「精品」高中数学第二章圆锥曲线4平面截圆锥面5圆锥曲线的几何性质学案北师大版选修4_1

§4 & §5平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质
[对应学生用书P39]
[自主学习]
1．平面截圆锥面
(1)当截面β与圆锥面的轴l 垂直时，所得交线是一个圆．
(2)任取一平面β，它与圆锥面的轴l 所成的夹角为θ(β与l 平行时，记θ＝0°)，当θ>σ(σ为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为椭圆；当θ＝σ时，交线为抛物线；当θ<σ时，交线为双曲线．
2．圆锥曲线的几何性质
抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e (离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．
当e ＝1时，轨迹为抛物线； 当0<e <1时，轨迹为椭圆； 当e >1时，轨迹为双曲线．
[合作探究]
1．当平面β与圆锥面的轴l 所成的夹角为θ＝π
2时，其交线应为什么？
提示：圆
2．由圆锥曲线的统一定义可知，椭圆、双曲线的准线有几条？定义e 时，定点与定直线有怎样的关系？
提示：因为椭圆、双曲线各有两个焦点，故其准线有两条．定义e 时，定点与定直线是对应的．即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线．
[对应学生用书P40]
[例1] α，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面，任取平面γ，若它与轴l 的交角为β(当γ与l 平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面γ与圆锥的交线是抛物线．
[思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题．解题时，注意利用条件，结合图形利用抛物线的定义求解．
[精解详析] 如图，设平面γ与圆锥内切球相切于点F ，球与圆锥的交线为S ，过该交线的平面为γ′，γ与γ′相交于直线m .
在平面γ与圆锥的截线上任取一点P ，连接PF .过点P 作PA ⊥m ，交m 于点A ，过点P 作γ′的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB ⊥m ，∴∠PAB 是γ与γ′所成二面角的平面角．连接点P 与圆锥的顶点，与S 相交于点Q ，连接BQ ，则∠BPQ ＝α，∠APB ＝β.
在Rt △APB 中，PB ＝PA cos β. 在Rt △PBQ 中，PB ＝PQ cos α.
∴PQ PA ＝cos βcos α
. 又∵PQ ＝PF ，α＝β，∴PF PA
＝1，
即PF ＝PA ，动点P 到定点F 的距离等于它到定直线m 的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．
已知平面与圆锥面的轴的夹角为β，曲线与轴的夹角为α，当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．β<α时为双曲线，β>α时为椭圆．讨论曲线类型时注意结合图形．
1．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成60°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．两条相交直线
解析：选A 如图可知应为椭圆．
[例2] 如图，，焦球的半径分别为R ，
r ，且α<β，R >r ，求平面γ与圆锥面交线的焦距F 1F 2，轴长G 1G 2.
[思路点拨] 本题主要考查圆锥曲线的几何性质．由β>α知截线为椭圆．通过数形结合转化到相应平面中求解．
[精解详析] 如图，在Rt △O 1F 1O 中，
OF 1＝
O 1F 1tan ∠O 1OF 1＝r
tan β
.
在Rt △O 2F 2O 中，OF 2＝O 2F 2
tan ∠O 2OF 2＝R
tan β
.
∴F 1F 2＝OF 1＋OF 2＝R ＋r
tan β
.
同理，O 1O 2＝R ＋r
sin β.在Rt △O 1O 2H 中，
O 1H ＝O 1O 2·cos α＝R ＋r
sin β
·cos α.又O 1H ＝A 1A 2，由切线定理，容易验证G 1G 2＝A 1A 2，∴G 1G 2＝
R ＋r
sin β
·cos α.
已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算问题，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，列出方程来解决．
2．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面γ与轴夹角为45°，则平面γ与圆锥交线的离心率是 ，该曲线的形状是 ．
解析：e ＝cos 45°
cos 60°＝ 2.
∵e >1，∴曲线为双曲线． 答案： 2 双曲线
[例3] 已知F C 于点D ，且
BF ＝2FD ，则C 的离心率为 ．
[精解详析] 法一：如图，|BF |＝b 2＋c 2
＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF ＝2FD ，得|OF ||DD 1|＝
|BF ||BD |＝23
， 所以|DD 1|＝32|OF |＝3
2
c ，
即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e (a 2
c －3c 2)＝a －3c
2
2a .
又由|BF |＝2|FD |， 得a ＝2a －3c 2
a ⇒e ＝3
3
.
法二：设椭圆方程为第一标准形式x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
设D (x 2，y 2)，F 分BD 所成的比为2，
x c ＝
0＋2x 21＋2⇒x 2＝32x c ＝3
2c ； y c ＝b ＋2y 21＋2
⇒y 2＝3y c －b 2
＝3×0－b 2
＝－b 2
，
代入椭圆方程得：9c 2
4a 2＋14
b 2
b 2＝1⇒e ＝3
3.
[答案]
33
由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与
e 的关系，故涉及焦半径问题可考虑使圆锥曲线
的定义进行转化．同时注意数形结合思想的应用．
3．点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 2
32＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝ .
解析：由题知a ＝2，b ＝42， 则c ＝a 2
＋b 2
＝6，
所以右准线为x ＝a 2c ＝2
3
，
由双曲线的第二定义知2x 0
d
＝e ，
即
2x 0
x 0－
23
＝3，所以2x 0＝3x 0－2，故x 0＝2. 答案：
2
本课时考点常用客观题的形式考查圆锥曲线的统一定义及几何性质，属中档题．
[考题印证]
过抛物线y 2
＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝25
12
，|AF |<|BF |，则|AF |＝ .
[命题立意]
本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线定义的应用． [自主尝试] 设过抛物线焦点的直线为
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，
整理得k 2x 2－(k 2
＋2)x ＋14k 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝1
4
.
|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512
，得k 2
＝24，
代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2
－13x ＋3＝0，
解之得x 1＝13，x 2＝3
4，
又|AF |<|BF |， 故|AF |＝x 1＋12＝5
6.
答案：56
[对应学生用书P41]
一、选择题
1．椭圆x
2
4＋y
2
3＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离为( )
A ．1
2 B ．
32
C ．1
D ． 3 解析：选B 右焦点为(1,0)，∴距离为
32
. 2．平面γ与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥面交线的离心率是( )
A ．2
B ．12
C ．
32
D ．2 3
解析：选A e ＝cos βcos α＝1
1
2
＝2.
3．平面γ与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是( ) A ．1 B ．2 C ．1
2
D ．无法确定
解析：选A 由定义知交线为抛物线．
4．抛物线y ＝4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．7
8
D ．0
解析：选B 设M 的纵坐标为y ，则y ＋116＝1，∴y ＝15
16.
二、填空题
5．设圆锥面V 是由直线l ′绕直线l 旋转而得，l ′与l 交点为V ，l ′与l 的夹角为α(0°<α<90°)，不经过圆锥顶点V 的平面γ与圆锥面V 相交，设轴l 与平面γ所成的角为β，则
当 时，平面γ与圆锥面的交线为圆； 当 时，平面γ与圆锥面的交线为椭圆； 当 时，平面γ与圆锥面的交线为双曲线； 当 时，平面γ与圆锥面的交线为抛物线． 答案：β＝90° α<β<90° β<α β＝α
6．已知椭圆两准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为 ． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝10，2a
2
c
＝20⇒a ＝5，c ＝5
2
.
∴2b ＝2 a 2
－c 2
＝5 3. 答案：5 3
7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，则双曲线方程为 ．
解析：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6. 答案：x 2
－y 2
＝6
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，
|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是 ．
解析：∵PF 1⊥PF 2，
∴P 在以F 1F 2为直径的圆上．
∴点P (x ，y )满足⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＝c 2
，x 2＝a 2c 2
.解得y 2
＝c 4－a 4
c
2.
∵|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|y |， ∴4ab ＝2c ·c 4－a 4
c 2
，解得e ＝ 3. 答案： 3 三、解答题
9．如图，讨论其中抛物线的准线与离心率．
解：由抛物线结构特点知，抛物线上的任意一点P 到焦点的距离PF 1与到平面γ与γ′的交线
m 的距离PA 相等，
∴e ＝
PF 1
PA
＝1. ∴抛物线的准线是m ，离心率e ＝1.
10．已知双曲线两顶点间距离为2a ，焦距为2c ，求两准线间的距离． 解：如图，l
1，l 2是双曲线的准线，F 1，F 2是焦点，A 1，A 2是顶点，O 为中
心．
由离心率定义
A 1F 1A 1H 1＝c a
， ∴A 1H 1＝a c
A 1F 1.
又A 1F 1＝OF 1－OA 1＝c －a ， ∴A 1H 1＝
a c －a
c
. ∴OH 1＝OA 1－A 1H 1，
∴a －a c －a c ＝a 2
c .
由对称性，得OH 2＝a 2
c
，
∴H 1H 2＝2a
2
c
.
11．如图，一个焦球与圆锥面的交线为圆S ，记圆S 所在的平面为γ′，设γ与γ′的交线为m .在椭圆上任取一点P ，连接PF 1，在γ中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作γ′的垂线，垂足为B ，连接AB ，AB 是PA 在平面γ′上的射影．在Rt △ABP 中，∠APB ＝β.
(1)求平面γ与γ′所成二面角的大小；
(2)在所截椭圆上任取一点P ，求证：|PF 1|
PA
为定值．
解：(1)由已知PB ⊥γ′，平面γ′∩平面γ＝m . ∴m ⊥PB .又PA ⊥m ， ∴m ⊥面PAB ，
∴∠PAB 是γ与γ′所成二面角的平面角． 又∠APB ＝β， ∴∠PAB ＝π
2－β.
(2)证明：由已知PB ＝PF 1， ∴PF 1PA ＝PB
PA
＝sin ∠PAB ＝cos β为定值．。