鲁教版初三(上)数学第73讲：与圆有关的位置关系(教师版)

与圆有关的位置关系
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1.掌握点、直线、圆与圆的位置关系；
2.掌握圆的切线有关概念、定理的应用.
1．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有
d>r点P在⊙O 外；
d＝r点P在⊙O 上；
d<r点P在⊙O 内．
2．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆_________d>R．
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O________ d＝R．
(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．
3．圆和圆的位置关系：
设的半径为R、r(R>r)，圆心距．
(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外
离d>R＋r．
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含
d<R－r
(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部
外切d＝R＋r．
(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部
内切d＝R－r．
(5)有两个公共点相交__________．
4.切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①____________________________________________是圆的切线．
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，_______________________________长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角．
参考答案：
2.（1）相离(2)相切
3.(5)R－r<d<R＋r
4.(1) 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
(3) 这一点和切点之间的线段的
1.判断点在圆上
【例1】已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是
A.点在圆上
B. 点在圆内
C. 点在圆外
D.不能确定
【解析】通过判断点到圆心的距离和半径的大小关系来确定点和圆的位置关系。

【答案】B
练习1.已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 .
A.点在圆上
B. 点在圆内
C. 点在圆外
D.不能确定
【答案】A
练习2.⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上。

【答案】3
2.直线与圆的位置关系
【例2】已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 位置不定
【解析】在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。

本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线。

【答案】解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
∴，
∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，
∴PQ⊥OP。

即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。

∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。

练习3. 一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.
A.相切
B.相离
C.相交
D. 不能确定【答案】B
练习4. 已知圆的半径为 6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.
A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定
【答案】C
练习5．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.
A.相切
B.相离
C.相交
D. 相离或相交【答案】C
3.圆与圆的位置关系
【例3】⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
【解析】根据圆心距和半径之和的大小关系进行比较，半径之和R1+R2=7cm，O1O2=10cm，R1+R2＜O1O2，可求出答案。

【答案】A
练习6.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.
A.内切
B. 外切
C. 相交
D. 外离
【答案】D
练习7. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.
A.外切
B.相交
C. 内切
D. 内含
【答案】D
4.位置关系的综合问题
【例4】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在
什么范围内取值时，AC与圆：
（1）相离；（2）相切；（3）相交。

【解析】要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

【答案】解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，
，
∴
（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；
（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；
（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。

练习8．如图，D为⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，∠D=300，求证;PA=PD。

【答案】连接PO,
∵PD是⊙O的切线
∴PO⊥PD,∠OPD=90°,
∴∠POD=180°-∠OPD-∠D=60°,
∵AO,PO为圆O半径
∴AO=OP,∠A=∠APO,
∵∠POD是三角形OAP外角
∴∠POD=∠A+∠APO
∠A= =30°
∴∠A=∠D
∴PA=PD
练习9.如图5，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，∠C=20°。

求∠CDA的度数。

【答案】125°
5. 切线问题
【例5】已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD 是⊙O的切线。

【解析】要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

【答案】证明：连结OD。

辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC是切线，AB是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切线。

练习10．如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

【解析】显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。

而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

【答案】证明：连结OD、OA。

过O作OE⊥AC，垂足为E。

∵AB＝AC，O为BC的中点，
∴∠BAO＝∠CAO
又∵AB切⊙O于D点，
∴OD⊥AB，又OE⊥AC，
∴OE＝OD，
∴AC与⊙O相切。

练习11. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE 交OP于C，求证：PC＝CD。

【解析】要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

【答案】证明：连结OD，则OD⊥CE。

∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
【例6】如图6，AB是⊙O直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O 于D，
CO的延长线交⊙O于E。

连接BE、BD，∠ABD=30°.求∠EBO 和∠C的度数。

【解析】由DE是⊙O直径，可得直径所对的圆周角是90°，∠DBE=90°，可求∠EBO；进而可求∠AOD，CA与⊙O相切于点A，可求。

【答案】解：∵DE是⊙O直径
∴∠DBE=90°，
∵∠ABD=30°
∴∠EBO=∠DBE-∠ABD=60°
∵OB=OE
∴∠EBO=∠OEB=60°
∴∠AOC=∠BOE=60°
∵CA与⊙O相切于点A
∴∠CAO=90°
∴∠C=30°
练习12. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．
【答案】解：连接BC ∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB
∵∠P=600∴△ABC是正三角形
∵∠PAB=600∵PA是⊙O切线
∴CA⊥AP ∴∠CAP=900∴∠CAB=300
∵直径AC ∴∠ABC=900
∴cos300=∴AB=
练习13. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
【答案】解：（1）∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°
∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°
∵PA、PB是⊙O的切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90°
∴在四边形OAPB中，
∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°．
（2）如图①，连结OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°
又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°
∴AP＝＝3．
1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）【答案】B
A．相离B．相切C．相交D．相交或相离
2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）【答案】B A．4cm B．2cm C．2cm D．m
1 2 3
3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=______cm 时，⊙M与OA相切．【答案】4
4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．【答案】∠B=∠C
5．（2014四川巴中一模）如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．【答案】
4 5
6．（2014武汉市中考）如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，
BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆
的位置关系是________．【答案】相离
7．（2014山西省平遥中考）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为多少？
【答案】
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．
【答案】△DEF是锐角三角形．连结OD、OE、OF．
综合应用圆的切线性质，四边形内角和定理和圆周角定理．
可以证得∠DEF=90°-∠A，∠DFE=90°-∠B，∠EDF=90°-∠C．
△DEF的三个内角都是锐角。

9．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．
试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？并说明理由．（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？为什么？
① ②
【答案】（1）∠D=∠CAB，理由（略）
（2）∠D=∠CAB 作直径AE、连结CE
由（1）可知：∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB
10．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．
【答案】（1）∠ADC的度数为120°（2）9cm
11．（2014内蒙古包头市一模）在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．
（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；
（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．
【答案】（1）解：连结OC，∵AB与⊙O相切于C点，
∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12
在Rt△ACO中，OA==13
（2）作OF⊥AB于点F点，连结OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，
在Rt△ODF中，OF==3，
在Rt△AOF中，tanA=
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC 于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，
∴△ACB∽△NMB，∴，∴AB·BM=BC·BN
（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°．
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
13．（2014云南清绵一模）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
【答案】（1）证明：如图，连结OA，因为sinB=，
所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，
所以△ACO是等边三角形，
故∠OAC=60°，因为∠CAD=30°，
所以∠OAD=90°，所以AD是⊙O的切线
（2）解：因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC=BC=5，
所以OA=5，在△OAD中，∠OAD=90°，
由正切定义，有tan∠AOD=，所以AD=5
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1.已知⊙O的半径为r，点P到点O的距离等于2 r，那么点P的位置一定在
【答案】圆外
2.在半径为5cm的⊙O中，弦AB长为8cm，那么弦AB的弦心距为cm【答案】3cm
3.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分成6cm和8cm两段，第二条弦的长为16cm，则第二条弦被交点分成的两段的长为【答案】4cm，12cm
4.一个点到圆上的最小距离为4 cm，最大距离为9cm，则圆的半径为cm【答案】6.5cm或2.5cm
5.下列命题错误的是（）【答案】A
A.经过三个点一定可以作圆
B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
6.如图，O为圆心，A、B、C、D是圆上四点，下面角度间等量关系不成立的是（）【答案】D
A.∠1＝∠2
B.∠3＝2∠2
C.∠1＋∠2＝∠3
D.∠3＝∠2
7.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）【答案】B
A.2
B.1
C.0
D.不确定
8.圆的外切梯形的中位线长10cm，则梯形的周长为（）【答案】C
A.30cm
B.35cm
C.40cm
D.45cm
9. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD⊥CD，D为垂足，如果CD = 3，AD = 4，那么AB = （）【答案】A
A. B. C.12 D.13
10.如图，AT是⊙O的切线，OD⊥BC于点D，并且AT = 10cm，AC= 20cm，OD = 4cm，则半径OC = （）【答案】A
A.8.5cm
B.8cm
C.9.5cm
D.9cm
11.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，半圆O切BC于点B，切AC于点D，交AB于点E，
BC= BE =2，求AE和AD的长
【答案】AE=，AD=
12.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，
若AE=2 cm，AD=4 cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
【答案】解：（1）连接OD ∴OD⊥AC
∴△ODA是Rt△
设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r2=16
解之得：r=3 ∴BE=6
(2) ∵∠ABC=900∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D ∴CB=CD 令CB=x
∴AC=x+4，BC=4，AB=x，AB=8 ∵∴
∴S△ABC=
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