商品b 件；则800.8600.8400a b ⨯+⨯=，化简得4325a b +=. 符合方程的正整数解是：
14
,73
a a
b b ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩.。