整体性教学——初中数学提质增效的有效路径

2018年8月1$
整体性教学一一初中数学提质增效的有效路径
⑩江苏省海安市南莫中学杨建生
初中数学课程有着自身严密的逻辑体系，它既不同 于基础性、综合性的小学数学，也不同于专业性比较强 的高中数学，它是两者的过渡，是数学基础教育的核心 部分.如何保证初中数学教学高效高质？这是一个十分 有价值的研究课题.当下，有不少初中数学教师，注重 “课时主义”，有一种“知识点情结”，由此让初中数学教 学处于散点、零碎、孤立状态.章建跃博士认为，对于数 学概念、定理等数学知识，教师一个个地教，学生一个个 地学，容易迷失在局部，只见树木不见森林.作为教师，必须有意识地运用整体性思维，对盘根错节的数学知识 进行整合，让知识不再是杂乱无章的瓦砾.只有把握数 学知识的内在秩序，才能呈现数学知识的内在结构，形 成系统的育人力量.
一、立足“类”，打通学生的思维通道
数学知识是一个整体性、结构性的有机统一的系 统，但是为了兼顾学生的数学接受心理，数学知识被人为分割，以“点”的形式分布于教材之中.因此，通常情况 下，教师的数学教学是按照“知识点”，也就是按照“课 时”展开的.这样的教学优点是有助于突出重点、分散难 点.但与此同时，也存在着割裂知识的弊病.作为教师，要 立足“类”的视角，把握数学知识的整体的内在的结构. 只有这样，才能把握数学知识的逻辑之链，满足学生的 成长之需.教学中，教师可以运用“大问题”，设置“长任 务”来组织教学.
教学《一元二次方程》，考虑知识结构、体系以及局 部知识与整体知识的关系，笔者突破常规教学方式，引导学生根据一次方程学习经验，迁移概括一元二次方程 定义、一般形式，获得整体性认知.在此基础上，根据一 元二次方程的四种解法之间的关系，引导学生深度探 究.从整体到局部，学生在结构性迁移中感受到数学知 识的整体性.
1.问题情境
①如何用一张长方形纸做一个无盖的长方体盒子？
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
的运动情况未能在算式中表达出来.
师:那怎么办呢？
生3 4将蜗牛向右爬行记作正方向，向左则为负，列 式如下:（1)(+5)+ (+3)=+8;(2)(-5)+ (-3)=-8;(3)(+
5)+(-3)=+2;(4)(+3)+(-5)=-2;(5)(+5)+(-5)=0;
(6)(-5)+(+5)=0;(7)(+5)+0=+5;(8)(-5)+0=-5.
师:大家能用语言文字描述加数的绝对值与和的绝 对值之间存在怎样的关系吗？
生4:(1 (2)两式中和与加数的符号相同，因此两者 绝对值相等;（3)(4)两式中和与其中一个加数的符号一 致，和的绝对值与加数的绝对值的差相等；（5)(6)两式 中和的绝对值与加数的绝对值之差相等;（7)(8)两式中 和的绝对值分别与非负数加数之和、非正数加数之和的 绝对值相等.
师:大家可有更加准确精炼的表达？
生5 4看较大加数减较小加数的绝对值.
生6:和的符号和绝对值较大的加数的符号保持一 致.
师:接下来我们把这几个式子总结分析一下.
生7:(1)(2)式是同号相加，符号一致，和的绝对值 与加数绝对值之和相等；（3)(4)式是异号相加，和的符 号和绝对值较大的加数保持一致，和的绝对值与加数的 绝对值的差相等；（5)(6)结果是0,两加数互为相反数；
(7)(8)式中的加数与零相加仍等于这个数，一共可以分 成四类.
师:很好，这就是我们今天要研究的加法运算法则.
课堂教学中的有效追问是教师教学智慧与教学艺 术的体现，教师在实际教学中应适时捕捉学生反馈并进 行高质量的追问，开启学生智慧的同时演绎课堂教学的 精彩.!
初中十37
醒教育纵横
②一张长为16cm、宽为12cm的长方形纸，如何做成
一个底面积为96cm2的无盖的长方体盒子？
2. 自主解答
学生根据题意列出了方程，然后将方程变形，形成 了“一元二次方程”的一般形式.对照形式，学生根据经 验命名、定义.接着，笔者出示了一系列方程，让学生自 主判别是否是一元二次方程.通过判别，深化学生对二 次项系数不为0的理性认知.
3.探究方法
接着，笔者借助方程"2#16、("-1)2%16、"2-2"-15%0,引导学生自主探究.从“直接开平方法”到“因式分解 法”，从“配方法”到“公式法”，学生不仅掌握了各种解 法，而且理解了各种解法之间的内在关联，形成了解决 问题的基本思想方法，即降次;形成了解决问题的基本 思路，即将一元二次方程变形转化为的形式.在这个过程中，充分发挥学生的主观能动性、创造性.
整体性教学，一方面顺应知识本身的发展逻辑，另一方面，关照学生数学的现实发展水平，赋予了学生自 主探究的时空.学生能够主动参与学习，活化了学生的 数学思维，启迪了学生的数学想象.学生在结构探索中 感受、体验到数学知识的整体性，实现了学生数学素养 的提升.
二、聚焦“变”，把握数学的内在本质
《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学 知识教学，要注重知识生长点和延伸点，把每堂课的知 识置于整体知识体系中，注重结构和体系.”整体性教学 是一种变易教学，通过“变”，把握数学知识整体与部分 的关系，能够把握数学知识的内在本质.聚焦“变”，就是 追求那种“会一题，通一类，连一片”的学习境界.
比如，教学《三角形三边关系》，笔者以“等腰三角 形”为载体，设计了一组变式习题，旨在让学生深刻理 解、掌握“三角形三边关系).
变式问题1%—个等腰三角形，若底是5cm，腰是 8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？
变式问题2 %—个等腰三角形，若两条边的长度分别 是5cm和8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？
变式问题3 %—个等腰三角形，若两条边的长度分别 是8cm和3cm，则这个等腰三角形的周长是多少？
变式问题4 %—个等腰三角形的周长是20cm，一条边 为6cm，则另两条边的长度分别为多少？
38十初中
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变式问题5 %—个等腰三角形的周长是20cm，一条边 为4cm，则另两条边的长度分别为多少？
这样的问题变式，聚焦于“三角形的三边关系”.其中，变式问题1重在让学生理解“腰”的内涵；变式问题2 重在引导学生对等腰三角形的周长进行分类讨论;变式 问题3则将“等腰三角形的腰”与“三角形三边关系”联通 起来，其目的在于不能因为讨论腰的可能性而忽略三角 形三边关系，凸显三角形三边关系是解决问题的基础；变式问题4则是反其道而行之，重在结合“等腰三角形的 特点”考查学生的逆向思维;变式问题5同样是反其道而 行之，但不仅要结合“等腰三角形特点”，更要结合“三角 形的三边关系”.这样“数变、式变而境不变”的变式教学 能够激活学生整体变通的思维能力，有助于学生从多维 视角审视数学知识.
在问题变式中，学生对问题的本质展开深度思考.由于教师动态呈现形式，因此学生展开分层比较.在自 主思考、小组交流中，学生不断向数学知识的本质深处 迈进，逐步进行关联性的数学思考.通过“变”，将数学知 识蕴含的深刻本质显露、敞亮出来.学生在变式中感受 问题的变化，感受所学知识的关联性，有助于其数学核 心素养的发展.
三、观照“联”，洞察知识的整体脉络
初中数学整体性教学不仅重“变”，而且重“联).所 谓“联”，即是左右贯通，上下关联.数学的“联”，是建立 在数学思想方法的整体性、内在的一致性基础之上的.在数学教学中，如果我们忽视“联”，就会降低数学知识 关联的融合度，弱化学生数理判断的匹配度，还会压缩 学生数学思维的兴趣度，分散学生数学思想方法的指向 度，等等.关照“联”，能够打通学生的思维通道.南京大学 的郑毓信教授认为：“数学教学的问题，不是求全，而是 求‘联’.”“联”的数学教学追求一种结构、整体、系统，讲 究的是一种集约谋划、连点成线、勾面成体.正是通过 “联”，初中数学知识能够成为一个有机体，学生的思维 能够成为一种完整的心理表征.
比如，代数是初中数学的重要分支，有着丰富的教 学内容.作为数学教师，不仅要把握知识的形，更要领悟 知识的内在之神.梳理初中代数内容，主要包括有理数、多项式加减、乘除、一元一次方程、因式分解、一元二次 方程、不等式、分式、二元方程组、二次根式以及函数图 像，等等.不难发现，整个教材知识是以“方程为纲”、以
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“元”为序安排的.所谓“以方程为纲”，是指以方程带动 数的学习、式的学习，因为方程是整个代数研究的根源.同时，“以方程为纲”要求初中代数教学要从问题开始，还要回归到问题解决之中以方程为纲”，我们可以梳 理出这样的一条知识脉络:通过字母代数，从有理数引 人多项式;从多项式引人一元一次方程;从解方程引人 等式性质;从等量关系引人不等量关系，进而引人不等 式;从实际复杂问题引人分式方程、二元方程、二次方 程;从二次方程引人方程解的函数图像，等等.再看“以元为序”，所谓“以元为序”，是指按未知数由少到多顺序 来编排方程，从一元一次方程到一元二次方程，再到二 元一次方程组，等等.有了这样的整体把握，教学中就能 打通学生的思维通道.
观照“联”，构建知识网络，让学生数学学习富有结 构性.其中，既要引导学生进行架构，又要引导学生进行 建系，从而能将知识进行横向关联和纵向融通.借助心 理同化、顺应，外在知识结构与内在认知结构互动协调、共生共长.
四、建构“体”，形成结构迁移性思维
整体性教学不仅要让学生掌握结构性知识，更为重 要的是形成学生的结构性思维.结构性思维有助于学生 主动迁移知识、运用知识.在初中数学教学中，教师不仅 要教技术、教方法和教技巧，而且要教思维方式、教解决 问题的策略.不仅要引导学生“想得到”，而且要教学生 “懂逻辑”、“能思维为此，教师要建构“体”，引导学生 主动迁移，让学生能够融会贯通、举一反三.
以《从分数到分式》教学片段为例，教学中，笔者首 先引导学生回顾数的发展历程.学生回顾数学学习历 程，通过反思、交流，形成了这样的知识结构，实数包括 有理数和无理数，有理数包括整数和分数，分数包括分 数概念、分数基本性质、分数的运算等.知识“体”的回顾，为学生学习“分式”发挥着先行组织的作用.在此基
础上，学生进行类比，展开新的建构.代数式包括有理式
和无理式，有理式包括整式和分式，整式包括单项式和
多项式，分式包括分式概念、分式基本性质和分式的运
算等.学生由实数的内在结构，推测出“代数式”结构，不
仅让学生理解、掌握了代数式的内容，更为重要的是初
步感悟到代数式内部知识的逻辑关系.在这个过程中，
学生主动迁移、探究、发现，为进一步系统学习奠定了坚
实基础.当学生理解、掌握了新知后，笔者有意识地将 “数”的知识和“代数式”的知识融合起来，建构了 “数与
代数”结构体系，小的数学知识系统组合成大的数学知
识系统.
在初中数学教学中，教师要善于追溯本源，从学生
熟悉的数开始，逐步过渡到式，在数中孕育“式”，在数中
“懂逻辑”，并从“数”的逻辑迁移到“式”的逻辑.在这个
过程中，学生的结构迁移性思维得到了发展.学生整合
了知识能思维，经历了重构会思考，其数学核心素养得
到充分地发展.
整体性教学，呈现给学生的是一种全新的、科学化
的教学图景.基于学生立场，整体性教学追求知识的整
体性、学生学习的整体性以及教师教学的整体性.立足 “类”、聚焦“变”、观照“联”、建构“体”，引导学生自建构、
互建构、深建构，不断走近学习对象、不断突破数学本
身，不断发掘并真正实现数学的学科育人价值.
参考文献：
1.朱先东.基于整体思想的数学教学设计[j].中学数 学教学参考（中），2012(4).
2.吴晶君.基于变异理论的初中数学变式教学实践与思考[j].中国数学教育（初中版），2015(7-8).
3.施俊进.在结构中感受数学整体性[j].江苏教育(中学教学），2018(4).!
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