【走向高考】高考数学总复习 8-2空间图形的基本关系与公理 课后作业 北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 8-2空间图形的基本关系与公理课后
作业北师大版
一、选择题
1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形
C．成直角三角形D．在一条直线上
[答案] D
[解析]D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F共线．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
[答案] A
[解析]若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．
3．(2011·浙江文，4)若直线l不平行于平面α，且lα，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
[答案] B
[解析]本题考查了线面、线线关系问题．
由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；
(反证法)假若∃m l，则m∥l
又∵lα，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．
故假设错误．
4．(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
[答案] D
[解析]
在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．
(理)如下图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，
AD 的中点，那么异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值等于( )
A.
10
5
B.
15
5
C.4
5 D.23
[答案] B
[解析] 取C 1D 1的中点G ，连OG ，GE ，易知∠GOE 就是两直线OE 与FD 1所成的角或所成角的补角．
在△GOE 中由余弦定理知cos ∠GOE ＝OG 2＋OE 2－EG 22OG ·OE
＝
5＋3－22×5×3
＝
155
. 5．(2011·江西理，8)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为
d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别相交于P 1，P 2，P 3.那么“P 1P 2＝P 2P 3”
是“d 1＝d 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[分析] 本题借助平面的基本性质，考查了逻辑推理及立体几何知识，还考查了空间想象能力以及数形结合思想．
[解析]
如上图，α1∥α2∥α3，l 与α1，α2，α3分别交于点P 1，P 2，P 3；作FP 3⊥α1，且FP 3与α2交于点E ，则FE ＝d 1，EP 3＝d 2.
根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P 1F ∥P 2E ，则P 1P 2P 2P 3＝d 1
d 2
，显然“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的充分必要条件．
6．(文)已知m 、n 为异面直线，m 平面α，n 平面β，α∩β＝l ，则l ( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 中至少一条相交 C ．与m 、n 都不相交 D ．与m 、n 中的一条直线相交 [答案] B
[解析] 若m 、n 都不与l 相交， ∵m α，n β，∴m ∥l 、n ∥l ， ∴m ∥n ∥l ，这与m 、n 为异面直线矛盾， 故l 与m 、n 中至少一条相交．
(理)将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、
BC 所成角的正切值为( )
A. 2
B.
2
2
C ．2 D.12
[答案] A
[解析] 取BD 中点F ，连AF 、EF ，∠AEF 是AE 、BC 所成的角，∵平面ABD ⊥平面CBD ，∴AF ⊥
EF ，∴tan ∠AEF ＝ 2.
7．α，β，γ几是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件．
①a∥r，bβ，
②a∥γ，b∥β，
③b∥β，aγ
如果命题“α∩β＝a，b r，且________则a∥b”为真命题．
[答案]①③
[解析]①中α∥γ，aβ，β∩γ＝b⇒a∥b；③b∥β，bγ，β∩γ＝a⇒a∥b.
8．如下图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角是________．
[答案]30°
[解析]
取AD的中点H.连接FH、HE.
则EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，
∴EF⊥FH，EH＝2，
又FH＝1，
∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.
三、解答题
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
求：(1)AB与B1C所成的角；
(2)AB与B1D的距离．
[解析](1)∵AB∥CD，∴∠B1CD为AB和B1C所成的角，∵DC⊥平面BB1C1C，
∴DC⊥B1C，
于是∠B1CD＝90°，
∴AB与B1C所成的角为90°.
(2)∵AB∥CD，AB平面B1DC，DC平面B1DC，
∴AB∥平面B1DC，
从而AB与B1D的距离即为AB与平面B1DC的距离，
连接BC1交BC于O点，
易知BO⊥B1C，BO⊥CD，
∴BO⊥平面B1DC，
∴BO的长为B到平面B1DC的距离，
∵BO＝
2 2
，
∴AB与B1D的距离为
2 2
.
一、选择题
1.如下图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是( )
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
[答案] C
[解析]本题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．
2．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．aα，bαB．aα，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α
[答案] B
[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.
(理)一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是( )
A．①②B．③④
C．②③D．①③
[答案] D
[解析]如下图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.
二、填空题
3．两异面直线a、b所成角为60°，直线l与a、b所成角均为θ，则θ的取值范围是________．[答案][30°，90°]
[解析]平移使它们均过同一点O，当l在60°角的平分线位置时，θ＝30°，将l绕着O点转动到与a，b都垂直时，θ＝90°.∴30°≤θ≤90°.
4．(文)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与
c 相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．
[答案]①
[解析]由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．
(理)如下图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四
面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[答案] ②③④
[解析] 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .
三、解答题
5．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 上的点，请回答下列问题：
(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？ (3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？
[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.
[解析] 本题是一个开放性问题．
(1)E 、F 、G 、H 为所在边的中点时，四边形EFGH 为平行四边形．证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH ∥BD ，且EH ＝1
2BD .
同理，FG ∥BD ，且FG ＝1
2
BD ，
从而EH ∥FG ，且EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 一般地AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD
时EFGH 为平行四边形． (2)AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD
且BD ⊥AC 时，四边形EFGH 为矩形．
(3)当E 、F 、G 、H 为所在边的中点且BD ⊥AC ，AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．
[点评] 上述答案并不唯一，如当AE :AB ＝AH :AD ＝CF :CB ＝CG :CD 时，四边形EFGH 也为平行四边形．
6．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交平面BDEF 于点R ，试确定点R 的位置．
[解析] 如上图，在正方体AC 1中，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．∴平面
A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ ，又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，
∴R ∈平面A 1C 1CA ，又R ∈平面BDEF ，∴R ∈PQ ， ∴R 是A 1C 与PQ 的交点．
7．(文)如下图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1
的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．
[解析] 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF . ∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点， ∴A 1B 1綊EG .
∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形． ∴B 1G ∥A 1E .
∴∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角． 在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝1
2AA 1＝1，
∴B 1G ＝ 2.在Rt△FBC 中，BC ＝BF ＝1， ∴FC ＝ 2.
在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3.
在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝5，在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2
， ∴∠B 1GF ＝90°.
因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°. (理)如下图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱．
(1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；
(2)已知二面角C 1－BD －C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值． [解析] 解法一：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ，
∴BD ⊥CC 1，
∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，
又∵AC 、CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.
(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O . ∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ，
∴BD ⊥C 1O ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°. 连接A 1B ，∵A 1C 1∥AC ，∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成的角． 设BC ＝a ，则CO ＝
22a ，CC 1＝CO ·tan60°＝62a ，A 1B ＝BC 1＝102
a ，A 1C 1＝2a . 在△A 1BC 1中，由余弦定理得，
cos ∠A 1C 1B ＝A 1C 21＋BC 21－A 1B
2
2A 1C 1·BC 1＝55
，
∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55
. 解法二：(1)
证明：建立空间直角坐标系Dxyz ，如下图：
设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )． ∴BD →
＝(－a ，－a,0)，AC →＝(－a ，a,0)，CC 1→＝(0,0，b )，
∴BD →·AC →＝0，BD →·CC 1→＝0，
∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，又∵AC 1、CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A .
(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O ，则点O 坐标为(a 2，a 2，0)，OC 1→＝(－a 2，a 2，b )． ∵BD →·OC 1→
＝0，
∴BD ⊥C 1O ，又BD ⊥CO ，
∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，
∴∠C 1OC ＝60°，
∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b 22
a ＝3， ∴
b ＝
62a ， ∵AC →＝(－a ，a,0)，BC 1→
＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC →，BC 1→〉＝AC →
·BC 1
→|AC →|·|BC 1→|
＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成的余弦值为55.。