一道IMO预选题的简证0708

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中 等 数 学
一道 IMO 预选题的简证
刘 才 华
(山东省宁阳第一中学 ,271400)
证明 :设 ∠BAX = 2α, ∠DA Y = 2β,则有 ∠KAB = ∠KAX =α, ∠LAD = ∠LA Y =β.
∠CK L = ∠A K B =β.
故 ∠KCL = 180°- ∠CL K - ∠CKL
= 180°- α- β
设线段 AB 、AD 延长线上的点分别为
B ′、D ′,则
= 180 - 1 2
∠BAD
∠LDD ′= 1
∠BAD =α+β. 为不依赖于动直线 l 的一个定值.
参考文献 :
所以 , ∠ALD =α.
收稿日期 :2006 - 10 - 08
[1]
] 李建泉 译. 第 46 届 IMO 预选题(上) [J ] . 中等数
学. 2006 (9) .
sin x (cos x - cos y ) + sin y (cos y - cos z ) + 1
sin ( z - y ) +
1
sin π
- z
sin z ·cos z 2 2 2
< 1
[ ( sin x + sin y ) (cos x - cos y ) + < 1 ×2 x + 1 ( y - x ) + 1 ( z - y ) + 1
π - z 2
( sin y + sin z ) (cos y - cos z ) + ( sin z + 1) cos z ] 4 2 =
π
.
4
2 2 2 = 1
(sin x ·cos x + sin y ·cos x - sin x ·cos y + 注 :上述证明的最后一步用到了下面基
本的三角不等式 :
sin z ·cos y - cos z ·sin y + cos z ) 设 x ∈ π
0 , 2
,则有 sin x < x .
=
1 2 1 sin 2 x + sin ( y - x ) + sin ( z - y ) + c os z 2 (丁兴春 江苏省南京市上新河中学 , = 1 sin 2 x + 1
sin ( y - x ) + 210019)
4 2
题目 如图 1 , 已知 d ABCD ,一条过点 A 的动直线 l 与射线 BC 、DC 分别 交 于 点 X 、Y , △ABX 中 ∠BAX 内 的 旁 心 为 K ,
△ADY 中 ∠DA Y 内
同理 , ∠A K B =β. 从而 , △ALD ∽ △KAB . 于是 , AL = DL = DL .
KA BA CD
进而 ,
DL = DC .
AL A K
结合 ∠LDC = ∠LA K =α+β,得 图 1
的旁心为 L . 证明 : ∠KCL 为定值.
[ 1 ]
(第 46 届 IMO 预选题)
△DCL ∽ △A K L .
于是 ,由 ∠DL C ∠CL K = ∠ALD =α. 同理 ,由 △B KC ∽ △A K L ,得。