高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形教学案理含解析

三角恒等变换与解三角形
【高考考纲解读】
正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
【重点、难点剖析】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α
. 3．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .
4．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
， cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 5．三角形面积公式
S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12
ab sin C .
6．三角恒等变换的基本思路
(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°
等．
“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．
(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β等． 7．解三角形的四种类型及求解方法
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路
把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.
【题型示例】
题型一、三角变换及应用
【例1】(·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案 －12
解析 ∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2
得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12
， ∴sin(α＋β)＝－12
. 【变式探究】(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋α＝________. 答案 23－4
解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，
∴sin α＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32
cos α， ∴tan α＝32－33， 又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tan π4
＝3－11＋3
＝2－3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12
tan α ＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33
＝23－4. (2)若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( ) A.13 B ．－23
C.23 D ．－13
答案 B
解析 由题意得2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝2cos 2θ－sin 2θ22cos θ－sin θ
＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，
将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ，
即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，
解得sin 2θ＝－23
或sin 2θ＝2(舍去)， 所以sin 2θ＝－23
. 【变式探究】【山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是
C ∆AB A B C a b c C ∆AB
（A ） （B ） （C ） （D ）
【答案】A
【解析】
所以
，选A.
【变式探究】若tan α＞0，则( )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 【举一反三】 (·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D.12
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10
°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D
【变式探究】(·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋c os 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝
62
. 答案 62 【举一反三】(·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17
，则tan β的值为________． 解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17
，解得tan β＝3. 答案 3
【感悟提升】
(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．
(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没
2a b =2b a =2A =B 2B =A
有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．
(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．
【变式探究】(·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6
，则b ＝________．
解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3
.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sin π6
，解得b ＝1. 答案 1
题型二、正、余弦定理
【例2】(·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．
答案 233
解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，
∴由正弦定理得
sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .
又sin B sin C >0，∴sin A ＝12
. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc
>0， ∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833
， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233
. 【举一反三】【课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知
，
（1）求cos B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

【答案】(1)15cos 17
B ； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及
，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故 又
由余弦定理 及得
所以b=2.
【举一反三】(·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．
解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3
. 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
即28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3
， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4.
所以c ＝4.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6
. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612
AC ·AD ＝1. 又△ABC 的面积为12
×4×2sin∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.
【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.
(1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，AN BM
＝23，求AM 的值； (2)若b ＝12，求△ABC 的面积．
解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，
设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ，
又B ＝60°，AB ＝8，
在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2
－2×8×2x cos 60°，
解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2.
在△ABM 中，由余弦定理，
得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2， AM ＝82＋22－2×8×2×12
＝52＝213. (2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c
sin C
， 得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33
. 又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C
＝32×63＋12×33＝32＋36
， 所以△ABC 的面积S ＝12
bc sin A ＝48×32＋36
＝242＋8 3. 【举一反三】 若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．
解析S＝1
2 AB
·AC·sin A，∴sin A＝
3
2
，在锐角三角形中A＝
π
3
，由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝7.
答案7
【变式探究】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝
1
2
，C＝
π
6
，则b＝________．解析因为sin B＝
1
2
且B∈(0，π)，所以B＝
π
6
或B＝
5π
6
.又C＝
π
6
，所以B＝
π
6
，A＝π－B－C＝
2π
3
.又a ＝3，由正弦定理得
a
sin A
＝
b
sin B
，即
3
sin
2π
3
＝
b
sin
π
6
，解得b＝1.
答案 1
【举一反三】(1)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．
(2)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.
①求cos∠CAD的值；
②若cos∠BAD＝－
7
14
，sin∠CBA＝
21
6
，求BC的长．
【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．
(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．
(2)①如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得
cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
. 故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427
＝277. ②如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .
因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－714
， 所以sin∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217. sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )
＝si n∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD
＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217
＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC
sin∠CBA . 故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA ＝7×3221
6＝3.
【变式探究】△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C
的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213
.
(1)求A B →·A C →；
(2)若c －b ＝1，求a 的值．
【解析】解 (1)由cos A ＝
1213，且0<A <π， 得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
. 又S △ABC ＝12
bc sin A ＝30， 所以bc ＝156，
所以A B →·A C →＝bc cos A ＝156×
1213
＝144. (2)由(1)知bc ＝156，
又cos A ＝1213
，c －b ＝1， 在△ABC 中，由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )
＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1213 ＝25，
所以a ＝5。

【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A B →·A C →
，需要求出bc ，由三角形的面积及cos A ，可求出sin A ，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论． 题型三、解三角形的应用
【例3】(·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．
解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，可得 b sin A ＝a sin B .
又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3
.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3
， 得b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝7，故b ＝7.
由b sin A ＝a co s ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a <c ，所以cos A ＝277
. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437
， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17
. 所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B
＝437×12－17×32＝3314. 【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．
【变式探究】【浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．
【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：
， △ABE 中，，，
．
又，
，
综上可得，△BCD 面积为
152，．
【变式探究】 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6－2x －1(x ∈R )．
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且AB →·AC →＝6，求a 的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1 ＝－12cos 2x ＋32
sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6
(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，可得 2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6
＋2k π(k ∈Z )． ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3
， ∵AB →·AC →＝bc cos A ＝12
bc ＝6， ∴bc ＝12，
又∵2a ＝b ＋c ，
∴cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 2
8
－1， ∴a ＝2 3.
【举一反三】△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin∠B sin∠C
； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．
【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12
c 2. (1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12
s in 2C . 所以－cos 2B ＝sin 2
C .
又由A ＝π4，即B ＋C ＝34
π，得 －cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，
解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得
sin C ＝255，cos C ＝55， 又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010
， 由正弦定理得c ＝223
b ， 又因为A ＝π4，12
bc sin A ＝3， 所以bc ＝62，故b ＝3.。