局部对称黎曼流形中具有平行中曲率向量的子流形
伪黎曼空间型中具有平行平均曲率的类空子流形
自从 黎曼几 何 发 展 以来 ， 别 是 Ｅ 特 ．Ｃ ｒａ ａｔｎ建 立 的外微 分形式 和 活 动标 架 法 ， 黎 曼几 何 的深 入 为 发展 开辟 了广 阔 的前 景 ， 响极 为 深 远 ．近 半个 世 影 纪 以来 ， 曼几何 的研 究从局 部发展 到 整体 ， 黎 对现代 物理学 的发 展更有 重要作 用．作 为 极小 子 流形 的一 种 自然推广 ， 研究 具 有平 行 平 均 曲 率 向量 的 子 流形
Ｎ （ ） ｃ 的结 构方程 为 ：
幽 一 一∑ｅ∞ Ａ ｅ ∞ ＋ 一０ （） 召 ∞ ， ， １ 幽 一一∑ｅＡ ｇ ∑ｅ 。 ｃＡ 。２ Ａ ∞ 一 １ ｃ Ｋ ∞ｏ ｃ （） ｃ ｅ ｃｏ
Ｋ鲁Ｄ一 Ａ Ｂ 』 一 Ａ 肋 ） ｃ ｅ （＾ ） ｃ ． （） ３
伪 黎 曼 空 间型 中具 有 平 行 平 均 曲率 的类 空子 流形
胡 显举 ， 卫 东 宋
（ 徽 师 范大 学 数 计 学 院 ， 徽 芜 湖 ２ １ ０ ） 安 安 ４ ０ ０
［ 摘 要 ］ 文章 研 究 了伪 黎 曼 空 间 型 中具 有 平 行 平 均 曲 率 的 紧 致 类 空 子 流 形 ， 到 了这 类 子 流 形 的 一 个 刚 性 定 理 。 得 ［ 键 词］ 伪 黎 曼流 形 类 空 子 流形 ； 关 平行 平 均 曲 率 ； 脐 子 流 形 全
形上 ， 到这 样 的一个结 果． 得
Ｒ 一ｃ ～＆ ～∑ （： 一＾ ＾ ） （ ＆ ） ＾
（ ４）
Ｒ 一∑ （： 一螈＾） ＾＾ ０，
（） ５
定 理 ： Ｍ 设 是常 曲率伪 黎曼 流形 Ｎ （） 紧 ｃ中 致类空子 流形 ，ｉ 具 有平 行 平 均 曲率 向量 ， 满 足 ｈ＂ 若
局部对称伪黎曼流形中常数量曲率的完备类空子流形
第１ ７卷第 ４期
安庆师范学院学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｏ ｒａ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ ｎ ｓ ｌ ｒ ｅ ｔ ｏ
用 和 ＾… 表示 的共变导数 ， 有
＾， ，＝一 一
一
，
０ ＝∑ｈ Ｒ ＋∑ｈ Ｒ ＋∑ 尺 ７ ｍ ＂ ｚ
Ｋ Ⅲ． ｆ＝０
（） ９
（Ｏ １）
若 曲率张量分量 Ⅲ 满足 则称 岬为局部对称， 其中“ ” ， 表示关于 岬的伪黎曼联络的共变微分且 Ｋ Ⅲ，与 Ⅲ 的共变导数
＾ ， ＝蜕 ０ ％
（） １
Ｒ 川 一∑（ 蜕 一 坼） Ⅲ ＝ Ｒ ＝
收 稿 日期 ：２ ｌ —０ Ｏ １ ５—１ ９
（） ２ （） ３
＋∑（ 坛 一 娘）
作者简介 ：张佳佳 ， ， 女 安徽师 范大学数学计算机科学学院硕士研究生． ０ １ Ｖ２ １
Ｖ０Ｉ１ ． ７ ＮＯ． ４
局 对 伪 曼 形 常 量 率 完 类 子 形 部 称 黎 流 中 数 曲 的备 空 流
张 佳 佳
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ００
摘
要 ：本文研究 了局部对称伪黎曼流形
中常数量曲率的完备类空子流形 ， 利用丘成桐的广义极大值 主要
３ １ １
２ｕＳ ｓｐ ＋乃 ｂ一口 ｓｐ ＋４ ａｓｐ ≤ ０ （ ）ｕ Ｓ ｎ ｕ Ｈ
‘
则 ＾ 为全 测地 的或
Ｓ≤ ｎ ｂ一２ ） （ ａ ２ 预备 知识
本文对各类指标的取值范围约定如下 ：
黎曼流形的曲率、拓扑与M(？)bius特性研究
黎曼流形的曲率、拓扑与M（？）bius特性研究黎曼流形的曲率、拓扑与M（？）bius特性研究引言：在数学中，黎曼流形是一种高度抽象而复杂的几何结构。
它是一种具有曲率的拓扑空间，被广泛应用于不同领域的物理学和数学中。
本文将讨论黎曼流形的曲率特性，以及其与拓扑和M （？）bius特性之间的关系。
1. 黎曼流形的定义与性质黎曼流形是一种光滑流形（即可通过连续光滑函数进行描述的拓扑空间），其每一点都是一个具有内积结构的切空间。
黎曼流形上的度量定义了其内积结构，使得我们能够在其上定义曲率和距离的概念。
2. 黎曼流形的曲率特性黎曼流形的曲率描述了其局部和整体的几何性质。
曲率张量是一种度量曲率的工具，它包含了关于切矢量场的信息。
通过计算曲率张量的分量，我们可以获得流形上的曲率曲率标量，它反映了流形的整体曲率特性。
3. 黎曼流形的拓扑特性拓扑学是研究空间性质在变换下的不变性的学科。
黎曼流形的拓扑特性描述了其在不考虑度量的情况下的形状和连接性质。
黎曼流形上的拓扑理论包括如同相空间的包含、同伦变换和维数等概念。
拓扑性质决定了流形的基本结构和性质，并且在一定程度上影响了流形的曲率特性。
4. 黎曼流形与M（？）bius特性之间的关系M（？）bius特性是指流形上存在单面曲面的能力。
黎曼流形具有某种特殊的曲率和拓扑性质，可以导致其具有M（？）bius特性。
具体来说，曲率会影响流形上的切矢量场的变化，从而影响了是否存在单面曲面。
而拓扑性质则决定了流形上是否存在分支覆盖（Branched cover），进而影响了M（？）bius特性。
5. 黎曼流形的应用黎曼流形在物理学和数学中有广泛的应用。
在物理学中，黎曼流形被用来描述时空的弯曲性质，如广义相对论中的引力。
在数学中，黎曼流形被用于研究微分几何、拓扑学以及数学物理等领域。
其应用涉及到曲率的计算、拓扑的变换以及M（？）bius特性的探究等方面。
结论：黎曼流形是一种兼具曲率和拓扑性质的抽象几何结构。
局部对称共形平坦黎曼流形中具有平行平均曲率向量的紧致子流形
（ 江西 师范大学数学 与信 息科学学院 ， 江西 南 昌 ３０２ ） ３０２
摘要： 设 为 ｓ ” 中的 紧致 子流形 ， ＝Ｕ ｕ 是 的单位切 丛 ， ｕ 文献 ［ ］ １ 通过 引入 函数 ） ｍ 『 ＝ 峰 ｌ Ｂ
Ｅｌ ｆ
．
ｂｎ ｌ ｏ ． ｈ ａｅ［ ］ ｏｓｕｔ ｆｎｔ ｎ （ ） ｌ （ ，） Ｂ ｖ ）Ｉ ，ｈｒ Ｂｉ ｕｄ Ｍ Ｔ ｅ ｐｒ１ ｃｎｔ ｃ ｄａ ｕｃｏ 厂 ＝Ｈ ｕ ｕ 一 （ ， ｌ ｗ ｅ ｅｎ ｐ ｒ ｅ ｉ Ｂ ｅ ｓ
ｔｅｓ ｃ ｎ ｕ ｄ ｍｅ ｔｌｆｒ ｏ ， ｉｈ ｏ ｔｉｅ ｉｃ ｉｇ ｔｅ ｒｍ ． ｎ ｔｉ ａ ｅ ，ｈ ｉ ｌｒ ｈ ｅ ｏ ｄ ｆｎ ａ ｎａ ｏｍ ｆＭ ｗｈｃ ｂａｎ ｄ ａ Ｐｎ ｈｎ ｈ ｏ ｅ Ｉ ｈｓ ｐ ｐ ｒ ｔｅ ｓｍｉ ａ ｐｏ ｌｍｓｉ ｐ ｃ ｆｕ ｉ ｓ ｈ ｒ ｒ ｏ ｕａｉｅ ｎ ｔｅ ｓ ａ ｅ ｏ ｃ ｌ ｙ ｒｂｅ ｎ ｓ ａ ｅｏ ｎ ｔ ｐ ｅｅ ａｅ ｐ ｐ ｌｒ ｄ ｉ ｈ ｐ ｃ ｆｌ ａｌ ｓｍｍｅｒ ｎ ｏ ￣ｒ Ｈ ｚ ｏ ｙ ｔ ａ ｄ ｃ ｎ ｍａ ｙ ｙ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｌ ｔ ｓｒ ｃ ： ｅ ｂ ｏ ａ ｔｓ ｂ ｎ ｆ ｌ ｓｏ ｎ ｔ ｐ ｅ ｅ Ｓ ｅ ａ ｃ ｍｐ ｃ ｕ ｍａ ｉ ｄ ｆｕ ｉ ｓ ｈ ｒ ” ， Ｍ ｏ Ｕ
，
Ｕ Ｍ ｉ ｔ ｅ ｕ ｉ ｔｎ ｅ ｔ ｓ ｈ ｎ ｔ ａ ｇ ｎ
， 一 ’
（ ） －２ 若 ） ２ｐ ， ＞ ≤
．
， 则 是全脐的或
１
Ｕ ’ Ｅ 』 Ｈ
，‘ 一
（ ，） （ ，） 。 为 的平均曲率 ， ， ＭＭ 一 移 ｔ
微分几何中的黎曼几何和黎曼流形上的曲率
微分几何是研究流形上的结构和性质的数学分支，其中黎曼几何和黎曼流形上的曲率是重要的内容。
黎曼几何是通过引入内积和度量来研究流形上的曲线和曲面的几何性质，而曲率则是描述流形弯曲程度的量度。
在微分几何中，度量是一种在流形上定义的方法，用来测量向量的长度和角度。
通过定义内积运算，我们可以为每个切向量空间赋予一个内积结构。
在黎曼几何中，度量可以通过内积定义一个度量张量，它是一个关于切向量的二次型。
这个度量张量在每个切点上都是一个对称正定的二次型矩阵，它定义了流形上每个切向量的长度。
黎曼流形是一个具有黎曼度量的流形。
黎曼度量是定义在切向量空间上的一个内积结构，它使得每个切向量空间都成为一个欧几里得空间。
黎曼流形上的曲率是由度量和黎曼联络共同决定的。
黎曼联络是定义在切空间上的导数操作，它将切向量从一个切点‘平行’地传送到另一个切点。
曲率则描述了黎曼流形的弯曲程度和形状的变化。
在黎曼流形上，曲率可以通过黎曼张量来刻画。
黎曼张量是用于描述曲率的一个四阶张量，它表达了切向量之间的平行运输的差异。
具体来说，黎曼张量是一个定义在切向量空间上的张量场，它通过特定的公式来计算切向量的当地曲率。
黎曼张量的不同分量描述了流形上不同方向的曲率，可以用来测量流形的弯曲程度和曲线的弯曲程度。
黎曼流形上的曲率还可以通过黎曼标量来表示。
黎曼标量是黎曼张量的迹，它是一个标量场，用来描述整个黎曼流形上的曲率。
黎曼标量可以被看作是黎曼流形上的集合曲率，它给出了流形整体的曲率特征。
黎曼几何和黎曼流形上的曲率是微分几何中的重要概念，它们在物理学和数学中都有广泛的应用。
在物理学中，黎曼几何和黎曼流形上的曲率是广义相对论的基础，用来描述引力和时空的弯曲。
在数学中，黎曼几何和黎曼流形上的曲率是许多数学分支的基础，如拓扑学和微分方程等。
总之，黎曼几何和黎曼流形上的曲率是微分几何中的重要概念，它们描述了流形的几何性质和形状的变化。
通过引入度量和黎曼联络，我们可以定义黎曼几何和黎曼流形，并通过黎曼张量和黎曼标量来描述曲率。
关于局部对称共形平坦空间中具有常数量曲率的子流形
∈ ∑（ ）， ＿ ， ＝ ， ＝ ∑帽ｅ 日 Ｉ Ｉ
ｎ 一 ） ∑ Ｋｊ＋ ２ Ｓ （ １ ｎ Ｒ＝ ｉ ｎＨ 一 ｉ ｊ
ｉｊ ，
（） ２ ． ５
（．） ２ ６
现在用
及 ＾ ｋ表示 易的共变导数，则 为ｚ 寺一 Ｊ ＝一
（．） ２ ７
嚣 一 暑 ＝ ｆ ｊ＋ Ｒ ） ∑ Ｒ ． ｆ ∑（ Ｒ ＾Ｊ ｆ ２ 一 ｅ ｚ
，
且 Ｍ ｎ是 Ⅳｎ 中某 个 ｎ＋１维全 测地子 流形 的全 脐超 曲面； ＋
（） Ｐ ，＜几 且 Ｓ ２ （ 一 ） Ｓ 日 且 Ｍ Ⅳ ｉ 若 ≥３３ ≤７ ｉ ｉ ≤ ｎ ３ 一 Ｋ ， ＝几 ｔ 则 是 叶
中某个 ｎ＋１维全 测地 的全 脐超 曲面． 其 中 ， ， 分 别是 Ⅳ” ｐ的数 量 曲率 ， Ｒｉ ｉ ｔ 。 ＋ ｃ 曲率 的上 、下 确界 ， ＳＨ 表 示 Ｍ 的 ｃ ，
设 Ｎｎ ｐ是 礼＋Ｐ维 局 部对 称共 形平 坦完 备 的黎曼 流 形 ， Ｍ 是 等 距浸 入 Ⅳ 中 ｎ ＋ ＋ 维紧致无边的子流形．在 Ⅳｎ 上选取局部标准正交标架场 ｛Ａ ， ＋ ｅ ） 使得它限制在 Ｍ 上， ｛ｔ 与 Ｍｎ相切，设 ｛ ） Ⅳｎ 关于 ｛Ａ ｅ） 是 ＋ ｅ ）的对偶标架场， ｛ Ａ ） Ｎ” 的联络形 Ｂ 是 ＋ 式 ，则 限制 在 Ｍ 上 ，有
的某些内蕴刚性定理 ．
关键词ｔ局部对 称；共形平坦；数量 曲率；子流形；全脐．
Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分类：３ ４； ２ ２ 中图分类号 ｔ １６ ２ 文献标识码 ： ２０ ） ５Ｃ ２ ５Ｂ ５ ８． ０ １ Ａ
文章编号：０３ ９８２１）４１０ － １０— ９ （ ００—１２０ ３ ０ ９
（ ｉ Ｐ＝１且 Ｓ≤击 ）若 ，
微分几何中的黎曼曲率与黎曼流形
微分几何中的黎曼曲率与黎曼流形微分几何是数学中研究曲线、曲面以及更一般的流形的一门学科。
其中，黎曼流形是微分几何中的基本概念，而黎曼曲率是用于描述黎曼流形弯曲程度的重要指标。
本文将介绍黎曼流形的概念以及黎曼曲率的定义和性质。
一、黎曼流形的概念黎曼流形是微分流形上具有黎曼度量的特殊流形。
微分流形是一个局部同胚于欧几里得空间的对象，具有良好的切空间结构，并且可以用局部坐标系来描述。
黎曼度量是指给定流形上的每一点，都有一个与其相关的对称双线性型，用于定义该点上的内积结构。
黎曼流形上的度量满足非退化、对称和正定性质。
二、黎曼曲率的定义黎曼曲率是用来度量黎曼流形的弯曲程度的重要指标。
在给定的黎曼流形上，通过引入联络与曲率量张量，可以定义黎曼曲率。
具体而言，联络是指流形上与切向量场相关的一个运算，用于衡量流形的内禀性质。
曲率量张量是流形上的一个双-张量场，用于描述流形的弯曲性质。
通过联络与曲率量张量的结合，可以得到黎曼曲率。
三、黎曼曲率的性质黎曼曲率具有多种基本性质，以下列举几个重要的性质：1. 对称性：黎曼曲率关于其两个切向量的交换满足对称性。
即对于任意切向量p和q，有R(p,q)v = -R(q,p)v。
2. 线性性：黎曼曲率对于其两个切向量的组合具有线性性质。
即对于任意切向量p,q和标量a,b，有R(ap,bq)v = aR(p,q)v + bR(p,q)v。
3. 平坦性：对于平直的欧几里得空间而言，其黎曼曲率处处为零。
因此，可以通过黎曼曲率来判断流形的弯曲程度。
四、应用举例黎曼曲率在物理学和几何学等领域有着广泛的应用。
在相对论中，黎曼曲率用于描述时空的弯曲程度，进而影响物质粒子的运动轨迹。
在几何学中，黎曼曲率与曲面的高斯曲率密切相关，可以帮助我们研究曲面的性质和分类。
五、结论微分几何中的黎曼曲率与黎曼流形是研究曲线、曲面及流形的重要工具。
黎曼曲率通过度量流形的弯曲程度，帮助我们理解物理世界与几何形态的关系。
局部对称拟常黎曼流形中常平均曲率超曲面的截面曲率的Pinching定理
设 “是 ｎ ｌ 局 部对 称 拟 常 黎曼 流 形 ． 是 ＋维 Ｍｎ ∑∞八 ∑ ∞八 ∞ “中 常平 均 曲率 的 紧致 超 曲面 ， ． ｓ是 的第 二 基 ｋｆ ． 本 形式 模长 平 方， 为 的平 均 曲率 为 上 任 日 Ｒ 一 ， （．） １ ２ 点 的截 面 曲率 的下 确界 。本 文讨 论 了这 类超 曲面 式中 Ｒ 洲及 分 别是 和 Ⅳ 的 曲率张量 场 。 截 面 曲率 的 Ｐｎ ｈｎ ｉｃ ｉｇ问题 ， 到 ： 得 令 Ａ表示 的第二基本 形式 ，即 Ａ ∑ ｏ ＝ 定 理 设 Ｍｎ 是 “中常 平 均 曲率 的 紧致 无 边 ｉ ｊ 超 曲面 ，且 截 面 曲率 Ｒ ＞ ，如 果 Ｒ ０ 满 足 ： — ｎ
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２０ ０ ７年 ８月
咸 阳师 范 学 院学 报
Ｊ ｕ ｌ ｆ ａ ｙ ｎ ｒ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｍａ Ｘｉｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ
Ａｕ ．０ ７ ｇ２ ０ ＶＯ Ｉ ２ Ｎｏ ４ ｌ ． ２
第２ ２卷
收稿 日期 ： ０ ６ ０ — ７ ２ ０ — ９ ０
作者 简 介 ； 海锋 （９ １ ， ， 江丽 水 市人 ， 李 １８ 一） 男 浙 宁夏 大 学硕 士 研 究 生 ， 究方 向 ： 分 几 何 。 研 微
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・
２・
１
成 阳 师范 学 院 学 报
ｉ ， ｉ
ｎ
以 ｄｖ ｉ ｗ表示 的散 度 ， 则
ｉ， ， ｉ
ｄ ｗ ］ ＊ ＾Ｋ＋） ｉ ＝ ￣Ｖ（ Ｋ＋＋ ＝ ｖ ＾ ｕ ｌ ） ＋
ｆ．０ １１ ）
ｉ， ｊ
∑ ｈＫ ＋ ｌ ｏ ＋∑ ｈ．， ｎ ｌ ｏ （ ｈ
第 ４期
局部对称共形平坦黎曼流形中具平行平均曲率向量的伪脐子流形的一个刚性定理
［户 １ｃ （ｐ－４ Ｈ ， （ 一 ）＋ ３ － ） ］ 因此本 文定 理 １ 广 了定理 Ａ． 推
２ 预 备 知 识
在 中选取 局 部 正 交 标 架 场 ｅ ， … ，科ｐ使 得 限 制 在 ｅ， Ｐ ， 上 时 ， ｅ， ， 切 于 Ｍ ＋ ， ｅ，ｚ … ｅ ，
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第 ２ 卷第 ４ ９ 期 ２０ 年 １ ０７ ２月
湖北大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｂ ｉ ｉ ｒ ｉ （ ａｕ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｈｕ ｅ Ｕｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔ ｒ ｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
是局部对称的， 由文献［］ ２得
Ｋ 一∑ Ｋ ＋∑ Ｋ ＾ ＋∑ Ｋ 一∑ Ｋ 和＾ ｇ 耐鲁 ＾ 分 义 与＾ 如 ∑ 别定 ： 下： ∑
３ 定理 的证 明
定理 １ 的证明 由假设条件 ～ 一在法丛 中平行 ， ｅ 所以由文献［］ １有
Ｈ ＝ｃ ｎ ｔｎ ， ｌ］ 一０ Ｖ口 ｏ ｓａ ｔＲ（ １ （ ）
～
ａ
ｉ
因为 Ｎ Ｐ 共形平 坦 的 ， 以 是 所
１
ＫＡ Ⅸ 一 ｎ ｐ－ ２ ￣ 、 Ｂ ＋ － （ Ｋ Ｄ一 Ｋ ＋ Ｋ
～ Ｋ
） 一
号
其中Ｋ 船∑ Ｋ ，一 ∑ Ｋ ． Ｋ 舭
Ｂ Ｄ 一
）
（８ ２） ・
令 表 示矩阵 ） 一∑ （ 。 ∑ ｔＨ ） （ ， 则ｓ ） 一 ｒ ￣ （ ． 选取ｅ ｌ 平均曲 量 一 ｎ与 ＋ 率向 方向 致即） ７ 一 ， ∑＾ ＝ｔＨ 一ｎ 则 ｒ 州） Ｈ （
收 稿 日期 ： ０ ６ ３ ６ ２ ０ —０ —０
的 方程 结构 为：
作者简介 ： 喻丽菊（ ９９一 ）女 ， １７ ， 博士生
关于局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形的开题报告
关于局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形的开题报告1. 研究背景在黎曼几何中，局部对称空间是一个很有意思的问题，尤其在数学物理领域中开始吸引人的关注。
局部对称空间的研究通过构造出一些几何对象和它们上的具有群表示的场来深入研究物理现象，比如弱相互作用和引力作用等。
其中，共形场论是一个研究局部对称空间的强大工具，对理解物理现象起到了重要作用。
对于黎曼流形，它具有重要的几何特征。
而局部对称流形是一些局部同构于意义下的具有一些对称性质的黎曼流形，其中最为重要的是共形对称流形。
共形对称流形在数学物理学中的应用非常广泛。
在共形场论中，共形对称流形是最基本的几何空间之一。
2. 研究目的本文将开展局部对称共形平坦黎曼流形中紧致子流形的研究，主要研究目的包括：（1）阐述黎曼流形的背景，介绍局部对称共形平坦黎曼流形和紧致子流形的相关概念和定义。
（2）研究共形对称空间中紧致子流形的性质，并讨论它们的几何、拓扑结构以及局部对称性。
（3）介绍所使用的数学工具和技巧，包括微分几何、拓扑学、李群表示论等数学方法。
（4）最后，本文将给出未来研究的方向和展望，以及共形场论在威尔逊线测试理论中的应用。
3. 研究方法本文主要采用数学分析和几何分析的方法，通过构造模型、提出假设并进行证明，深入研究局部对称共形平坦黎曼流形中紧致子流形的结构和性质。
具体而言，通过寻找具有局部对称性的共形平坦黎曼流形，并在其上选择一个紧致子流形。
在此基础上，研究这些紧致子流形的拓扑和几何性质，并推导出这些紧致子流形的局部对称性质等方面的结论。
4. 研究意义本研究对深入理解黎曼流形和局部对称流形的结构和性质有着重要的意义。
在实际应用中，共形对称空间中的紧致子流形有着广泛的应用。
例如，它们是量子场论中自旋网络的基础，能帮助我们描述粒子在共形场论中的运动规律，也可以被用来研究关于宇宙和粒子行为的基本问题。
同时，在流形拓扑学和几何学领域中也具有广泛的应用。
局部对称Lorentz流形中具常平均曲率的完备超曲面
定理 １ 设 是 “ 中具 常平 均 曲率 的完备 类 空超 曲面 ｓ为其 第 二 基本 形 式模 长 平 方 ， ， ， ， …
量 是正定 的 ．
当外 围流形 是具 良好 对称 性 的 Ｌ ｒ ｔ 空 间 型时 ， 常 平 均 曲率 超 曲面 的研 究 已 有许 多结 果 （ ［ ４ ） ｏｅ ｚ ｎ 具 见 １ ． Ｉ 而 对外 围空 间不具 较 好对 称性 的局 部对 称 Ｌ ｒ ｔ ｏｅ ｚ流形 时 ， 常 平 均 曲 率超 曲面 的 研 究结 果 还 较 少 （ ［ ． ｎ 具 见 ）
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第 ２ ５卷 第 １ 期 ２０ ０ ８年 ２月
华
东
交
通
大
学
学
报
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ． １２ １
Ｊ ｕ ａ ｆＥ ｓ ｉａ Ｊａ ｔｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ａ ｔＣｈｎ ｉｏｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ｎ
Ｆ ｂ． ２ ０８ ｅ ．Ｏ
华
东
交
通
大
学
学
报
２０ ０ ８年
果 的推广 与改 进 ．
１ 公 式 与 引理
设 “ 是 ｎ＋１ 局部 对称 ｌ ｒ ｔ 流形 ， 截 面 曲率 Ｋ 满 足 ＜口 Ｋ ｂ 其 中 口 ｂ为 正 实 数 ， 维 ￣ｅ ｚ ｎ 其 Ｌ Ｌ ， ， Ｍ
ｒ ［ 一（ ＝ｃ １ ｎ一１ ］ ｔ ［ 一（ ， ：ｃ １ ｎ一１ 一 ］ ） ．
注： 论 １ 推 被文 ［ ］ ３ 所研 究 ， 但该 文 （ ．８ 计算 有误 ， 漏 （ｉ 中 ｎ ３的结 论 ， 理 １ ３１） 遗 ｉ ） 定 和推 论 １ ［ ］ 是 ３ 中结
共形平坦黎曼流形中的紧致子流形
在
－ “
中选取 局部 正交 标架场
－ ＋ ， ． 。使得 限制 在 Ｍ 时， ， 上
一 是 的切 向 量场 ， ， 令 Ｉ ，
，
Ｃ ＋ 其对 偶标 架场 ， Ｏ ｐ为 ｎ 并约 定指 标 的取 值范 围为 ：
１≤ Ａ ， Ｃ， ≤ ｎ ＋ ； Ｂ， … １≤ ， 矗 … ≤ ｎ； ＋ １≤ ａ 卢 ， ≤ ＋ 。 ， ， ｎ ，， …
叉 是 局部对 称 的， 以 所
（） １ ０
Ｋ ＝∑ ＾Ｋ ＋∑ ＾ 孰 肛 ＋∑ ＾ 口 一∑ ＾ ＊ ，
用 ＾ 和 ＾ 示 蟠 的一 阶和二 阶共变 导数 ， ｊ 缸表 则 Ⅵ 的 Ｃ ｄｚｉ ａａｚ方程 和 Ｒｃｉ 式 是 ｉ 公 ｃ
＾ ～ ＾ ＝ Ｋ ，
其 中
＾
Ｒ ＋∑ （ 一 ） 傩 ＝Ｋ ＾ ＾ ，
Ｒ ＝∑ （ ～ ＾ 垤碍） ，来自 以 各式 上 中蟠是Ｍ 的 二基 式∑＾ 的系 Ｍ 的 第 本形 知 数， 平均曲 量 ／ ∑ ＾ 。 率向 为１ 知 令日 表示对 称矩阵 ＾） （；， 则ｓ＝∑ （Ｄ ：∑ ｔ ： 取ｅ ｌ 平均曲 量 一致， ｈ。 ｒ。 ｎ与 日 选 ＋ 率向 方向 则 ∑＾ ｔＨ ） Ｈ ｒ ＝ｎ ， （ ｆ） ９ ∑ 雠 ＝ｔ Ｈ） ， ｒ ｏ ＝０ （ ≠ｎ １ ＋，
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第２ ４卷第 ２期
Ⅷ ２ Ｎｏ ２ ４
丽 水 师 范 专 科 学 校 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＬＩ ＩＵＩＴＥ Ｓ Ｉ ＡＣＩＥＲＳ Ｃ Ｉ ＯＬＬ ＥＧＥ
２ ０ 年 ４月 ０２
Ａｐ ． ０ ２ ｔ２ ０
（ ２ ）
收稿 日期 ｔ０ ２ １ ３ ２ ０ —０ —２
平行Ricci曲率黎曼流形中具有平行中曲率向量的子流形
（） ６
一
＝
∑ （ 尺 ＋ Ｒ 一∑ｈ 耐）
（） ７
Ｉ Ａｎｐ ＋ （ ，，，） Ｃ 凡 ，，） Ｍ ． （，， Ｂ ｎ 丁 ＋ （ ， ６． ＋ ， ｛ ） ｐ Ｐ ｒ 具有平行中曲率向量 ， Ｈ ＝Ｈ … ， 令 ｅ 则有ｌ － ５
何 水军 ， 陈抚 良， 段仁杰
（ 江西师范大学数信学 院 ， 江西 南 昌 ３０２ ） ３０２
摘 要 ： 究了具有 平行 Ｒｃｉ 研 ｉｃ 曲率黎 曼流 形 中具有平 行 中 曲率向量 的子 流形 。获 得 了 Ｊｓ ｏ ｓ型积 分不等 ．ｉ ｎ ｍ
式， 推广 了局部 对称空间该类子流 形的相 关结果。
Ａｂ ｔａ ｔ Ｗ ｅｓｕ ｙｔｅ ｓ ｂ ｎｆｌｓｗｉ ａａｌｌ ａ ｕ ｖ ｔｒ ｅ ｔｒｉ ｅ ｎ ｉｎｍａ ｉ ｌｓ ｓｒ ｃ ： ｔｄ ｈ ｕ ｍａ ｉ ｄ ｔ ｐ ｒｌ ｏ ｈ ｅ ｍｅ ｎ ｃ ｒａｕ ｅｖ ｃｏ ａＲｉｍａ ｎａ ｎｆ ｄ ｎ ｏ ｗｉ ａａｌｌＲ ｃ ｉ ｕ ｖ ｔｒ．Ｗ ｅｏ ｔｉ ｎｉ ｔｇａ ｅ ｕ ｌｔ ｆ ｉ ｎ ｙ ｅ Ｔ ｅｒｓ ｌ ｏ ｕ ｍａ ｉ ｔ ｐ ｒｌ ｉｃ ｒａｕｅ ｈ ｅ ｃ ｂａｎａ ｅ ｒｌｉ ｑ ａｉ ｏ ｍｏ ｓｔｐ ． ｈ ｅｕｔ ｆｓ ｂ ｎ ｎ ｎ ｙ ｓ
第２ ９卷
第 ３期
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西
２１ ０ １年 ６月
科
学
Ｖｏ ． 。 １２９ Ｎｏ ３
ＪＡＮＧ》 ＳＣ ＥＮＣＥ Ｉ （ Ｉ Ｉ
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文章编 号 ：０ １— ６ ９ ２ １ ） ３— ３３—０ １０ ３ ７ （０ １ ０ ０ １ ４
平 行 Ｒｃｉ ｉ 曲率 黎曼 流 形 中具 有 平 行 中 ｃ 曲率 向量 的子 流形
微分拓扑学中的黎曼流形与黎曼几何
微分拓扑学中的黎曼流形与黎曼几何微分拓扑学是数学中的一个分支，研究的是拓扑空间中的微分结构和相关概念。
其中，黎曼流形和黎曼几何是微分拓扑学中重要的概念。
本文将详细介绍黎曼流形与黎曼几何的定义、性质和应用。
一、黎曼流形的定义与性质黎曼流形是微分多变量函数空间的一种推广，它是一个拓扑空间，同时具有度量结构。
具体来说，黎曼流形是一个光滑流形，上面定义了一个内积和一个度量。
度量可以用来测量流形上两点之间的距离，并根据此构建微分几何学中的一些基本概念。
黎曼流形的定义需要满足以下条件：1. 流形：黎曼流形是一个拓扑空间，本身可以用欧几里得空间的子集进行局部近似。
2. 光滑结构：黎曼流形上的函数应该是光滑的，即无限可微。
3. 内积：黎曼流形上每个切空间都有一个内积，用于定义向量的长度和夹角。
4. 度量：黎曼流形上的度量是由内积导出的，它可以测量两点之间的距离，同时也定义了切空间的正交补。
黎曼流形具有以下性质：1. 平坦性：当黎曼流形上的度量与欧几里得空间相同时，流形被称为平坦的，即其曲率为零。
2. 曲率：黎曼流形上的曲率描述了流形的弯曲程度，它反映了度量空间的非欧几里得性质。
3. 保度量映射：黎曼流形上的保度量映射是指保持度量不变的光滑映射关系。
二、黎曼几何的定义与应用黎曼几何是基于黎曼流形的几何学分支，研究的是曲面的性质和相关的几何概念。
在黎曼几何中，曲面不再受限于平面的规则，可以具有自由弯曲和变形的性质。
黎曼几何的主要应用包括以下几个方面：1. 空间曲线和曲面的研究：黎曼几何可用于描述空间中的曲线和曲面的性质，如曲率、切线、法线等。
2. 弯曲空间的测地线：在黎曼几何中，测地线是空间中具有最小曲率的路径，它在相对论和导航系统等领域有着广泛的应用。
3. 黎曼度量的应用：黎曼度量可用于测量空间的不同部分之间的几何关系，如距离、角度等。
4. 物理学中的应用：黎曼几何在物理学中有着广泛的应用，如广义相对论中描述引力场的弯曲空间、量子力学中的路径积分等。
局部对称的黎曼流形中的极小子流形
局部对称的黎曼流形中的极小子流形张志兵;陈抚良【摘要】In this paper, we mainly investigate rigidity problem of the oriented compact minimal submanifold in local symmetry Riemannian manifold, using a matrix inequality, got a rigidity theorem of this kind of sub-manifold.The results improve partly a conclusion which has been published.% 主要研究了局部对称的黎曼流形中的定向紧致无边极小子流形的内蕴刚性问题，利用一个矩阵不等式，得到了这类子流形的一个刚性定理。
所得结果部分改进了已有的一个结论。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】9页(P373-381)【关键词】局部对称的黎曼流形;极小子流形;矩阵不等式【作者】张志兵;陈抚良【作者单位】江西师范大学数信学院，江西南昌330022;江西师范大学数信学院，江西南昌 330022【正文语种】中文【中图分类】O186.12这时利用定理1.3的情况(2),可得定理1.4的结论(2),从而定理1.4得证.致谢非常感谢审稿人的帮助和指正．【相关文献】[1]Yau S T.Subm anifolds w ith constan tm ean cu rvature II[J].Am er.J.M ath.,1975,97:76-100.[2]纪永强,徐森林.局部对称黎曼流形中的极小子流形[J].东北数学,2005,21(1):61-69.[3]Gu J R,Xu H W.On Yau Rigidity Theorem For M inimal Submanifolds In Spheres[J].M ath.Res.Lett., 2012,19(3):211-523.[4]纪永强.子流形几何[M].北京:科学出版社,2004.[5]Lu Z Q.Normal scalar curvature con jecture and its app lications[J].Journal Functional Analysis,2011,261: 1284-1308.[6]Ge JQ.Tang Z Z.A p roof of the DDVV con jectu re and its equality case[J].Pacif c J.M ath.,2008,237:87-95.[7]Lu Z Q.Recent developments of the DDVV conjecture[J].Bull.Transil.Univ.Brasov.Ser.B,2008,14: 133-144.。
局部对称空间中的紧致子流形_胡有婧
2 2 Hβ ) − tr(Hα Hβ )2 ], [tr(Hα
(2.18) 由 (2.2), (2.3) 和 (2.9) 式, 得
n+p n α α hα ij (hmk Rmijk + hmi Rmkjk ) α=n+1 i,j,k,m=1 n+p n α α hα ij (hmk Kmijk + hmi Kmkjk ) + nH α=n+1 i,j,k,m=1 n+p n+p α=n+1 2 2 [tr(Hα Hβ ) − tr(Hα Hβ )2 ], α,β =n+1 n+p 2 tr(Hα Hn+1 )
1137
由 (2.16) 式得
n+p n α hα ij ∆hij α=n+1 i,j =1 n+p n α hα ij (hmk Rmijk n+p n n+p n β ⊥ hα ij hik Rβαjk ] α,β =n+1 i,j,k=1
1 = [ 2 −
+
hα mi Rmkjk )
+
(2.17)
n+p α (hα mj Rmikl + him Rmjkl ) + β =n+1 ⊥ hβ ij Rβαkl ]ωk ∧ ωl .
[
k,l=1 m=1
即
n n+p
2hα ijkl
=
m=1
(hα mj Rmikl
+
hα im Rmjkl )
+
β =n+1
⊥ hβ ij Rβαkl ,
(2.15)
α 对 (2.11) 式求导得 hα ijkk = hikjk − Kαijkk (见文献 [7]), 再由 (2.15) 式得 n n
局部对称空间中具有平行平均曲率向量的子流形
局部对称空间中具有平行平均曲率向量的子流形
宋卫东
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2002(040)002
【摘要】研究n+p维局部对称完备黎曼流形中具有平行平均曲率向量的n维紧致子流形. 得到这类子流形关于第二基本形式模长的平方、截面曲率拼挤及余维数减小的几个刚性定理, 将常曲率空间中的类似问题推广到局部对称空间.
【总页数】5页(P122-126)
【作者】宋卫东
【作者单位】安徽师范大学数学系,芜湖,241000
【正文语种】中文
【中图分类】O186.12
【相关文献】
1.关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量的子流形 [J], 宣满友
2.关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的Pinching定理 [J], 李锦堂;林和子
3.局部对称空间中具有平行平均曲率向量的子流形 [J], 何丹
4.局部对称QC流形中具有平行平均曲率向量的子流形 [J], 李明图
5.局部对称空间中具有平行平均曲率向量的子流形 [J], 温焕明;陈抚良;肖志美
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局部对称空间中子流形的pinching问题的开题报告
局部对称空间中子流形的pinching问题的开题报告题目：局部对称空间中子流形的pinching问题1. 研究背景和意义对于几何学中的pinching问题，是研究紧黎曼流形上任意子流形的某些几何量的最大值和最小值的问题。
其中，子流形包括曲面、闭曲线、点等。
在局部对称空间上的子流形的pinching问题中，我们探究的是子流形的某些几何量在局部对称空间中是否存在上确界或下确界，特别地，它是否是唯一的。
局部对称空间是拓扑学和几何学中的一个重要研究对象，其具有对称性和性质较好的局部模型。
其包括Riemannian对称空间、非紧对称空间、对称域等，其丰富的拓扑和几何性质使得对其中子流形的分析与研究具有重要的意义。
2. 研究内容和方法我们的研究主要是以Riemannian对称空间作为研究对象，探究其中子流形的pinching问题。
其中，我们将重点研究曲面、封闭曲线和点的pinching问题。
具体而言，我们将从以下几个方面展开研究：1）研究曲面的pinching问题，利用局部对称空间的性质，探究其面积等几何量与曲率之间的关系，进而得到局部对称空间上曲面的pinching定理；2）研究封闭曲线的pinching问题，运用高斯公式和张量分析的方法，探究其弯曲半径与张量之间的关系，得到局部对称空间上封闭曲线的pinching定理；3）研究点的pinching问题，引入切向量、曲率半径等概念，得到局部对称空间上点的pinching定理。
研究方法主要包括局部对称空间的几何学和拓扑学的知识和方法，并运用微积分、曲面理论、张量分析等工具进行分析和证明。
3. 预期成果我们的研究旨在解决局部对称空间中子流形的pinching问题，具体成果包括：1）局部对称空间上曲面、封闭曲线和点的pinching定理；2）对于上述子流形的几何性质的深入理解和探讨；3）推广至非Riemannian对称空间情形的可能性的探究。
以上成果将有助于拓展已有的几何学和拓扑学知识，并对相关问题的研究提供新的思路和方法。
微分几何中的流形与黎曼几何
微分几何中的流形与黎曼几何微分几何是数学中的一个分支，研究的是曲线、曲面等几何对象的性质和变换。
其中，流形和黎曼几何是微分几何中的两个重要概念。
本文将对流形和黎曼几何进行详细介绍。
一、流形的基本概念与性质流形用于描述具有平滑结构的几何对象。
在微分几何中，流形是指具有局部欧几里得空间性质的空间。
具体来说，流形是指任意一个点上都有一个邻域，使得该邻域与欧几里得空间中的子集同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续双射，且该映射的逆映射也是连续的。
流形可以分为不同的维度，比如一维曲线、二维曲面等。
对于每个点上的切空间，可以定义切向量，从而形成切丛。
切丛是流形上的向量构成的空间，它使得流形的局部性质可以被刻画。
流形还可以在其上定义度量，用于测量空间中点与点之间的距离。
度量是一个二次型，它在切丛上定义了内积。
通过度量，我们可以定义黎曼度量张量，用于描述流形的本地纤维的内积。
二、黎曼几何的基本概念与性质黎曼几何是微分几何的一个重要分支，研究的是黎曼度量空间。
在黎曼几何中，黎曼度量空间指具有度量结构的流形。
在黎曼度量空间中，可以定义度量的导数，用于度量空间中曲线的变化率。
这个导数也叫作黎曼联络，它可以用于衡量流形的曲率。
曲率描述了流形上的曲线在运动过程中的弯曲程度。
通过黎曼度量空间的曲率，我们可以定义黎曼曲率张量，用于描述流形上的弯曲情况。
黎曼曲率张量是一个多重指标的张量，它反映了流形的内在几何特性。
黎曼几何还可以用于描述空间的拓扑性质。
拓扑是研究空间连通性、紧致性等性质的数学分支。
通过黎曼度量，我们可以定义黎曼体积，用于度量流形的大小。
三、流形与黎曼几何的应用流形和黎曼几何在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，流形和黎曼几何是研究微分方程、拓扑学和复变函数等领域的基础。
在物理学中，流形和黎曼几何被广泛应用于相对论和几何光学等领域。
相对论是描述时空结构和引力场的理论，黎曼几何被用于描述引力场的弯曲。
几何光学是研究光线在介质和曲面上传播的理论，流形被用于描述光线的路径。
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摘 要设 ，是 面 率 Ｎ 足 ＜≤ Ｎ１ Ｐ 局 对 完 黎 流 ， ：Ｎ ｐ截 曲 Ｋ满 专 Ｋ 的 ＋ 维 部 称 备 曼 形Ｐ ｌ ≤
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２０ ０ ２年 第 三 期
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆＧａ ｎ ｎ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣ ｌｇ ｏ ｍ ｌ ｎ ａ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｏ ｅ
№ ． ３
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局 部 对 称 黎 曼 流 形 中具 有 平 行 中 曲率 向 量 的 子 流 形 。
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第 ３期
吴庆琼 ， 伟 邓
局 部 对 称 黎 曼 流 形 中具 有 平 行 中 曲 率 向 量 的 子 流 形
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・ 收 稿 日期 ：０ ２一ｏ ２０ ３—０ ７
作者 简介 ： 吴庆琼 （ ９ ９ ） 女 ， １ ６ 一 ． 江西南 康人 ． 师 ， 要从事几 何学 课程 的教学 与研究 讲 主
声 明 外 ， 定 指 标 取 值 范 围为 ： ≤ ｉＪ ｋ， ≤ ，； １ ａ， ， … ≤ ”＋Ｐ； ≤ Ａ， Ｃ， 约 １ ，， … ，＋ ≤ 卢 ７， １ Ｂ，
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其中 ＊１ Ｍ 的体积元素 ． 是 当 ＝１ Ｈ ＝０ 即 Ｍ 是常 曲率空 间 一ｐ １ 的 紧致 极 小子 流形 ， ， （） 时 ． 得 到 Ｓｍｏ ｓ 分 不 等 式 ： 可 ｉ ｎ积
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因 为 Ｍ 具 有 平 行 中 曲 率 向量 ， 对 任 意 ａ， 则 ｋ有
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形 式模 长平 方的积 分 不等 式及其 Ｐｎ ｈｎ ｉｃ ｉｇ问题 ． 关键 词 ： 局部 对 称 ； 平行 ； 中曲率 向量 ； 积分 不等 式 中图 分类 号 ： ８ ． ２ Ｏ１ ６ １ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ４ ３ ２ ２ ０ ） ３ ０ ６—０ １０ —８ ３ （ ０ ２ ０ —０ ０ ５
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