黑龙江省七台河市2021届高三上学期期末联考数学(理)试题

黑龙江省七台河市2018届高三上学期期末联考数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合(1,)M =+∞，{|ln(4)}N x y x ==-，则()R M
C N =（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(1,4]
D ．(2,4) 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -
=（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．-1 D ．12i + 3．已知条件2:230p x x +-≤，条件:3q x >，则“p ”是“非q ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不
必要条件 4．设实数,x y 满足不等式1,1,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则12y x -的最小值是（ ） A ．-1
B ．12-
C ．2 D
5．若20(2)0(0)k x x dx k -=>⎰
，则k 等于（ ）
A ．12
B ．34
C ．1
D ．32
6．已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3
π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（ ）
A ．2 B
C ．1
D ．12
7．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，有2258220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，
55b a =，则37b b =（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
8．甲、乙两个射手的奥运预选赛的6次射击的成绩统计如下图的茎叶图，设甲、乙两
组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（ ）
A ．x x <甲乙，σσ>甲乙
B ．x x <甲乙，σσ<甲乙
C ．x x >乙甲，σσ>甲乙
D ．x x >乙甲，σσ<甲乙
9．已知函数2()2cos sin 21f x x x =--，则以下判断中正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移8π而得到
B ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4
π而得到
C ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向右平移38
π而得到
D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移34
π而得到 10．2021年江苏南京第二师范学院建设65周年院庆前夕，学院从8女4男中选出6人排练民族舞《小河淌水》以备院庆演出.如果按性别分层抽取，则不同的抽取方法种数为（ ）
A ．612C
B ．3384·
C C C ．4284·C C
D ．42
84·A C 11．已知函数323,[0,),()(3)1,(,0)x x f x x a a x a x -∈+∞⎧=⎨+-+-∈-∞⎩
在定义域内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[4,)+∞
B ．[3,)+∞
C ．[0,3]
D ．(,1][3,)-∞+∞ 12．已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，直线l 与C 交于A B 、两点，且2BF FA =，则直线l 的斜率可能为（ ）
A ．
B C ．1 D ．24
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比
以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ，
1612
T T 成等比数列．
14．如图所示是一个中国古代的铜钱，直径为3.6cm ，中间是边长为0.6cm 的正方形，现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为__________．
15．已知4(1)(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，则21(1)?(2)a x x
+-的常数项为__________．
16．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．
17．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5
a B
b A
c -=，求tan tan A B
的值.
三、解答题
18．2021年7月4日，外交部发言人耿爽就印军非法越境事件召开新闻发布会，参加的记者总人数为200人，其他区性的分类如下：
因时间的因素，此次招待会只选10位记者向耿爽提问，但每位记者至多提问一次.按照分层抽样法，欧美恰有1位记者得到提问机会.
（1）求,x y 的值；
（2）求前四次提问中，中国大陆记者得到提问的人数的分布列及数学期望.
19．如图所示，平面图形ABCDFE 中，其中矩形ABCD 的边长分别为3AB =，
8BC =，等腰梯形ADFE 的边长分别为5AE =，2EF =.现将该平面图形沿着AD 折叠，使梯
形ADFE 与矩形ABCD 垂直，再连接,BE CF ，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：
（1）证明：AB DF ⊥；
（2）求平面ABE 与平面CDF 所成锐二面角的余弦值.
20
．长轴长为1F ，2F 在x 轴上，抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ， 且12AF AF ⊥，12AF F ∆的面积为3.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于B ，C ，若2AC AB =，求直线l 的斜率k .
21．已知函数21()(22)(21)ln 2
f x x a x a x =-+++. （1）求()f x 的单调区间；
（2）对任意的35
[,]22a ∈，12,[1,2]x x ∈，恒有1212
11()()f x f x x x λ-≤-，求正实数λ的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为cos 2sin 2
x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（θ
为参数，
0r >）
，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C 的极坐标方程为cos()14
πρθ-=.
（1）若r =
（2）若曲线1C 上的点到曲线2C 的最大距离为3，求r 的值.
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a a =-+.
（1）若不等式()2f x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】 因为{}{|ln(4)}4N x y x x x ==-=，所以{|4}R C N x x =≤，因此()(1,4]R M C N ⋂=，故选C.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2．D
【解析】
因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i
-=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
3．A
【解析】
由条件2:230p x x +-≤知，:31p x -≤≤，由条件:3q x >知:3q x ⌝≤ ，因为
313x x -≤≤⇒≤，反之不成立，所以“p ”是“非q ”的充分不必要条件，故选A. 4．B
【解析】
作出可行域如下图所示：
设12y x z -
=，则只需求12y x z =+的最小截距，平移直线12
y x = ，当直线经过点(1,0)C 时，12y x z =+的截距最小，此时11022z =-=- ，故选B. 5．B
【解析】 由定积分定义知：22323001212(2)0(0)()|02323
k
k x x dx k x x k k -=>=-
=-=⎰,解得34k =，故选B.
6．B
【解析】
因为a 与b 的夹角为3
π，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为||a b -，而
2||=()14a b a b --=+-= B.
7．A
【解析】 在等差数列中，28285222()4a a a a a +=+=，由2258220a a a -+=得2554a a =，所以
54a =或50a =，因为等比数列{}n b 中，55b a =，所以54b =，又因为237516b b b ==，故选A. 8．A
【解析】
因为
79+88+89+949496=
906x ++=甲，84+87+89+89+98+99==916
x 乙，所以x x <甲乙， 因为
222222
(7990)(8890)(8990)(9490)(9490)(9690)32.36
σ-+-+-+-+-+-=≈甲 222222
(8491)(8791)(8991)(8991)(9891)(9991)=316
σ-+-+-+-+-+-=乙，所以σσ>甲乙，故选A.
9．A
【解析】
因为2()2cos sin 21=cos 2sin 2)4f x x x x x x π=---=
+，所以函数()f x 的图象
可由函数2y x =的图象向左平移8
π而得到，故选A. 10．C
【解析】 根据分层抽样，需从男生中抽取4人，女生中抽取2人，故不同的抽样方法共有42
84·
C C 种，故选C.
11．A
【解析】 323,[0,),()(3)1,(,0)x x f x x a a x a x -∈+∞⎧=⎨+-+-∈-∞⎩
在定义域R 上是增函数，则需在每段上都是增函数，且左边的最大值小于等于右边的最小值，故当0x <时，22()3(3)0f x x a a =+-≥' 恒成立，即22
3(3)max 0a a x -≥-= 且13a -≤-，解得4a ≥，故选A.
点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.
12．A
【解析】
设A 、B 两点坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y
2BF FA =
22112(1,)(1,)x y x y ∴--=- ，121212(1),2x x y y -=-=-
由题意，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程得：2440ky y k --= ，因为直线与抛物线有两个交点，所以0k ≠，2=16160k ∆+>，12124,4y y y y k
+==-，把122y y =-
代入即可解得k =± A.
13．81248
,T T T T 【解析】
对于等比数列，通过类比，有等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，
81248,T T T T ，1612T T 成等比数列．
14．19π
【解析】
由圆的直径为3.6cm 知圆的面积21.8s π=⨯，正方形面积20.6s '= ，所以现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为220.611.89P ππ
==⨯，故填19π. 点睛：解决此类问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.
15．-2
【解析】
因为4
(1)(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，所以4(1)81a +=，解得2a =，所以41(1)?(2)x x
+-中的常数项为01442242C C -=-=-，故填2-. 16．46r <<
【详解】
∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于
，
由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)
，当46r <<时满足题意.
考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离. 17．4 【
解
析
】
试
题
分
析
：
()333
cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos 555
a B
b A
c A B B A C A B B A -=⇒-==+⇒
sin cos tan sin cos 4sin cos 44cos sin tan A B A
A B B A A B B
=⇒=⇒=．
考点：三角恒等变换.
18．(1)20,80x y ==；（2）分布列见解析，期望为6
5
． 【解析】
试题分析：（1）由题意知抽样比为
101
=20020
，欧美恰有一位提问，故20x = ，从而求出80y =；（2）按照分层抽样法，则中国大陆将有3位记者得到提问机会，则ξ的可能取值
为0,1,2,3，按照超几何分布即可求出其分布列和期望. 试题解析： 由（1）∵
101
200x
=，∴20x =，∴()20060402080y =-++=. （2）按照分层抽样法，则中国大陆将有3位记者得到提问机会，其他地区将有7位记者得
到提问机会.
设ξ为前四次提问中中国大陆记者得到提问的人数，则ξ的可能取值为0,1,2,3.；
()47410106C P C ξ===；()1337410112C C P C ξ===；()22374103
210C C P C ξ===；
()31374101
330
C C P C ξ===.
∴ξ的分布列为：
则1131601236210305
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. 19．（1）证明见解析；（2）7
25
． 【解析】
试题分析：（1）因为AB AD ⊥，根据面面垂直的性质，可证明AB ⊥平面ADFE ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量及平面CDF 的法向量，利用法向量夹角即可求出. 试题解析：
解法一：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB AD ⊥.
∵平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE ⋂平面ABCD AD =，∴AB ⊥平面ADFE . ∵DF ⊂平面ADFE ，∴AB DF ⊥.
（2）如图所示，作EH AD ⊥，FG AD ⊥，垂足分别为,H G ，过,H G 分别作//HK AB ，
//GS CD ，交BC 分别于,K S ，连接,,,EK HK GS FS .
∵ABE ∆为直角三角形，且3AB =，5AE =，∴115
22
AEB S AB AE ∆=⨯⨯=. 在等腰梯形ADFE 中，易求4HE =， 而11
34622
EHK S HK HE ∆=
⨯⨯=⨯⨯=， 由题可知，ABE ∆在平面EHK 的射影为HKE ∆，
∴
64
cos 1552
EHK EAB S S θ∆∆=
==.
可知平面ABE 与平面CDF 所成二面角为2θ，而2
7cos22cos 125
θθ=-=
. 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，（1）则()0,0,0O ，()0,3,0A -，()3,3,0B -，
()0,5,0D ，()0,2,4F ，()0,0,4E . ()3,0,0AB =，()0,3,4DF =-，
∵AB DF ⋅= ()3003040⨯+⨯-+⨯=， ∴AB DF ⊥.
（2）设平面ABE 的法向量为(),,v x y z =，
则0,0
v AB v AE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，即30,
340x y z =⎧⎨
+=⎩
，
不妨取4y =-，则()0,4,3v =-.
同理可得平面CDF 的法向量为()0,4,3u =.
·cos ,v u v u v u =
= ()00443375525
⨯+-⨯+⨯=⨯. 二面角A PB C --的角的余弦值为
7
25
. 20．（1）221123x y
+=，28x y =；
（2
． 【解析】
试题分析：（1）根据实轴长为12AF AF ⊥，12AF F ∆的面积为3
列方程求出c,即可求椭圆方程，再根据点A 的坐标求抛物线方程；（2）设直线l 的方程为(
1y k x -=-，
分别联立椭圆和抛物线方程，根据根与系数的关系得18x k +=和18x k +=，再根据2AC AB =，联立条件即可求出k . 试题解析：
（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，1AF m =，2AF n =，
由题意知222
46m n c m n mn ⎧+=⎪⎪
+=⎨⎪=⎪⎩
，
解得2
9c =，∴2
1293b =-=.椭圆的方程为22
1123
x y +=.
∵3A y c ⨯=，∴1A y =
，代入椭圆的方程得A x =， 将点A 坐标代入得抛物线方程为2
8x y =.
（2）设直线l
的方程为(1y k x -=-，()11,B x y ，()22,C x y ，
由2AC AB =
，得(2
1
2x x -=-
，化简得12
2x x -=.
联立直线与抛物线的方程(218
y k x x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩
得2
880x kx -+-=，
∴18x k +=.①
联立直线与椭圆的方程(22
1412
y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，
得(
)(
)
2
2
221483280k
x k x k ++-+--=，
∴18x k +=.②
∴(12228x x k -=-
2
2
814k
k
--+=+
整理得：(
2161014k k ⎛⎫--= ⎪ ⎪+⎝⎭
，∴4k =，所以直线l
的斜率为4. 点睛：求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22
,a b 即可，注意
222,c
a b c e a
=+=
的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应
用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
21．（1）①当0a =时，所以()f x 增区间是(0,)+∞；②当0a >时，()f x 增区间是(0,1)与
(21,)a ++∞，减区间是(1,21)a +；③当1
02
a -
<<时，()f x 增区间是(0,21)a +与(1,)+∞，减区间是(21,1)a +； ④当1
2
a ≤-时，()f x 增区间是(1,)+∞，减区间是(0,1)；（2）0λ≥． 【解析】
试题分析：（1）先确定函数定义域然后求导，再对参数a 分类讨论，求出()0f x '>和
()0f x '<的解，即可求出单调区间；（2）由（1）知()f x 在[]1,2上为减函数.若12x x =，
则原不等式恒成立，若12x x ≠，不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x >，
12
11
x x >， 所以原不等式即为：()()121211f x f x x x λ
λ-≤-对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，[]12,1,2x x ∈恒成立，转化为研究()()g x f x x
λ
=-在[]
1,2的单调性，再利用导数即可求出正实数的取值范
围. 试题解析：
（1）()()21'22a f x x a x +=-++
()()211(0)x a x x x
---=>， 令()'0f x =，则121x a =+，21x =. ①当0a =时，()
()2
1'0x f x x
-=
≥，所以()f x 增区间是()0,+∞；
②当0a >时，211a +>，
所以()f x 增区间是()0,1与()21,a ++∞，减区间是()1,21a +； ③当1
02
a -
<<时，0211a <+<， 所以()f x 增区间是()0,21a +与()1,+∞，减区间是()21,1a +； ④当1
2
a ≤-
时，210a +≤，
所以()f x 增区间是()1,+∞，减区间是()0,1. （2）因为35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以()[]
214,6a +∈，
由（1）知()f x 在[]
1,2上为减函数.
若12x x =，则原不等式恒成立，∴()0,λ∈+∞. 若12x x ≠，不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x >，
12
11
x x >， 所以原不等式即为：()()121211f x f x x x λ⎛⎫
-≤- ⎪⎝⎭
，
即()()121211f x f x x x λ
λ-≤-对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，[]12,1,2x x ∈恒成立. 令()()g x f x x
λ
=-
，
所以对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，[]
12,1,2x x ∈有()()12g x g x <恒成立， 所以()()g x f x x
λ
=-
在闭区间[]
1,2上为增函数.
所以()'0g x ≥对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，[]
1,2x ∈恒成立.
而()()()212221ln 2g x x a x a x x
λ
=
-+++-， ()()'22g x x a =-+ 2
210a x x λ
++
+≥，化简即()()3222210x a x a x λ-++++≥， 即(
)2
3
22220x x
a x
x x λ-+-++≥，其中35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
∵[]
1,2x ∈，∴2220x x -≤，∴只需()
2
325
22202
x x
x x x λ-+-++≥. 即32760x x x λ-++≥对任意[]
1,2x ∈恒成立.
令()3
2
76h x x x x λ=-++，[]
1,2x ∈，()2
'31460h x x x =-+<恒成立.
∴()3
276h x x x x λ=-++在闭区间[]
1,2上为减函数，则()()min 28h x h λ==-，
∴()()min 280h x h λ==-≥，解得0λ≥.
点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
22．（1）相交；（2）1． 【解析】
试题分析：（1）l 化为普通直角坐标系下方程后，利用圆心到直线的距离判断其位置关系；（2）先求圆心到直线的距离d ，最大距离为d r +. 试题解析：
由已知得曲线1C 的普通方程为22
2
(0)22x y r r ⎛⎛⎫+++=> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，表示圆；曲线2C 的普
通方程为x y +=
.
（1）若r =
2d =
=<.
（2）由圆心到直线的距离
2
d =
=，得最大距离为d r +，
∴3d r +=，1r =. 23．（1）3
2
；（2）6m ≥． 【解析】
试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根即可求解；（2）分离参数，转化为求的最小值即可解决. 试题解析：
（1）2x a a -+≤，222a x -≤≤，即得221a -=，得32
a =. （2）∵()()f n m f n ≤--，∴()()m f n f n ≥+- 33
322
n n =-
+++.
∵min 33
(322
n n -
++=），且存在实数n 使()()f n m f n ≤--，
∴6m ≥.。