高中数学第一章推理与证明本章整合课件选修

专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
由所给出的两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)),可知直线 PQn 的斜率一定存
在.
故直线 PQn 的方程为 y-5=
令 y=0,可得-5=
4 +3
,
+2
4 +3
xn+1= .
+2
( )-5
(
-4
2 -2 -8
·(x-4),
-4
-5
即
= − 4,
+ 2
所以 x=
故
− 4),
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
下面用数学归纳法证明 2≤xn<3.
(1)当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
是等差数列.
(2)Tn =(-12 + 22 )+(- 23 + 24 )+…+(- 22-1 +
(2 +2 )
2
2)=2d(a2 +a4 +…+a2n )=2d· 2
=2d2 n(n+1).
1
1 n
1
1 1
1
1
所以 ∑
1
=1 T k
=
2
∑
2d k=1 (+1)
计算、观察、分析,推测出它的通项公式或推测出这个数列的有关性质,应明确用
不完全归纳法去探索数学问题时,必须用数学归纳法对结论的正确性进行证明.
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
应用函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
应用已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证
: , , 不成等差数列.
证明:假设 , , 成等差数列,
则 + = 2 ,
即 a+c+2 = 4.
∵b2=ac,∴ b= ,
∴a+c+2 = 4 .
∴( − )2 = 0, 即 = .
从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾,
故 , , 不成等差数列.
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题四
tí)三
专题四
应用1对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体
的内切球切于四个面所在正三角形的位置是(
)
A.各正三角形内的任一点
B.各正三角形的中心
C.各正三角形边上的任一点
D.各正三角形的某中线的中点
提示:空间中的问题可以类比平面中的问题解决.
解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边
解析:因为5+6-9=2,
6+6-10=2,
6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.
答案:F+V-E=2
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.
真题放送
1
2
3
4
5
3.(2016·天津高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列(děnɡ chā shù liè),公差为d.对
任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中项.
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1
2
= , − 1 =
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
提示:由最后一个等式可知,ak-1是第三项的系数,ak-2是第四项的系数,可观察
系数的特点.
解析:由观察可知当 k≥2 时,每一个式子的第三项的系数是成等
差数列的,所以 ak-1=
专题
(zhuān
tí)三
专题四
数学归纳法
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳
法,它的证明共分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳基础”(或称特殊
性);第二步解决的是延续性问题(又称传递性).
不完全归纳法是从特殊出发,通过实验、观察、分析、综合、抽象概
括出一般性结论的一种重要方法,运用不完全归纳法可通过对数列前n项的
4
2
4
=1

1
1
1
1
∑ 4 = 5 + 4 + 3 −
,
5
2
3
30
=1

1
1
5
1
∑ 5 = 6 + 5 +
4 −
2,
6
2
12
12
=1

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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
专题
(zhuān
tí)三
(zhuān
tí)二
专题四
1
1
1
1
1
∑ 6 = 7 + 6 + 5 − 3 +
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
根据(1)和(2),可知2≤xn<3对任意正整数恒成立.
下面证明xn<xn+1,
xn+1-xn=
4 +3
−
+2
=
4 +3-2 -2
+2
由2≤xn<3,得1≤xn-1<2,
故0<-(xn-1)2+4≤3.
故xn+1-xn>0,
即xn<xn+1.
2
3
1
2-1
1
1
1
1
− 2 = +1 + +2 + ⋯ + 2
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真题放送
1
2
3
4
5
2(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想(cāixiǎng)一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是
=cos(α+β)sin β.
∴sin[(α+β)-β]=cos(α+β)sin β,
即cos(α+β)sin β=sin α.
∴sin(α+β)cos β=2sin α.
∴sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=3sin α,
即3sin α=sin(α+2β).
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专题一 归纳与类比
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,
再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否正确还有待严格的证
明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
专题二
一步获得新知识.
分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法.在探求问题的证明时,它可以
帮助我们构思,因而在分析问题时,较多地采用分析法,只是找到思路后,往往
用综合法加以叙述.在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开.
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
答案:

12

, 第四项均为零,所以 ak-2=0.
12
0
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
综合法与分析法
综合法是由已知到未知的逻辑推理方法,在我们已经储存了大量的知识,积
累了丰富的经验的基础上所用的一种方法,可以使我们从已知的知识中进
的中点类比正三角形的中心.
答案:B
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综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
应用 2 观察下列等式:
1
1
∑ = 2 + ,
2
2
i=1

1
1
1
∑ 2 = 3 + 2 + ,
3
2
6
=1

1
1
1
∑ 3 = 4 + 3 + 2,
综上所述,2≤xn<xn+1<3恒成立.
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第十八页，共二十九页。
=
-( -1)2 +4
.
+2
真题放送
1
2
3
4
5
1(2015·陕西高考)观察下列等式
1
2
1
1− +
2
1
1− +
2
1− =
1
2
1
−
3
1
−
3
1
1
1
= +
4
3411源自11+ − =
4
5
6
4
1
5
+ +
1
6
……
据此规律,第 n 个等式可为
本章(běn zhānɡ)整合
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第一页，共二十九页。
知识建构
推理
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理与证明
直接证明
证明
综合法
分析法
间接证明:反证法
数学归纳法
12/9/2021
第二页，共二十九页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
.
1
解析:经观察知,第 n 个等式的左侧是数列 (-1)-1 · 的前2n 项和,
而右侧是数列
⋯+
1
2-1
1

1
1
1
1
1
− 2 = +1 + +2 + ⋯ + 2 .
1
1
1
1
1
的第(n+1)项到第 2n 项的和,故为 1− 2 + 3 − 4 +
答案:1−
− 4 + ⋯+
12/9/2021 +
即证明3x4y2+3x2y4>2x3y3.
∵x>0,y>0,
∴x2y2>0,
即证明3x2+3y2>2xy.
∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,
∴3x2+3y2>2xy成立,
故(x
1
+y2)2
2
12/9/2021
> (3 +
1
3)3 .
第十一页，共二十九页。
1
3)3 .
综合应用
专题
(zhuānt
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
应用1已知tan(α+β)=2tan β,求证:3sin α=sin(α+2β).
提示:本题中的已知条件为正切,而所求证的结论为正弦,可以先把切化弦,再根
据角之间的关系进一步转化.已知角为α+β和β,所求角为α和α+2β,其中
α+2β=(α+β)+β需要进行变形.
12/9/2021
第九页，共二十九页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
证明:∵tan(α+β)=2tan β,
sin( + ) 2sin
∴
=
.
cos( + ) cos
∴sin(α+β)cos β=2cos(α+β)sin β.
∴sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题三
专题
(zhuān
tí)三
专题四
反证法
反证法是假设原命题的结论不成立,经过正确的推理最后推出矛盾,由此说明
假设错误,从而证明了原命题的结论成立.这里得出的矛盾可以是与某个已
知条件矛盾,可以是与某个事实、定理、公理相矛盾,也可以与自身相矛盾.反证
法的使用范围:唯一性问题,“至少”“至多”类问题,问题本身是否定语气提出的问题.
,
7
2
2
6
42
=1

……

∑ = + 1 + 1 + + − 1 − 1 + − 2 − 2 + ⋯
=1
+ 1 + 0,
可以推测,当 k≥2(k∈N+)时,ak+1=
_______, − 2 =
1
,
+1
______.
12/9/2021
=
∑
-
2
2 =1 +1
.
2 12/9/2021
2
第二十一页，共二十九页。
=
2
2
·
1
1+1
<
真题放送
1
2
3
4
5
4(2014·课标全国 Ⅱ高考)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1.
1
是等比数列, 并求{}的通项公式;